第一冊新教材同步：第3章 3.1.1 第2課時 函數(shù)的表示方法

1、第 2 課時函數(shù)的表示方法學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1.掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法、列表法(重點)2會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū?#160;1.通過函數(shù)表示的圖像法培養(yǎng)直觀想象示函數(shù)(難點)素養(yǎng)3理解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù) 2通過函數(shù)解析式的求法培養(yǎng)運算素的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖像(重 養(yǎng)點，難點)3利用函數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建4能在實際問題中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎?#160;模素養(yǎng).兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，并能解決有關(guān)問題(重點、難點)1函數(shù)的圖像(1)定義：將函數(shù)&

2、#160;yf(x)，xA 中的自變量 x 和對應(yīng)的函數(shù)值 y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合 F 稱為函數(shù)的圖像，即 F(x，y)|yf(x)，xA(2)F 是函數(shù) yf(x)的圖像，必經(jīng)滿足下列兩條圖像上任意一點的坐標(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系 yf(x)；滿足函數(shù)關(guān)系 yf(x)的點(x，y)都在函數(shù)圖像 F 上2函數(shù)的表示法思考 1：任何一個函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式表示嗎？ruize提

3、示：不一定并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，不僅如此，圖像法也不適用于所有ì0，xQ，函數(shù)，如 D(x)í列表法雖在理論上適用于所有函數(shù)，但對于自變量î1，x RQ.有無數(shù)個取值的情況，列表法只能表示函數(shù)的一個概況或片段3分段函數(shù)如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)思考 2：分段函數(shù)是一個函數(shù)還是幾個函數(shù)？提示：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)1已知函數(shù) f(x)由下表給出，則 f(3)等于()x1x<2 2 2<x4f(x)1

4、    23A.1C3B2D不存在C當(dāng) 2<x4 時，f(x)3，f(3)3.2二次函數(shù)的圖像的頂點為(0，1)，對稱軸為 y 軸，則二次函數(shù)的解析式可以為()1Ay4x21Cy4x2161By4x21Dy4x216B把點(0，1)代入四個選項可知，只有 B 正確3下列給出的式子是分段函數(shù)的是()ìx21，1x5，f(x)íî2x，x<1.ìx1，xR，f(x)íîx2，x2.ì2x3，1x5，f(x)í

5、îx2，x1.ruizeìx23，x<0，f(x)íîx1，x5.ACBDB結(jié)合分段函數(shù)的定義可知 是分段函數(shù)， 中不同對應(yīng)關(guān)系的定義域有重疊部分，故選 B.4已知函數(shù) yf(x)的圖像如圖所示，則其定義域是_2,3由圖像可知 f(x)的定義域為2,3函數(shù)的三種表示方法【例 1】某商場新進了 10 臺彩電，每臺售價 3 000 元，試求售出臺數(shù) x 與收款數(shù) y 之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、

6、解析法表示出來解列表法如下：x(臺)123      4      5y(元)3 000x(臺)66 00079 000  12 000 15 0008      9     10y(元) 18 000 21 000 24 000

7、 27 000 30 000圖像法：如圖所示解析法：y3 000x，x1,2,3，10列表法、圖像法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)ruize系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示 .在用三種方法表示函數(shù)時要注意： 解析法必須注明函數(shù)的定義域； 列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖像法中要注意是否連線.1若集合 Ax|0x2，By|0y3，則給出的下列圖形表示為定義在 A 上的函數(shù)圖像的是()ABCD(2)由下表給出函數(shù) yf(x)，則&#

8、160;f(f(1)等于()xy1425334251A.1C4B2D5(1)D(2)B(1)A 中的對應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性，即存在 xA，但 B 中無與之對應(yīng)的 y；B、C 均不滿足函數(shù)的唯一性，只有 D 正確(2)由題意可知，f(1)4，f(4)2，f(f(1)f(4)2，故選 B.函數(shù)解析式的求法【例 2】(1)已知 f( x1)x2 x，求 f(x)的解析式；(2)已知函數(shù) f(x)是一次函數(shù)，若 f(f(x)4x8，求 

9、;f(x)的解析式；(3)如圖所示，已知底角為 45°的等腰梯形 ABCD，底邊 BC 長為 7 cm，腰長為2 2 cm，當(dāng)垂直于底邊 BC(垂足為 F)的直線 l 從左至右移動(與梯形 ABCD 有公共點)時，直線 l 把梯形分成兩部分，令 BFx，試寫出左邊部分的面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式思路點撥(1)用換元法或配湊法求解；(2)用待定系數(shù)法求解；(3)可按點

10、60;Eruize所在的位置分 E 在線段 AB，E 在線段 AD 及 E 在線段 CD 三類分別求解解(1)法一(換元法)：令 t x1，則 t1，x(t1)2，代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t24t3，f(x)x24x3(x1)法二(配湊法)：f( x1)x2 x14 x43( x1)24( x1)3，因為 x11，所以 f(x)x24x3(x1)(2)設(shè) f(x

11、)axb(a0)，則 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又 f(f(x)4x8，所以 a2xabb4x8，b3ïîìa24，ìïa2，即í解得í8îabb8，ìa2，或íîb8.8所以 f(x)2x3或 f(x)2x8.(3)過點 A，D 分別作 AGBC，DHBC，垂足分別是 G，H.因為四邊形 ABCD 是等腰梯形，底角為 45°，AB

12、2 2 cm，所以 BGAGDHHC2 cm，又 BC7 cm，所以 ADGH3 cm.1當(dāng)點 F 在 BG 上，即 x0,2時，y2x2；當(dāng)點 F 在 GH 上，即 x(2,5時，yxx22  ×22x2；當(dāng)點 F 在 HC 上，即 x(5,7時，yS13)×22(7x)212(x7)210.綜合，得函數(shù)的解析式為ruize五

13、邊形 ABFEDS1梯形 ABCDS CEF2(7ìï12x ，x0，2，2yí2x2，x(2，5，î2ï1(x7)210，x(5，7.圖像如圖所示求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知 f(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.(2)換元法：設(shè) tg(x)，解出 x，代入 f(g(x)，求 f(t)的解析式即可.(3)配湊法：對 f(g(x)的解析式進行配湊變形，使它能用 g(x)表示出來，再用&

14、#160;x代替兩邊所有的“g(x)”即可.(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的兩個元素之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解.提醒：(1)應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價性.(2)在實際問題背景下，自變量取值區(qū)間不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，此時需要用分段函數(shù)表示.2已知函數(shù) f(x1)3x2，則 f(x)的解析式是()Af(x)3x1Bf(x)3x1Cf(x)3x2Df(x)3x4A令 x1t，則 xt1，f(t)3(t1)23t1.f(x)3x1.3已知函數(shù) f(x)對于任意的 x 

15、;都有 f(x)2f(x)12x，則 f(x)_.ruize23x1由題意，在 f(x)2f(x)12x 中，以x 代替 x 可得 f(x)2f(x)ìf(x)2f(x)12x，2î                   12x，聯(lián)立可得íf(x)2f(x)12x， 消去 f(x)

16、可得 f(x)3x1.函數(shù)的圖像及應(yīng)用2【例 3】(1)作出函數(shù) yx，x2，)的圖像并求出其值域(2)某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：5 公里以內(nèi)(含 5 公里)，票價 2 元；5 公里以上，每增加 5 公里，票價增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里計算)如果某條線路的總里程為 20 公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像思路點撥(1)列表描點連結(jié)；(2)分

17、段函數(shù)的圖像需要在同一坐標系中分段畫出解(1)列表xy213234125252當(dāng) x2，)時，圖像是反比例函數(shù) yx的一部分，觀察圖像可知其值域為(0,1(2)設(shè)票價為 y 元，里程為 x 公里，定義域為(0,20由題意得函數(shù)的解析式如下：ruizeî54，15<xx20.，yì2，0<x5，í3，5<x10，10< 15函數(shù)圖像如圖所示：f(x)1 xx描點法作函數(shù)圖像的三個關(guān)注點(1)畫函數(shù)圖像時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖.(2)圖像是實線或?qū)嶞c

18、，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖像.(3)要標出某些關(guān)鍵點，例如圖像的頂點、端點、與坐標軸的交點等.要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.提醒：(1)函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等.(2)分段函數(shù)的圖像是在同一個直角坐標系內(nèi)分別作出各段的圖像，在作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏.|x|x4已知函數(shù) f(x)1 2 (2<x2)(1)用分段函數(shù)的形式表示 f(x)；(2)畫出 f(x)的圖像；(3)若 f(a)2，求實數(shù) a 的值xx解(1)當(dāng) 0x2&#

19、160;時，f(x)1 2 1，當(dāng)2<x<0 時，21x，ruizeì1，0x2，f(x)íî1x，2<x<0.(2)函數(shù) f(x)的圖像如圖所示(3)f(a)2 由函數(shù)圖像可知 a(2,0)，1a2，即 a1.1函數(shù)有三種常用的表示方法，可以適時的選擇，以最佳的方式表示函數(shù)，解析式后不注明定義域即可視為該函數(shù)的定義域為使此解析式有意義的實數(shù)集 R或 R 的子集2作函數(shù)圖像必須要讓作出的圖像反映出圖像的伸展方向，與 x 軸、y 軸有無交點，圖像有無對稱性，并標明特殊點3分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)4分段函數(shù)求值要先找準自變量所在的區(qū)間；分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集.1思考辨析(1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示()(2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線()(3)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構(gòu)成()ìx1，x1，(4)函數(shù) f(x)í