角動量守恒及其應用學習資料

1、精品文檔角動量守恒及其應用李澤林，過程裝備與控制工程，10110902。摘要：掌握角動量守恒定律，并通過習題深入分析其應用和注意事項。關鍵詞：剛體，角動量，轉動慣量，慣性系。在研究“質點或質點系繞某一定點或軸線運動”這類問題時， 常常利用“角動量守恒定律”來處理此類問題。但是如何正確應 用角動量定律解題尤為重要。本文通過對角動量守恒定律詳細的 推導，加深對定律的理解，以及通過習題來深入分析角動量守恒 的正確應用。1.1質點對參考點的角動量守恒定律如圖1所示，質點m的動量為P,相對于參考p1 角動量守恒定律點O的角動量為L,其值L r卩引n ，其中a是質 點的動量與質點相對參考點 0的位置矢量r

2、的夾 角。其角動量的變化量 L等于外力的沖量矩 M t （M為外力對參 考點O的力矩），即dL M ?dt。若m=q得L =0,即質點對參 考點o的角動量守恒。1. 2質點系對參考點的角動量守恒定律t，仍等于質同樣當由n個質點組成的質點系，且處于慣性系中，可以推導出作 用于各質點諸力對參考點的外力矩的沖量點系對該參考點的角動量的變化量，即Mi °時（即質點系的和外力矩為零），質點系對該參考點的角動量守恒。1. 3角動量守恒的判斷當外力對參考點的力矩為零，即 Mi °時，質點或質點系對該參考點的角動量守恒。有四種情況可 判斷角動量守恒：質點或質點系不受外力。所有外力通過參 考

3、點。每個外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。內 力對參考點的力矩遠大于外力對參考點的合力矩，即內力矩對質 點系內各質點運動的影響遠超過外力矩的影響，角動量近似守恒。2角動量守恒定律的應用2.1 開普勒第二定律，即行星對太陽的矢徑在相等的時間間隔小如圖，設行星的質量為 m它相對太陽的位矢為r，速度為V, 走過的路程為s。行星受到太陽對它的萬有引力，方向沿著它和太陽的連線，因此行星受到的外力矩為零，它相對于太陽所在的點0 角動量守恒L r mv恒矢量角動量的大小為行星的速率為v=ds/dt 。代入得L rmv sinL rm 竺 sindtr sin m dsdt中，r sin ds為行星對精

4、品文檔太陽的矢徑在dt時間內掃過的面積 dA的兩倍，rsin ds 2dA代入得2mdAdt由于角動量守恒，L是一個常量，所以dAdt常數即行星對太陽的矢徑在相等得時間間隔內掃過的面積相等。2.2 如圖所示，一根質量可以忽略的細桿，長為21，兩端和中心處分別固連著質量為m的小球B、D和C,開始時靜止在光滑M的水平桌面上。桌面上另有一質 量為M的小球A,以一給定速度 Vo沿垂直于桿DB的方向與右端小 球B作彈性碰撞。求剛碰后小球 A、B、C D的速度，并詳細討論 以后可能發(fā)生的運動情況。本題粗看是一類彈性碰撞類問題，利用動量守恒、能量守恒及 桿子牽連速度來求解。但本題涉及4個物體組成的質點系，未

5、知量多，利用上述關系還不能求解。挖掘題中的守恒規(guī)律成為本題 的難點，且守恒規(guī)律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬間，球A擠壓B,其作用力方向垂 直于桿，使球B獲得沿vo方向的速度vb。從而在碰撞瞬間使小球 C、 D的速度也沿V。方向。對質點組 B、C、D與A組成的系統(tǒng)，碰撞前 后動量守恒。由于小球 C位于由B、C、D三球組成的質點組的質 心處，所以小球 C的速度也就是質點組的質心速度?？傻茫篗 v0 M vA 3mvC（）質點組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質點組的動能相 等。碰撞后A、B、C、D的速度分別為Va、Vb、Vc、Vd，得(2)(2)對質點組B、C、D在碰撞瞬間，在 B處受到A球

6、的作用力,B、C、D若取B （與B球重合的空間固定點）為參考點，則質點組在碰撞前后，外力矩等于零，所以質點組角動量守恒。可得0 mlvC 2mlvD(3)由桿的剛性條件有：Vb Vc VcVd(4)由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得Vc4M5M 6mVo(5)(6)MvA+-mvB2 21mvC4MVcvo即 5M 6m，碰撞后,B、05M 6m(7)2MVo5M 6m(8)10M5M 6m5M Vo碰撞后各小球的運動碰撞后，質點組 B、C、D不受外力作用，其質心作勻速運動,D兩小球將繞小球C作勻角速度轉動，角速度的大小為VbVcl6M v05M 6m l 。方向為逆時針方向。由（6）式

7、可知，碰后小球 A的速度的大小和方向與M m的大小有關，由于 M m取值不同而導致運動情形比較復雜，即可以使 Va=O ； Va<0 ； Va>0且Va Vc ； Va Vc情景的 出現，在此不作詳細討論。2.3 質量為速度為的子彈擊中并嵌入一質量為m2 99mi、長度為L的棒的一端，速度與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子 彈擊中棒后與棒共同運動。求棒和子彈繞垂直于平面的軸的角速 度的大小。由題可知，子彈和棒構成的系統(tǒng)在打擊前后所收到的外力為 零，因此系統(tǒng)對任意一定軸的合力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。下 面對幾種常見的解法作出分析討論。常見的錯誤解：取固定z軸（過A點），因子彈打

8、擊時間很短，棒在打擊過程中位置可以看做不變。設打擊后系統(tǒng)的角速度為，則根據角動量守恒定律得（我剛開始做的解法）其中所以gLv。 jAjA fmL2 m丄2m丄V。3 m2 L2 m1 L2這種錯誤的解法究竟是錯在哪里呢？這種解法忽視了角動量守恒定律的應用條件，角動量守恒定律適用于慣性參考系和質心 參考系。若把z軸作為桿過A點的定軸，此時 A點受到撞擊后做 變速運動，無形之中所選的參考系為非慣性參考系，因而角動量 對z軸不守恒，此時在根據角動量守恒定律列出的式子自然是錯 的。正確的解法為設系統(tǒng)的質心C與桿的中點0距離為d,以系統(tǒng)質心為z軸,此時系統(tǒng)對質心的合力矩為零，故對z軸角動量守恒，得式中m1f d Vo jc72m2L2m2d2mi (i d)2mi(| d)v°吉 m2L2 m2d2 m1(| d)2m 1 2 , m 299 m 1 代入得m 1 m 2一6vo2103Lmb (寺 d)v°古 m2 L2 m 2d 2 m1 ( d )通過上述