2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)文

1、12山東(文)1.(2012山東,文1)若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位),則z為().a.3+5ib.3-5ic.-3+5id.-3-5ia設(shè)z=a+bi,a,br,則z(2-i)=(a+bi)(2-i)=(2a+b)+(2b-a)i,所以解得所以z=3+5i,故選a.2.(2012山東,文2)已知全集u=0,1,2,3,4,集合a=1,2,3,b=2,4,則(ua)b為().a.1,2,4b.2,3,4c.0,2,4d.0,2,3,4c易知ua=0,4,所以(ua)b=0,2,4,故選c.3.(2012山東,文3)函數(shù)f(x)=+的定義域為().a.-2,0)(0,2b.

2、(-1,0)(0,2c.-2,2d.(-1,2b由得所以定義域為(-1,0)(0,2.4.(2012山東,文4)在某次測量中得到的a樣本數(shù)據(jù)如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b樣本數(shù)據(jù)恰好是a樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù),則a,b兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是().a.眾數(shù)b.平均數(shù)c.中位數(shù)d.標(biāo)準(zhǔn)差d由s=,可知b樣本數(shù)據(jù)每個變量增加2,平均數(shù)也增加2,但(xn-)2不變,故選d.5.(2012山東,文5)設(shè)命題p:函數(shù)y=sin 2x的最小正周期為;命題q:函數(shù)y=cos x的圖象關(guān)于直線x=對稱.則下列判斷正確的是().a.p為真b.𙫔

3、9;q為假c.pq為假d.pq為真c因周期t=,故p為假命題.因cos x的對稱軸為x=k(kz),故q也為假命題.所以pq為假.6.(2012山東,文6)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是().a.b.c.-1,6d.a作出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)z=3x-y可轉(zhuǎn)化為y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域內(nèi)平移l0,可知在a點處z取最小值為-,在b點處z取最大值為6,故選a.7.(2012山東,文7)執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入a=4,那么輸出的n的值為().a.2b.3c.4d.5b由程序框圖知,當(dāng)n=0時,p=1,q=3;當(dāng)n=1時,p=5,q=7;當(dāng)n=2

4、時,p=21,q=15,此時n增加1變?yōu)?,滿足p>q,循環(huán)結(jié)束,輸出n=3,故選b.8.(2012山東,文8)函數(shù)y=2sin(0x9)的最大值與最小值之和為().a.2-b.0c.-1d.-1-a由0x9可得,-x-,所以-2sin2,所以最大值為2,最小值為-,最大值與最小值之差為2-.9.(2012山東,文9)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為().a.內(nèi)切b.相交c.外切d.相離b圓o1的圓心為(-2,0),r1=2,圓o2的圓心為(2,1),r2=3,|o1o2|=,因為r2-r1<|o1o2|<r1+r2,所以兩圓相交.10.

5、(2012山東,文10)函數(shù)y=的圖象大致為().d令f(x)=,則f(x)的定義域為(-,0)(0,+),而f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).又因為當(dāng)x時,cos 6x>0,2x-2-x>0,即f(x)>0,而f(x)=0有無數(shù)個根,所以d正確.11.(2012山東,文11)已知雙曲線c1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線c2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線c1的漸近線的距離為2,則拋物線c2的方程為().a.x2=yb.x2=yc.x2=8yd.x2=16yd由于e=2,c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,b2

6、=3a2,即b=a.雙曲線的漸近線方程y=±x即為y=±x,即±x+y=0.又拋物線的焦點坐標(biāo)為f,f到漸近線的距離為2,即=2,解得p=8.拋物線c2的方程為x2=16y.12.(2012山東,文12)設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=-x2+bx,若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點a(x1,y1),b(x2,y2),則下列判斷正確的是().a.x1+x2>0,y1+y2>0b.x1+x2>0,y1+y2<0c.x1+x2<0,y1+y2>0d.x1+x2<0,y1+y2<0b由題意知,函數(shù)

7、f(x)=,g(x)=-x2+bx的圖象有且僅有兩個不同的公共點a(x1,y1),b(x2,y2),等價于方程=-x2+bx有兩個不同的根x1,x2,即方程x3-bx2+1=0有兩個不同的實根x1,x2,因而可設(shè)x3-bx2+1=(x-x1)2(x-x2),即x3-bx2+1=x3-(2x1+x2)x2+(+2x1x2)x-x2,b=2x1+x2,+2x1x2=0,x2=-1.從而x10,x2<0.由x1(x1+2x2)=0得x1+2x2=0,x1+x2=-x2>0,x1=-2x2>0,y1+y2=+=<0,即x1+x2>0,y1+y2<0.13.(2012

8、山東,文13)如圖,正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為1,e為線段b1c上的一點,則三棱錐a-ded1的體積為. 由正方體的性質(zhì)知b1c平面aa1d1d,e到平面aa1d1d的距離等于c到平面aa1d1d的距離,于是三棱錐a-ded1的體積即為三棱錐e-ad1d的體積,也是三棱錐c-ad1d的體積.=,=·cd=××1=.14.(2012山東,文14)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位:)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖,其中平均氣溫的范圍是20.5,26.5,樣本數(shù)據(jù)的分組為20.5,21.5),21.5,22.5),22.5,23.5),

9、23.5,24.5),24.5,25.5),25.5,26.5.已知樣本中平均氣溫低于22.5 的城市個數(shù)為11,則樣本中平均氣溫不低于25.5 的城市個數(shù)為. 9由于組距為1,則樣本中平均氣溫低于22.5 的城市頻率為0.10+0.12=0.22.平均氣溫低于22.5 的城市個數(shù)為11,所以樣本容量為=50.而平均氣溫高于25.5 的城市頻率為0.18,所以,樣本中平均氣溫不低于25.5 的城市個數(shù)為50×0.18=9.15.(2012山東,文15)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,a1)在-1,2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)在0,+)上是增

10、函數(shù),則a=. 當(dāng)0<a<1時,f(x)=ax在-1,2上的最大值為a-1=4,即a=,最小值為a2=m,從而m=,這時g(x)=,即g(x)=在0,+)上是增函數(shù).當(dāng)a>1時,f(x)=ax在-1,2上的最大值a2=4得a=2,最小值a-1=m即m=,這時g(x)=(1-4m)=-在0,+)上為減函數(shù),不合題意,舍去.所以a=.16.(2012山東,文16)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點p的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時,的坐標(biāo)為. (2-sin 2,1-cos

11、2)因為圓心由(0,1)平移到了(2,1),所以在此過程中p點所經(jīng)過的弧長為2,其所對圓心角為2.如圖所示,過p點作x軸的垂線,垂足為a,圓心為c,與x軸相切于點b,過c作pa的垂線,垂足為d,則pcd=2-,|pd|=sin=-cos 2,|cd|=cos=sin 2,所以p點坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2),即的坐標(biāo)為(2-sin 2,1-cos 2).17.(2012山東,文17)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知sin b(tan a+tan c)=tan atan c.(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(2)若a=1,c=2,求abc的面積s.(1)證明

12、:在abc中,由于sin b(tan a+tan c)=tan atan c,所以sin b=·,因此sin b(sin acos c+cos asin c)=sin asin c,所以sin bsin(a+c)=sin asin c,又a+b+c=,所以sin(a+c)=sin b,因此sin2b=sin asin c.由正弦定理得b2=ac,即a,b,c成等比數(shù)列.(2)解:因為a=1,c=2,所以b=,由余弦定理得cos b=,因為0<b<,所以sin b=,故abc的面積s=acsin b=×1×2×=.18.(2012山東,文18)

13、袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.解:(1)標(biāo)號為1,2,3的三張紅色卡片分別記為a,b,c,標(biāo)號為1,2的兩張藍色卡片分別記為d,e,從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10種.由于每一張卡片被取到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)

14、是等可能的.從五張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為:(a,d),(a,e),(b,d),共3種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.(2)記f為標(biāo)號為0的綠色卡片,從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15種.由于每一張卡片被取到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.從六張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的結(jié)果為:(a,d),(a,

15、e),(b,d),(a,f),(b,f),(c,f),(d,f),(e,f),共8種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4的概率為.19.(2012山東,文19)如圖,幾何體e-abcd是四棱錐,abd為正三角形,cb=cd,ecbd.(1)求證:be=de;(2)若bcd=120°,m為線段ae的中點,求證:dm平面bec.證明:(1)取bd的中點o,連接co,eo.由于cb=cd,所以cobd.又ecbd,ecco=c,co,ec平面eoc,所以bd平面eoc,因此bdeo.又o為bd的中點,所以be=de.(2)證法一:取ab的中點n,連接dm,dn,mn.因為m是ae

16、的中點,所以mnbe.又mn平面bec,be平面bec,所以mn平面bec.又因為abd為正三角形,所以bdn=30°.又cb=cd,bcd=120°,因此cbd=30°,所以dnbc.又dn平面bec,bc平面bec,所以dn平面bec.又mndn=n,故平面dmn平面bec,又dm平面dmn,所以dm平面bec.證法二:延長ad,bc交于點f,連接ef.因為cb=cd,bcd=120°,所以cbd=30°.因為abd為正三角形,所以bad=60°,abc=90°,因此afb=30°,所以ab=af.又ab=ad

17、,所以d為線段af的中點.連接dm,由點m是線段ae的中點,因此dmef.又dm平面bec,ef平面bec,所以dm平面bec.20.(2012山東,文20)已知等差數(shù)列an的前5項和為105,且a10=2a5.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)對任意mn*,將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項和sm.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,前n項和為tn.由t5=105,a10=2a5,得到解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nn*).(2)對mn*,若am=7n72m,則n72m-1.因此bm=72m-1,所以數(shù)列bm是首項為7公比

18、為49的等比數(shù)列,故sm=.21.(2012山東,文21)如圖,橢圓m:+=1(a>b>0)的離心率為,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形abcd的面積為8.(1)求橢圓m的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l:y=x+m(mr)與橢圓m有兩個不同的交點p,q,l與矩形abcd有兩個不同的交點s,t.求的最大值及取得最大值時m的值.解:(1)設(shè)橢圓m的半焦距為c,由題意知所以a=2,b=1.因此橢圓m的方程為+y2=1.(2)由整理得5x2+8mx+4m2-4=0,由=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0,得-<m<.設(shè)p(x1,y1),q(x2

19、,y2),則x1+x2=-,x1x2=.所以|pq|=(-<m<).線段cd的方程為y=1(-2x2),線段ad的方程為x=-2(-1y1).不妨設(shè)點s在ad邊上,t在cd邊上,可知1m<,s(-2,m-2),d(-2,1),所以|st|=|sd|=1-(m-2)=(3-m),因此=,令t=3-m(1m<),則m=3-t,t(3-,2,所以=,由于t(3-,2,所以,因此當(dāng)=即t=時,取得最大值,此時m=.不妨設(shè)點s在ab邊上,t在cd邊上,此時-1m1,因此|st|=|ad|=2,此時=,所以當(dāng)m=0時,取得最大值.(3)不妨設(shè)點s在ab邊上,t在bc邊上,-<m-1,由橢圓和矩形的對稱性知的最大值為,此時m=-.綜上所述m=±或m=0時,取得最大值.22.(2012山東,文22)已知函數(shù)f(x)=(k為常數(shù),e=2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平