桿系結構單元

1、第五章第五章 桿系結構單元桿系結構單元5.1 概述概述桿系結構桿系結構主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們?？呻x散成桿元和梁元。?？呻x散成桿元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架坐標系坐標系 有限元中的坐標系有有限元中的坐標系有結構坐標系結構坐標系和和單元坐標系單元坐標系。對于一個結構，結構坐標系一般只有一個；而單元對于一個結構，結構坐標系一般只有一個；而單元坐標系有很多個，一個單元就有一個單元坐標，并坐標系有很多個，一個單元就有一個單元坐標，并且對每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型且對每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元的單元剛度矩陣相同，給單元分

2、析帶來方便。單元的單元剛度矩陣相同，給單元分析帶來方便。XYPxyxy 桿系結構單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種桿系結構單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有類型。它們都只有2個節(jié)點個節(jié)點i、j。 約定：約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點；節(jié)點i到到j的的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。軸的正向。 y軸、軸、z軸都與軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。軸垂直，并符合右手螺旋法則。 對于梁單元，對于梁單元， y軸和軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。性主軸。xyzij5.2 桿單元桿單元

3、下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長，長度為度為l，彈性模量為，彈性模量為E，軸向分布載荷為，軸向分布載荷為px。單元有。單元有2個結點個結點i，j，單元坐標為一維坐標軸，單元坐標為一維坐標軸x。ijxlLINKpxujui1、一維桿單元、一維桿單元單元結點力向量：單元結點力向量：jieFFF（1）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù) 位移模式位移模式單元結點位移向量單元結點位移向量 jieuu 因為只有因為只有2個結點，每個結點位移只有個結點，每個結點位移只有1個自由度，個自由度，因此單元的位移模式可設為：因此單元的位移模式可設為：xaau21（5-3

4、）式中式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結點位移條件為待定常數(shù)，可由結點位移條件 x=xi 時，時， u=ui x=xj 時，時， u=uj確定。再將由此確定的確定。再將由此確定的a1、a2 其代入式（其代入式（5-3），得），得 xluuxluuuuijiiji)(（5-4）a1a2 形函數(shù)形函數(shù) 將式（將式（5-4）改寫為下列形式）改寫為下列形式 eNu（5-5）式中形函數(shù)式中形函數(shù)N為為 )()(1xxxxlNNNijji（5-6）（2）應變矩陣）應變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應變一維鉸接桿單元僅有軸向應變 dxdu將式（將式（5-5）、（）、（5-6）代入上式，得）代入上式，得 el111

5、上式也可寫為上式也可寫為 eB（5-7）式中式中B為應變矩陣為應變矩陣 111lBBBji（5-8）由應力應變關系由應力應變關系 （3）應力矩陣）應力矩陣E將式（將式（5-7）代入上式，得）代入上式，得 eeSBE（5-9）式中式中S為應力矩陣為應力矩陣 11lES（5-10）(4) 單元剛度矩陣單元剛度矩陣單元剛度矩陣仍式（單元剛度矩陣仍式（1-33）推出）推出 dvBDBkvTe（1-33）對于等截面鉸接桿單元（截面積為對于等截面鉸接桿單元（截面積為A ） ，v=Adx，故有：故有： dxBDBAkvTe(5-11) 111lBBBji (5) 等效節(jié)點力等效節(jié)點力 單元上作用分布力單元上

6、作用分布力px，則等效節(jié)點力計算公式仍，則等效節(jié)點力計算公式仍為以下形式為以下形式 dxpNFxTe當分布力集度當分布力集度px為常數(shù)時，有為常數(shù)時，有 112)()(1lpdxpxxxxlFxxijxxepjix（5-13）)()(1xxxxlNNNijji1111lEAke（5-12）將式（將式（5-8）代入上式，得）代入上式，得例例5-1 一維拉桿一維拉桿圖示階梯形直桿，各段長度均為，橫截面積分別為3A，2A，A，材料重度為，彈性模量E。求結點位移和各段桿中內力。離散化：將單元劃分為3個單元，4個結點。單元剛度矩陣： 2111113) 1 (lAEk1 23211112)2(lAEk2

7、3431111)3(lAEk3 41111lEAke等效結點荷載：按靜力等效原則，有:1123)1(lAF1122)2(lAF112)3(lAF對號入座，組成總剛，形成整體結構平衡方程:FK設結點1的約束反力為F1，則有: 整體結構平衡方程lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321劃去節(jié)點1所對應的第1行、行1列 。解得結點位移Eluuu21351101320252432EluEluElu24232281981587單元應力單元應變EAN單元應變：luuijElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(21

8、872、平面、平面桁架桁架桿單元（桿單元（2D LINK1） 1 2 3 4ijxyl（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量 4321e 1 2 3 4ijxy看成局部坐標下的拉壓桿（2）位移模式和形函數(shù)）位移模式和形函數(shù) 位移模式位移模式 由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（式（5-3）、（）、（5-4）。（）。（y方向位移不引起單元力方向位移不引起單元力） 形函數(shù)形函數(shù) 0)(0)(1xxxxlNNNijji（5-14）)()(1xxxxlNNNijjixaau21eB應變矩陣應變矩陣 B為為01011lBBBji（5-15） （4

9、）應力矩陣）應力矩陣eeSBE應力矩陣應力矩陣 S為為0101lES（5-16）（3）應變矩陣）應變矩陣010120)(0)(1plpdxxxxxlFijxxepji（5-16）(6) 局部坐標單元剛度矩陣局部坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，對于等截面鉸接桿單元，0000010100000101lEAke（5-17）1111lEAke(5) 等效節(jié)點力等效節(jié)點力 靜力等效ijxylz3、空間桿單元（、空間桿單元（3D LINK8）（1）單元坐標單元位移向量）單元坐標單元位移向量 1 2 4 5 3 6 Te654321（5-18） （2）形函數(shù)）形函數(shù)00)(00)(1xxxxlNij

10、（5-19） （3）應變矩陣）應變矩陣（5-20）0010011lB （4）應力矩陣）應力矩陣 001001lES（5-21） (5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 TeplF0010012（5-22） (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 對于等截面鉸接桿單元，對于等截面鉸接桿單元，（5-23）000000000000001001000000000000001001lEAke1111lEAke5.4 梁單元梁單元1、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受剪力、彎矩的平面梁單元ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐標下單元位移和單元力）局部坐標下單元位移和單元力

11、 單元位移單元位移 TjjiiTevv4321（5-24）其中，其中， vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（5-26）其中，其中， Q剪力剪力 M彎矩彎矩3322dxvdEIQdxvdEIM（5-27）dxdv（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù)342321)(xaxaxaaxv（5-28） 位移模式位移模式 設單元坐標位移模式為設單元坐標位移模式為 形函數(shù)形函數(shù) 由單元兩端點的節(jié)點位移條件，解出式（由單元兩端點的節(jié)點位移條件，解出式（5-28）中的中的a1、a2、a3、a4。再代入該式，可將位移模式寫。再代入

12、該式，可將位移模式寫為以下形式：為以下形式： ijxy 1 2 3 4l梁單元內一點有梁單元內一點有2個位移：個位移： v、 因為，因為， =dv/dx；僅一個位僅一個位移是獨立的，取移是獨立的，取 v 。eNxv)(（5-29）式中式中4321NNNNN （5-30）232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（5-31） （3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 b與節(jié)點位移與節(jié)點位移e的關系。的關系。 梁單元上任一點的應變和該點撓度之間關系為：梁單元上任一點的應變和該點撓度之間關系為： 22dxvd

13、yb（5-32）122tandxvdyyyb1xyy )(122dxdvdxvddxd將式（將式（5-29）代入（）代入（5-32），得單元彎曲應變和單元位），得單元彎曲應變和單元位移之間關系移之間關系（5-34） )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBB ebB（5-33）（4）應力矩陣）應力矩陣eNxv)( eebbSBEE（5-35）DB (5) 等效節(jié)點力等效節(jié)點力 對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時對于梁上作用的集中力或集中力矩，在劃分單元時可將其作用點取為結點，按結構的節(jié)點載荷處理?？蓪⑵渥饔命c取為結點，按結構的節(jié)點載荷處理。 這里

14、僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉化為等價節(jié)這里僅考慮把單元上的橫向分布載荷轉化為等價節(jié)點力問題。點力問題。xyijlpy(x)（5-36） dxxpNFyTlepy)(0 將形函數(shù)矩陣將形函數(shù)矩陣N代入上式，積分可得分布荷載的代入上式，積分可得分布荷載的等效結點力。表等效結點力。表1給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。給出了幾種特殊情況的等價節(jié)點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力 表表 1(6)

15、 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為將式（將式（5-34）代入上式進行積分，并注意到）代入上式進行積分，并注意到Iz梁截面對梁截面對Z軸（主軸）的慣性矩軸（主軸）的慣性矩得單元坐標單元剛度矩陣得單元坐標單元剛度矩陣ke:AzdAyI2（5-37） dAdxBBEdvBDBkAlTvTe0 )26()612()46()612(3lxllxxllxlyB 單元剛度矩陣式單元剛度矩陣式(5-38)適合于適合于連續(xù)梁連續(xù)梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzz

16、zzzze46612266122661246612223223223223（5-38）整體坐標與局部坐標方向一致。例5-4 變截面梁 有一變截面梁，一端固定，另一端鉸支。梁長為2l，固支端的截面盡寸為b1.6h，鉸支端的截面尺寸為bh。梁上作用均布載荷p0。求梁端的約束反力。xy離散化 將梁劃分成2個單元，3個結點。每個單元 長度為,截面取平均截面。0)1()1(34. 045. 1IIhbA，0)2()2(52. 115. 1IIhbA 單元剛度矩陣jilllllllllllllEIk2222346612266122661226612ij324661226612266124661252. 1

17、222230)2(lllllllllllllEIk214661226612266124661204. 3222230)1(lllllllllllllEIk 1 2 2 3對號入座，組合整體剛度矩陣 2222222230233633633624363661226612266124661204. 3lllllllllllllllllllllllllEIK 1 2 3123荷載等效結點力向量2112/2/12/2/200200)1 (lplplplpFd3212/2/12/2/200200)1(lplplplpFd約束反力向量TBAAeRMRF000 1 2 312/2/012/2/12/2/012

18、/2/00020002002000200lplpRlplpMlpRlplplplplpRMRFFFBAABAAde總荷載向量引入邊界條件 0, 0, 0311vv將整體平衡方程中對應的1、2、5行和總剛中1、2、5列刪去 ，得 12/02363331804. 3200322222230lplpvlllllllllEI解方程組，得結點位移值0303030204020889. 0003420388. 0EIlpEIlPEIlpv將結點位移值代入整體平衡方程，可得約束反力lpRlpMlpRBAA02000708,583. 0,29. 12、兩端承受軸力、剪力、彎矩的平面梁單元、兩端承受軸力、剪力、彎

19、矩的平面梁單元 （平面剛架，（平面剛架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4（1）單元坐標單元位移和單元力）單元坐標單元位移和單元力 單元位移單元位移 TjjjiiiTevuvu654321（5-39）其中，其中， ux方向（軸向）位移。方向（軸向）位移。 vy方向位移，即撓度。方向位移，即撓度。 角位移。角位移。 單元力單元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（5-40）其中，其中， N軸向力軸向力 Q剪力剪力 M彎矩彎矩 對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形對于小變形問題，可以認為軸向變形和彎曲變形互不影響，因此，

20、位移模式和形函數(shù)可以分別按互不影響，因此，位移模式和形函數(shù)可以分別按5.3節(jié)節(jié)一維拉壓桿單元一維拉壓桿單元和和彎剪平面梁單元彎剪平面梁單元的結果（式的結果（式5-3和式和式5-28）簡單集合而成。）簡單集合而成。（2）位移函數(shù)和形函數(shù)）位移函數(shù)和形函數(shù) 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4（5-41）xaau21362543xaxaxaav 形函數(shù)形函數(shù)式中形函數(shù)式中形函數(shù)N為：為： eNvuf（5-42） 653241000000NNNNNNN（5-43）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxx

21、NlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）應變矩陣）應變矩陣 單元彎曲應變單元彎曲應變 與節(jié)點位移與節(jié)點位移e的關系。的關系。 軸剪彎梁單元軸剪彎梁單元上任一點的應變，應為該點撓度（上任一點的應變，應為該點撓度（v）引起的應變和軸向位移（引起的應變和軸向位移（u）引起的應變之和。）引起的應變之和。單元應變矩陣為：單元應變矩陣為：eB654321BBBBBBB （5-44）)26()612(1)46()612(12635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（5-45） 111lBBBjiN )26()612()46()612(3,lxllxxllxlyBV

22、M (5) 等價節(jié)點力等價節(jié)點力 xyijl圖圖4-9qy(x) （4）應力矩陣）應力矩陣 eeSBEE（5-46）qx將式彎剪梁（將式彎剪梁（5-36）、一維桿（）、一維桿（5-11）膨脹成）膨脹成61矩陣后相加，并注意到式（矩陣后相加，并注意到式（5-43），有），有（5-36） dxxqNFyTleqy)(0dxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00（5-11）112)()(1lqdxqxxxxlFxxijxxeqjix一維桿彎剪梁最后得等價節(jié)點力矩陣最后得等價節(jié)點力矩陣dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii06

23、54321（5-47）荷載分布NiQiMiNjQjMj表表 2 幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力幾種橫向分布荷載等價節(jié)點力2lqy203lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 梁單元剛度矩陣公式為梁單元剛度矩陣公式為lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze4602606120

24、61200000260460612061200000222323222323（5-48）5.5 坐標變換坐標變換 在在5.3、5.4節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元節(jié)中，單元位移和單元力都是按單元坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩坐標系的坐標軸分量定義的，由此建立的單元剛度矩陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。陣屬于單元坐標單元剛度矩陣。 進行系統(tǒng)分析時，需要把單元力按統(tǒng)一的結構坐進行系統(tǒng)分析時，需要把單元力按統(tǒng)一的結構坐標軸的分量表示出來，以便建立結點平衡方程。因此，標軸的分量表示出來，以便建立結點平衡方程。因此，在進行系統(tǒng)分析之前，必須在進行系統(tǒng)分析之前，必須把單元坐標系中的單元力把單

25、元坐標系中的單元力以及單元剛度矩陣都轉換到結構坐標系中去。以及單元剛度矩陣都轉換到結構坐標系中去。此外，此外，還需要把結構坐標系中的節(jié)點位移轉換到單元坐標系還需要把結構坐標系中的節(jié)點位移轉換到單元坐標系中去，以計算結構內力。這一轉換過程稱為中去，以計算結構內力。這一轉換過程稱為坐標變換。坐標變換。(一維桿和彎剪梁單元不需要坐標變換，因兩種坐標系一維桿和彎剪梁單元不需要坐標變換，因兩種坐標系統(tǒng)方向一致統(tǒng)方向一致)結構坐標結構坐標符號約定：符號約定： 結構坐標單元位移結構坐標單元位移 F 結構坐標單元力結構坐標單元力 k結構坐標單元剛度矩陣結構坐標單元剛度矩陣 1、坐標變換矩陣定義、坐標變換矩陣定

26、義 把單元位移從結構坐標系轉換到單元坐標系的變把單元位移從結構坐標系轉換到單元坐標系的變換矩陣定義為換矩陣定義為坐標變換矩陣坐標變換矩陣，用符號，用符號T表示。有表示。有單元坐標中的符號約定：單元坐標中的符號約定：e單元坐標單元位移單元坐標單元位移 F e單元坐標單元力單元坐標單元力 ke單元坐標單元剛度矩陣單元坐標單元剛度矩陣 式（式（5-58）給出了結構坐標單元位移轉換為單元）給出了結構坐標單元位移轉換為單元坐標單元位移的轉換式，同時是坐標變換矩陣坐標單元位移的轉換式，同時是坐標變換矩陣T的的定義式。定義式。 2、結構坐標單元力、結構坐標單元力 單元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改單

27、元力在單元位移上作的功，不因其坐標系的改變而變。則有變而變。則有 TeTeFF)( Te（5-58）將式（將式（5-58）代入，）代入， TTeFTF)(對上式兩端進行轉置，注意到對上式兩端進行轉置，注意到TTTABBA消去消去，得，得 TTeFTF)(即得即得 eTFTF （5-59）式（式（5-59）表明：）表明：結構坐標單元力等于單元坐標單元結構坐標單元力等于單元坐標單元力前乘坐標變換矩陣的轉置。力前乘坐標變換矩陣的轉置。在單元坐標系中，有在單元坐標系中，有 eeekF 3、結構坐標單元剛度矩陣、結構坐標單元剛度矩陣上式兩端左乘上式兩端左乘TT， eeTeTkTFT注意到式（注意到式（5

28、-58）、（）、（5-59），有），有 Te（5-58） eTFTF （5-59） TkTFeT kF k結構坐標單元剛度矩陣。結構坐標單元剛度矩陣。得得 TkTkeT（5-60） 式（式（5-60）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉換）給出了把單元坐標單元剛度矩陣轉換為結構坐標單元剛度矩陣的轉換式。為結構坐標單元剛度矩陣的轉換式。引入引入5.6 坐標變換矩陣坐標變換矩陣 坐標變換矩陣因單元類型不同而異。坐標變換矩陣因單元類型不同而異。1、平面鉸接桿單元（桁架元）、平面鉸接桿單元（桁架元） 設設OXY為結構坐標，為結構坐標，oxy為單元坐標。為單元坐標。 為從單為從單元元 i 端出發(fā)的任一矢量。它

29、在結構坐標系中的分量端出發(fā)的任一矢量。它在結構坐標系中的分量為為 X、 Y；在單元坐標系中的分量為；在單元坐標系中的分量為 x、 y。結構坐。結構坐標系中的分量標系中的分量 X、 Y 在單元坐標在單元坐標x軸上投影的代數(shù)和軸上投影的代數(shù)和給出給出 x 。同理，。同理， X、 Y 在單元坐標在單元坐標y軸上投影的代軸上投影的代數(shù)和給出數(shù)和給出 y 。XYxy X Y x ycossinsincosYXyYXx（5-61） 寫成矩陣形式，寫成矩陣形式，i im+mnbamnab-amYXyxcossinsincos取取iiYXeiiyxvuvu,eiivuiivui節(jié)點在單元坐標系中的位移向量節(jié)點

30、在單元坐標系中的位移向量i節(jié)點在結構坐標系中的位移向量節(jié)點在結構坐標系中的位移向量x對對X、Y的方向余弦的方向余弦y對對X、Y的方向余弦的方向余弦iieiivuvucossinsincos同理可得單元同理可得單元j節(jié)點在單元坐標系和結構坐標系中的位節(jié)點在單元坐標系和結構坐標系中的位移向量：移向量：jjYXejjyxvuvu,jjejjvuvucossinsincos有有組合上述結果，得平面鉸接桿單元的單元坐標單元位組合上述結果，得平面鉸接桿單元的單元坐標單元位移和結構坐標單元位移之間關系：移和結構坐標單元位移之間關系：jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cos

31、sin00sincosiieiivuvucossinsincosjjejjvuvucossinsincos i、j兩節(jié)點間的位移變換關系互不耦合。兩節(jié)點間的位移變換關系互不耦合。上式可寫成上式可寫成 Te坐標變換矩陣坐標變換矩陣T的計算式：的計算式：（5-62） cossin00sincos0000cossin00sincosT TkTkeT（5-60）aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosXYij(e)xlYYlXX

32、ijijsin,cos（5-62a） 式中，（式中，（Xi，Yi）和（）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點）分別為節(jié)點i和節(jié)點和節(jié)點j在在結構坐標系中的坐標值。結構坐標系中的坐標值。例5-2 兩根桁架 兩根桿件的橫截面積為A，彈性模量為E，垂直桿長為，兩桿鉸接處受到水平方向的外力P。求結點位移和桿中的內力。XY（1）單元劃分單元：i=1，j=2，=45,單剛為：21212121212121212121212121212121212)1(22)1(21)1(12)1(11)1(lEAkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossi

33、ncoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos單元： i=2，j=3，=-90,單剛為：321010000010100000)2(32)2(32)2(23)2(22)2(lEAkkkkk2 3aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaalEAk22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos(2)整體剛度矩陣1000100000001000122122122122122122122122100002212212212212

34、2122122122100)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(11lEAkkkkkkkkk 1 2 3123(3) 等價結點力：僅結點2的結點力可以確定 02PF（4）結構整體平衡方程33113322210100010000000100000001221221221221221221221221221221221221221221221221yxyxFFPFFvuvuvulEA（5）引入約束1、3結點約束，劃去1、2、5、6行與列，得0122122122122122PvulEA（6）節(jié)點位移）節(jié)點位移EAPlu)221 (2EAPlv2（7）單元內力 整

35、體節(jié)點位移變換到單元節(jié)點位移。iieiivuvucossinsincosiTeitaaaatTicossinsincos單元應變?yōu)閟in)(cos)(1ijijeiejvvuulluueelB01011單元應力為sin)(cos)(ijijvvuulEEsin)(cos)(ijijvvuulEAAN單元力為（7）單元內力 對于單元，i=1,j=2,桿長PEAPlEAPllEAN245sin45cos)221(2)1(sin)(cos)(ijijvvuulEAANl 2 對于單元，i=2,j=3,桿長lPEAPlEAPllEAN)90sin()0()90cos()221 (0()2(（8）支反力

36、 根據(jù)單元平衡求支反力。F1xF1yP2（7）結點力量 （利用整體平衡方程）將結點位移分量代入整體平衡方程，得結點力量PFFpFPFyxyx33110（8）單元內力pFFNyx22121)1(PFFNyx2323)2( 2、彎剪平面梁單元、彎剪平面梁單元 如果在連續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧绻谶B續(xù)梁中使用這類單元，通?？蓪卧鴺撕徒Y構坐標方向取得一致。此時，標和結構坐標方向取得一致。此時，無須進行坐標變無須進行坐標變換。換。ij(e)XYij(e)xyijxy 2 3 5 6l 1 4ZzZzMM 于是得到：于是得到：XY 由于由于 1 、 2 、 4、 5的性質和平面鉸接桿相同，

37、因的性質和平面鉸接桿相同，因而有相同的而有相同的T矩陣。又因矩陣。又因單元坐標系單元坐標系xy平面和結構坐平面和結構坐標系標系XY平面在同一平面上，平面在同一平面上， 因而單元坐標系因而單元坐標系z軸和結軸和結構坐標系的構坐標系的Z軸總有相同指向，所以恒有：軸總有相同指向，所以恒有：3、軸剪彎平面梁單元（剛架）、軸剪彎平面梁單元（剛架） 1000000sincos0000sincos0000001000000cossin0000sincosT（5-63） zjjjziiiezjjjziiivuvuTvuvuxyzij 設向量設向量 在單元坐標系和結構坐標系兩個坐標系在單元坐標系和結構坐標系兩個

38、坐標系中的分量被表示中的分量被表示 為：為： 1 2 3 4 5 65、空間桿單元、空間桿單元空間桿單元的每個節(jié)點有空間桿單元的每個節(jié)點有3個相互垂直的線位移個相互垂直的線位移分量（分量（u、v、w）。單元自由度為）。單元自由度為6，如下圖。，如下圖。XYZxyz ZYXzyxe, x、 y、 z、向量向量 在單元坐標軸上的分量在單元坐標軸上的分量 X、 Y、 Z、向量向量 在結構坐標軸上的分量在結構坐標軸上的分量有有 333231232221131211（5-65） 是坐標系的旋轉矩陣，是單元坐標軸是坐標系的旋轉矩陣，是單元坐標軸x、y、z在在結構坐標系結構坐標系XYZ中的方向余弦：中的方向

39、余弦： 11、 12、 13x軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 21、 22、 23y軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 31、 32、 33z軸在結構坐標系軸在結構坐標系XYZ中的方向余弦中的方向余弦 e（5-64） 容易理解，式（容易理解，式（5-64）可代表）可代表空間鉸接桿中一個空間鉸接桿中一個節(jié)點的節(jié)點位移坐標變換?？臻g桿單元有節(jié)點的節(jié)點位移坐標變換?？臻g桿單元有2個個節(jié)點，節(jié)點，所以坐標變換矩陣一般可表示為：所以坐標變換矩陣一般可表示為： 00R（5-66）下面討論下面討論 矩陣中元素矩陣中元素 ij(i=1、2、3，j=1、2、3

40、)。 對于空間桿單元，無論單元在結構中的位置如何，對于空間桿單元，無論單元在結構中的位置如何，都可以把單元坐標系的都可以把單元坐標系的xy面面和結構坐標系的和結構坐標系的XY面面取取成豎向平面，單元坐標系的成豎向平面，單元坐標系的z軸和結構坐標系的軸和結構坐標系的Z軸同軸同在水平面內。在水平面內。xyzXYZ i j lj 1) x軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦：jXjZ任一單元任一單元ij的長度為的長度為l。單元坐標系中。單元坐標系中x軸從軸從i指向指向j，jYlZZlYYlXXijijij131211,（5-67）Xi、Yi、Zi節(jié)點節(jié)點i在結構坐標系中的坐標

41、在結構坐標系中的坐標Xj、Yj、Zj節(jié)點節(jié)點j在結構坐標系中的坐標在結構坐標系中的坐標2) z軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦：個方向余弦： 注意到注意到Y軸、軸、x軸和線段軸和線段ij 在同一豎直平面內。在同一豎直平面內。z軸在水平面內，軸在水平面內， z軸與軸與Y軸垂直，軸垂直， z軸也與軸也與線段線段ij 垂直。垂直。z軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦為：個方向余弦為：sin)2cos(),cos(31Xz22)()(ijijijXZZXXZZj ij j代入式（代入式（5-67），得），得 213211133102cos),cos(32Yz2132111

42、133cos),cos(Zz（5-68）3) y軸在結構坐標系中的軸在結構坐標系中的3個方向余弦個方向余弦：引入記號：引入記號： i1、i2、i3結構坐標系中結構坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量e1、e2、e3單元坐標系中單元坐標系中3個坐標軸方向的單位矢量個坐標軸方向的單位矢量有有3132121111iiie3232221212iiie3332321313iiie因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有因為單元坐標系是右手螺旋坐標系，故有132eee按矢量乘法規(guī)則，即得按矢量乘法規(guī)則，即得131211333132120iiie31231213311133112332)()(

43、)(iiie于是得于是得213211131212312321321113311133222132111211123321（5-69）綜合式（綜合式（5-67）、（）、（5-68）、（）、（5-69），得空間桿單），得空間桿單元的元的 矩陣矩陣 2132111121321113213211131221321121321112111312110（5-70） 必須指出：對于豎直空間桿單元，式（必須指出：對于豎直空間桿單元，式（5-70）是）是不能用的，因為不能用的，因為 112+ 132 =0，將導致計算溢出。，將導致計算溢出。lZZlYYlXXijijij131211,（5-67）豎直空間鉸接桿單

44、元豎直空間鉸接桿單元 豎直的空間鉸接桿單元不外有下圖示出的兩種情豎直的空間鉸接桿單元不外有下圖示出的兩種情況：況：XYZijxyzXYZijxyz（a）（b） 對于豎直的空間桿單元，單元坐標系中的對于豎直的空間桿單元，單元坐標系中的z軸方軸方向沒有特殊限制，水平面內任何方向皆可取作向沒有特殊限制，水平面內任何方向皆可取作z軸方軸方向。為了計算簡便起見，這里規(guī)定：向。為了計算簡便起見，這里規(guī)定： z軸方向與結構坐標系中的軸方向與結構坐標系中的Z軸方向相同。軸方向相同。 根據(jù)上圖容易確定單元坐標軸根據(jù)上圖容易確定單元坐標軸x、y、z在結構在結構坐標系中的方向余弦，從而直接得到坐標系中的方向余弦，從

45、而直接得到 矩陣：矩陣： 10000001212（5-71） 333231232221131211X與x為90，Y與x為0或180；Z與x為05.7 桁架結構有限元程序（TRUSS ） 1、程序使用步驟：、程序使用步驟： 1） 輸入程序輸入程序 2）編譯調試，無錯）編譯調試，無錯 4）建立輸入數(shù)據(jù)文件（文件名：）建立輸入數(shù)據(jù)文件（文件名：T1.DAT） 5）在程序中輸入節(jié)點力）在程序中輸入節(jié)點力 6）編譯執(zhí)行得計算結果（文件名：）編譯執(zhí)行得計算結果（文件名：OUTT1.，可改變）可改變） 注：每個算例都需修改程序，數(shù)組說明和節(jié)點力輸入。注：每個算例都需修改程序，數(shù)組說明和節(jié)點力輸入。5.7 桁

46、架結構有限元程序（TRUSS ） 2、輸入數(shù)據(jù)格式、輸入數(shù)據(jù)格式（文件名：T1.DAT）1）總信息：NN，NE，ND，NFIX，E 結 點 數(shù)；單元數(shù)；總自由度數(shù)；約束總數(shù)；彈性模量2）單元節(jié)點編號i，j，A： LOC（I,1），LOC（I,2），AREA（I）,單元順序3）節(jié)點坐標x，y：CX（J），CY（J），節(jié)點順序4）約束自由度號：IFIX（K）,結點順序(x向在前，y向在后)5.7 桁架結構有限元程序（TRUSS ） 3、載荷信息、載荷信息 在程序中輸入節(jié)點力F(i)。 4、輸出數(shù)據(jù)、輸出數(shù)據(jù)（文件名：OUTT1.）1）總信息：NN，NE，ND，NFIX，E2）結點號和結點力：I，F(xiàn)

47、(2*I-1)，F(xiàn)(2*I) 3）結點號和結點位移：I，F(xiàn)(2*I-1),F(2*I) （求解后F存入結點位移）5.7 桁架結構有限元程序（TRUSS ） 5、 TRUSS主程序主程序 數(shù)組大小、等價節(jié)點力（程序中輸入）、輸入輸出文件名5.7 桁架結構有限元程序（TRUSS ）5.7 桁架結構有限元程序（TRUSS ）6、桁架算例、桁架算例 算例算例1：圖示三桿桁架結構，桿件橫截面積：圖示三桿桁架結構，桿件橫截面積A=1.0cm2,彈性模量彈性模量E=2.0105MPa。試用。試用TRUSS程序計算結點程序計算結點位移和單元內力。位移和單元內力。 6、桁架算例、桁架算例 單位統(tǒng)一 :cm，N 建立數(shù)據(jù)文件T1.DAT 在程序中輸入載荷，在結點1的Y向載荷為-10kN。SAP2000分析5.8 剛架有限元程序（剛架有限元程序（FRAME）1、程序使用步驟：、程序使用步驟： 1） 輸入程序輸入程序 2）編譯調試，無錯）編譯調試，無錯 4）建立輸入數(shù)據(jù)文件（文件名：）建立輸入數(shù)據(jù)文件（文件名：F1.DAT） 5）在程序中輸入節(jié)點力）在程序中輸入節(jié)點力 6）編譯執(zhí)行得計算結果（文件名：）編譯執(zhí)行得計算結果（文件名：OUTF1.，可改變）可改變）注注1：根據(jù)算例情況需修改數(shù)組大小。：根據(jù)算例情況需修改數(shù)組大小。注注2：集中載荷處、變截面處均設結點，集中載荷按結構坐標系