全等三角形經(jīng)典例題

1、全等三角形經(jīng)典例題（全等三角形的概念和性質(zhì)）類型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合同三角形，假設(shè)abc和a1b1c1是全等 (合同）三角形，點(diǎn)a與點(diǎn) a1對(duì)應(yīng)，點(diǎn) b與點(diǎn) b1對(duì)應(yīng)，點(diǎn) c與點(diǎn) c1對(duì)應(yīng)，當(dāng)沿周界 abc a，及 a1b1c1a1環(huán)繞時(shí) , 若運(yùn)動(dòng)方向相同，則稱它們是真正合同三角形（如圖1） ，若運(yùn)動(dòng)方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形(如圖 2）, 兩個(gè)真正合同三角形都可以在平面內(nèi)通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合， 兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180, 下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是（）

2、（答案） b；提示：抓住關(guān)鍵語(yǔ)句 , 兩個(gè)鏡面合同三角形要重合, 則必須將其中一個(gè)翻轉(zhuǎn)180，b答案中的兩個(gè)三角形經(jīng)過翻轉(zhuǎn)180就可以重合，故選b；其它三個(gè)選項(xiàng)都需要通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合 . 類型二、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角類型三、全等三角形性質(zhì)3、 如圖, 將長(zhǎng)方形 abcd沿 ae 折疊，使d點(diǎn)落在 bc 邊上的f點(diǎn)處，如果60baf， 那么dae等于（ )a。60 b。45 c。30 d.15（答案） d ； （解析）因?yàn)?afe是由 ade折疊形成的，所以 afe ade, 所以 faedae ，又因?yàn)?0baf，所以fae dae 9060215. （點(diǎn)評(píng)）折疊所形成的三角形與

3、原三角形是全等的關(guān)系, 抓住全等三角形對(duì)應(yīng)角相等來解題. 舉一反三： （變式 ) 如圖，在長(zhǎng)方形 abcd 中，將bcd沿其對(duì)角線 bd翻折得到 bed ，若135，則 2_。（答案） 35；提示：將 bcd 沿其對(duì)角線 bd翻折得到 bed,所以 2cbd ，又因?yàn)?ad bc ，所以 1cbd ，所以 235. 4、 如圖，abe和adc 是abc分別沿著 ab ，ac翻折 180形成的 , 若1232853，的度數(shù)是 _. （答案） 80(解析）1232853， 設(shè)128x,25x，33x, 28x5x3x36x180，x5即1140， 225，315abe和adc 是abc分別沿著 a

4、b ，ac翻折 180形成的，abe adc abc2abe ，3acd ebc bcd 2223503080（點(diǎn)評(píng)）此題涉及到了三角形內(nèi)角和, 外角和定理，并且要運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)來解決問題。見“比例”設(shè)未知數(shù)x 是比較常用的解題思路 . 舉一反三： ( 變式) 如圖, 在abc中，a： abc:bca 3:5:10 ，又mnc abc ，則bcm ：bcn等于( ）a1：2 b1:3c2:3 d1：4 （答案)d；提示：設(shè)a3x, abc 5x, bca 10 x，則 3x5x10 x18x180,x10. 又因?yàn)閙nc abc ，所以 nb50，cn cb ，所以 ncbn

5、50, acb mcn 100， bcn 180 50 50 80, 所以bcm ：b cn 20:80 1：4. (全等三角形判定一（ sss ，sas)）類型一、全等三角形的判定1- “邊邊邊”1、如圖，在 abc和ade中,abac ，ad ae ，bd ce ，求證 : bad cae 。（答案與解析）證明：在 abd和ace 中,abacadaebdceabd ace(sss) bad cae （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 ). （點(diǎn)評(píng)）把證明一對(duì)角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì) . 要證 bad cae ，先找出這兩個(gè)角所在的三角形分

6、別是bda和cae,然后證這兩個(gè)三角形全等。舉一反三：（變式) 已知: 如圖， ad bc,ac bd 。試證明 : cad dbc. （答案）證明 : 連接 dc ，在acd與bdc 中adbcacbdcddc 公共邊acd bdc(sss ）cad dbc( 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”2、3、舉一反三 : （變式) 已知, 如圖, 在四邊形 abcd 中，ac平分bad ，ce ab于 e，并且ae 12（ab ad ） ，求證： bd180。(答案）證明：在線段ae上，截取 ef eb ，連接 fc ，ce ab ， ceb cef 90在 cbe 和cf

7、e中，cebcefec =ecebef cbe 和cfe(sas ） bcfe ae12（ab ad)，2ae abad ad 2ae ab aeaf ef，ad 2（af ef）ab 2af 2ef ab af af ef eb ab af ab ab ，即 ad af 在 afc和adc中(afadfacdacacac角平分線定義） afc adc(sas ） afc d afc cfe 180，bcfe.afc b180，bd 180. 類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、如圖，公園里有一條“ z字形道路 abcd, 其中 ab cd ，在 ab ，bc ，cd三段路旁各有一個(gè)小石凳e，

8、m ，f，且 be cf ，m在 bc的中點(diǎn)。試判斷三個(gè)石凳e，m ，f是否恰好在一條直線上？ why? （答案與解析）三個(gè)小石凳在一條直線上證明： ab平行 cd （已知） bc(兩直線平行 , 內(nèi)錯(cuò)角相等）m在 bc的中點(diǎn)（已知） bm cm( 中點(diǎn)定義 ) 在bme 和cmf 中becfbdbmmcbme cmf （sas ） emb fmc （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）emf emb bmf fmc bmf bmc 180（等式的性質(zhì)） e，m ，f 在同一直線上（點(diǎn)評(píng)）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型, 再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決 . 由已知易證 bme cmf, 可得 emb f

9、mc, 再由 emf emb bmf fmc bmf bmc 180得到 e， m ，f 在同一直線上 .（全等三角形判定二（ asa，aas） ）類型一、全等三角形的判定3“角邊角”1、如圖， g是線段 ab上一點(diǎn) ,ac 和 dg相交于點(diǎn) e。請(qǐng)先作出 abc的平分線 bf，交 ac于點(diǎn) f；然后證明：當(dāng) ad bc,ad bc ，abc 2adg時(shí)，de bf。(答案與解析）證明: ad bc,dac cbf平分abcabc 2cbfabc 2adgcbf adg在dae與bcf中cdacbcadcbfadgdae bcf （ asa)de bf （點(diǎn)評(píng)） 利用全等三角形證明線段（角)相

10、等的一般方法和步驟如下： (1)找到以待證角 ( 線段) 為內(nèi)角 (邊)的兩個(gè)三角形； (2）證明這兩個(gè)三角形全等；（3）由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角( 線段)相等(變式）已知：如圖，在mpn 中，h是高 mq 和 nr的交點(diǎn)，且 mq nq 求證： hn pm 。(答案）證明： mq 和 nr是mpn 的高， mqn mrn 90，又 132490, 34 12 在mpq 和nhq 中，12mqnqmqpnqhmpq nhq （asa) pm hn 類型二、全等三角形的判定4-“角角邊”2、已知：如圖，90acb,acbc，cd是經(jīng)過點(diǎn)c的一條直線，過點(diǎn)a、b 分別作aecd、bfcd,

11、 垂足為 e、f,求證：cebf. （答案與解析 ) 證明：cdae,cdbf90bfcaec90bbcf,90acb90acfbcfbacf在bcf 和cae 中bcacbacebfcaecbcf cae （ aas) bfce(點(diǎn)評(píng)) 要證bfce，只需證含有這兩個(gè)線段的bcf cae. 同角的余角相等是找角等的好方法. 3、平面內(nèi)有一等腰直角三角板 （acb 90）和一直線 mn 過點(diǎn) c作 ce mn 于點(diǎn) e,過點(diǎn) b作 bfmn 于點(diǎn) f當(dāng)點(diǎn) e與點(diǎn) a重合時(shí)（如圖 1） ，易證:afbf 2ce 當(dāng)三角板繞點(diǎn) a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 2 的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證

12、明；若不成立，線段af 、bf 、ce之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明（答案與解析） 解：圖 2，af bf 2ce仍成立，證明：過 b作 bh ce于點(diǎn) h, cbh bch ace bch 90 cbh ace 在ace與cbh 中，90achcbhaecchbacbcace cbh （aas) ch ae ，bf he ，ce ef ，af bfae ef bfch ef he ce ef2ec （點(diǎn)評(píng)) 過 b作 bh ce與點(diǎn) h ，易證 ach cbh ，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得af bf 2ce 正確作出垂線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵。舉一反

13、三：(變式） 錯(cuò)誤!未找到引用源。 已知 rtabc中,acbc ，c 90,d 為 ab邊的中點(diǎn) , edf 90，edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ac 、cb于 e、f當(dāng) edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de ac于 e時(shí)( 如圖 1)，易證12defcefabcsss； 當(dāng)edf繞 d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de和 ac不垂直時(shí)，在圖 2 情況下 , 上述結(jié)論是否成立 ?若成立，請(qǐng)給予證明 ; 若不成立 , 請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明. （答案）解: 圖 2 成立; 證明圖 2：過點(diǎn) d 作 dmacdnbc，則90dmednfmdn在amd 和dnb中，amd=dnb=90abadbdamd dnb(aas

14、）dm dn mde edn ndf edn 90， mde ndf 在dme 與dnf中，90emdfdndmdnmdendfdme dnf （asa)dmednfssdefcefdmcndecfs=s=ss.四邊形四邊形可知abcdmcn1s=s2四邊形，12defcefabcsss類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望，為了炸掉敵軍的碉堡，要知道碉堡與我軍陣地的距離。在不能過河測(cè)量又沒有任何測(cè)量工具的情況下，一名戰(zhàn)士想出了這樣一個(gè)辦法：他面向碉堡站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部. 然后，他轉(zhuǎn)身向后，保持剛才的姿態(tài)，這時(shí)視線落在了自

15、己這岸的某一點(diǎn)上。接著，他用步測(cè)的辦法量出了自己與該點(diǎn)的距離, 這個(gè)距離就是他與碉堡的距離。這名戰(zhàn)士的方法有道理嗎?請(qǐng)畫圖并結(jié)合圖形說明理由. （答案與解析 )設(shè)戰(zhàn)士的身高為 ab ，點(diǎn) c是碉堡的底部 , 點(diǎn) d是被觀測(cè)到的我軍陣地岸上的點(diǎn)，由在觀察過程中視線與帽檐的夾角不變 , 可知 bad bac ，abd abc 90。在abd和abc 中，abdabcababbadbacabd和abc （asa ）bd bc.這名戰(zhàn)士的方法有道理。(點(diǎn)評(píng)） 解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形說明那名戰(zhàn)士測(cè)出的距離就是陣地與碉堡的距離，可以先畫出示意圖, 然后利用全等三角形進(jìn)行說明。解決本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型

16、，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來分析和解決。直角三角形全等判定類型一、直角三角形全等的判定- “hl ”1、 判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“”，全等的注明理由：(1 ）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等; （）(2 ）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等; ( ）(3) 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等 ; （）（4）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等（）（答案） (1) 全等， “aas ； （2）全等 , “aas ” ；(3 ）全等， “sas ”; （4）全等, “hl”. （解析） 理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來判斷. （點(diǎn)評(píng)） 直角三角形全等可用的判定方法有5 種:sas、asa

17、 、aas 、sss 、hl 。舉一反三：（變式）下列說法中 ,正確的畫“”；錯(cuò)誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形 . (1）一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（ ) (2）有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ) （3）有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ) （答案 ) （1）； （2）；在 abc 和dbc中，ab db ，ae和 df是其中一邊上的高， ae df （3）. 在abc和abd中，ab ab ，ad ac ，ah為第三 邊上的高，2、已知：如圖 ,deac ，bf ac ，ad bc,de bf 。求證： ab dc 。（答案與解析） 證

18、明： de ac ，bf ac ，在 rtade 與 rtcbf中.adbcdebf，rtade rtcbf （hl ） ae cf ，de bf ae ef cf ef，即 af ce 在 rtcde 與 rtabf中,debfdecbfaecfartcde rtabf （sas ） dce baf ab dc. (點(diǎn)評(píng)） 從已知條件只能先證出rtade rtcbf ，從結(jié)論又需證rtcde rtabf.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目。3、舉一反三： （變式）4、如圖, abc 中，acb 90，ac bc ，ae是 bc邊上的中線，過 c作 cfae ，垂足為 f，過 b作 bd

19、 bc交 cf的延長(zhǎng)線于 d.（1)求證:aecd;（2）若 ac 12cm，求 bd的長(zhǎng)。（答案與解析）（1）證明： db bc ，cf ae ， dcb ddcb aec 90daec 又dbc eca 90，且 bc ca ， dbc eca （aas ） ae cd （2） 解: 由 （1） 得 ae cd,ac bc,cdb aec(hl ） bd ec 12bc 12ac ，且 ac 12bd 6cm（點(diǎn)評(píng) )三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什

20、么條件。角的平分線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn). 這點(diǎn)叫做三角形的旁心。三角形有三個(gè)旁心。所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有 4 個(gè). 如圖所示： abc的內(nèi)心為1p，旁心為234,pp p，這四個(gè)點(diǎn)到abc 三邊所在直線距離相等 .（典型例題 ）類型一、角的平分線的性質(zhì)及判定1、已知：如圖，在abc中,ad 平分 bac ，de ab于 e，df ac于 f。 求證： ae af （答案與解析 ) 證明: ad平分 bac ，de ab

21、于 e,dfac于 f. de df （角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）90aedafd( 垂直定義 ) 在rt aed和rt afd中dedfadadrt aedrt afd（hl）aeaf（點(diǎn)評(píng)） 先由角平分線的性質(zhì)得出de df ，再證rt aedrt afd，即可得出 ae af.分析已知，尋找條件，順次證明舉一反三： ( 變式）如圖， ad是bac 的平分線， de ab ，交 ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn) e，df ac于點(diǎn) f,且 db dc.求證： be cf 。（答案） 證明： de ae,df ac ，ad是bac 的平分線 , de df ，bed dfc 90在 rtbde 與

22、rtcdf中，dbdcdedf，rtbde rtcdf(hl ） be cf 2、3、如圖， ac=db, pac與pbd的面積相等求證 :op平分 aob （答案與解析）證明：作 pm oa于 m,pn ob于 n 12pacsac pm，12pbdsbd pn, 且pacspbds12ac pm12bd pn又ac bd pm pn 又pm oa,pn ob op平分 aob (點(diǎn)評(píng)）觀察已知條件中提到的三角形pac 與pbd,顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得. 跟三角形的高結(jié)合的題目，有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效果.

23、4、舉一反三：（變式）如圖， dc ab ，bad和adc 的平分線相交于e，過 e 的直線分別交 dc 、ab于 c 、b兩點(diǎn)。 求證： ad ab dc. （答案）證明: 在線段 ad上取 af ab ，連接 ef ，ae 是 bad的角平分線， 12, af ab aeae ， abe afe ， bafe 由 cd ab又可得 cb180， afe c180，又 dfe afe180， c dfe ，de 是adc的平分線 ,34, 又de de ， cde fde ，df dc ，ad df af，ad abdc 全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形（1） 倍長(zhǎng)中

24、線法：1、已知, 如圖, abc中，d是 bc中點(diǎn)，de df,試判斷 be cf與 ef的大小關(guān)系 , 并證明你的結(jié)論 . fedcba(答案與解析） be cf ef；證明：延長(zhǎng) fd到 g ，使 dg df,連結(jié) bg 、eg d 是 bc中點(diǎn)bd cd 又de df在edg 和edf中edededgedfdgdfedg edf(sas ）eg ef 在fdc與gdb 中dgdfbdcd21fdc gdb （sas) cf bg bg be eg be cf ef (點(diǎn)評(píng) ) 因?yàn)?d 是 bc 的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線法，倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段df,使 dg df,證明edg edf ，fdc g

25、db ，這樣就把be 、cf與 ef線段轉(zhuǎn)化到了 beg中, 利用兩邊之和大于第三邊可證.有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長(zhǎng)中線法（或倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段）。舉一反三 : (變式）已知：如圖所示， ce 、cb分別是 abc 與adc 的中線，且 acb abc 求證： cd 2ce (答案） 證明： 延長(zhǎng) ce至 f使 ef ce ，連接 bf ec 為中線， ae be 在aec與bef中，,aebeaecbefceefaec bef （sas) acbf ，afbe （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又acb abc,dbc acb a，fbc abc a acab ，dbc fbc ab bf 又

26、bc 為adc 的中線， ab bd 即 bf bd 在fcb與dcb 中,bfbdfbcdbcbcbcfcb dcb （sas ） cf cd 即 cd 2ce （2） 作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示，在 abc中， c 2b,12求證： ab ac cd （答案與解析） 證明: 在 ab上截取 ae ac 在aed與acd 中，()12()()aeacadad已作 ，已知 ，公用邊 ，aed acd （sas ） aed c(全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等） 又c 2b aed 2b由圖可知： aed bedb, 2 bbedb bedb be ed 即 be c

27、d ab ae be ac cd （等量代換）（點(diǎn)評(píng)) 本題圖形簡(jiǎn)單，結(jié)論復(fù)雜 , 看似無從下手 , 結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)ab ac 故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法在 ab上截取 ae ac 這樣 ab就變成了 ae be ， 而 ae ac 只需證 be cd即可從而把 ab ac cd轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題舉一反三 : （變式）如圖 ,ad 是abc的角平分線， h,g分別在 ac ，ab上, 且 hd bd. （1）求證： b與ahd 互補(bǔ)；(2）若 b2dga 180, 請(qǐng)?zhí)骄烤€段 ag與線段 ah 、hd之間滿足的等量關(guān)系 , 并加以證明。(答案） 證明:(1 ）在 ab上取一點(diǎn) m ， 使得 am ah

28、, 連接 dm 。 cad bad ， adad, ahd amd. hdmd, ahd amd 。 hddb ， db md. dmb b。 amd dmb 180 , ahd b 180 。 即 b 與ahd 互補(bǔ)。（2）由(1）ahd amd, hd md, ahd b 180 。 b2dga 180 ， ah d 2dga. amd 2dgm. amd dgm gdm. 2 dgm dgm gdm. dgm gdm. md mg 。 hd mg 。 ag ammg ， ag ahhd. （3）. 利用截長(zhǎng) (或補(bǔ)短）法作構(gòu)造全等三角形: 3、如圖所示，已知 abc中 ab ac,ad是

29、bac的平分線， m是 ad上任意一點(diǎn), 求證:mbmc ab ac （答案與解析 ) 證明：因?yàn)?ab ac ，則在 ab上截取 ae ac ，連接 me 在mbe 中，mb me be （三角形兩邊之差小于第三邊） 在amc 和ame 中，()()()acaecameamamam所作 ，角平分線的定義，公共邊 ，amc ame （sas ） mcme （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 又 be ab ae ， be ab ac, mbmc ab ac (點(diǎn)評(píng)）因?yàn)?ab ac,所以可在 ab上截取線段 ae ac ，這時(shí) be ab ac ，如果連接 em ，在bme 中，顯然有 mb me b

30、e 這表明只要證明me mc ，則結(jié)論成立充分利用角平分線的對(duì)稱性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵。舉一反三： ( 變式）如圖， ad是abc的角平分線， ab ac ，求證 :abac bd dc (答案）證明: 在 ab上截取 ae ac,連結(jié) de ad是abc的角平分線， bad cad在aed與acd 中adadcadbadacaeaed adc （ sas ）de dc 在bed中，be bd dc 即 ab ae bd dc ab ac bd dc (4）. 在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段。4、 如圖所示，已知 e為正方形 abcd 的邊 cd的中點(diǎn)，點(diǎn) f 在 bc上, 且dae fa

31、e mghdcbaedcba求證： af ad cf （答案與解析 ) 證明： 作 me af于 m ，連接 ef 四邊形 abcd 為正方形 , cdema 90又dae fae, ae 為fad的平分線， mede 在 rtame 與 rtade中，()()aeaedeme公用邊 ，已證 ， rt ame rtade(hl) ad am （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)又 e 為 cd中點(diǎn)， de ec meec 在 rtemf 與 rtecf中，()(meceefef已證 ，公用邊 ) ， rt emf rtecf （hl) mffc （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ) 由圖可知： af am mf ，

32、 af ad fc(等量代換 ) （點(diǎn)評(píng)） 與角平分線有關(guān)的輔助線: 在角兩邊截取相等的線段, 構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段 . 四邊形 abcd 為正方形 , 則d 90 而dae fae說明 ae為fad的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離, 而 e 到 ad的距離已有 , 只需作 e 到af的距離 em 即可， 由角平分線性質(zhì)可知me de ae ae rtame 與 rtade 全等有 ad am 而題中要證 af ad cf 根據(jù)圖知 af am mf 故只需證 mf fc即可從而把證af ad cf轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題5、如圖所示，在

33、abc中，ac=bc ，acb=90 ，d 是 ac上一點(diǎn) , 且 ae 垂直 bd的延長(zhǎng)線于 e，12aebd，求證 :bd 是abc的平分線（答案與解析）證明: 延長(zhǎng) ae和 bc ，交于點(diǎn) f，ac bc ，be ae,ade= bdc （對(duì)頂角相等） , ead+ ade= cbd+ bdc 即 ead= cbd 在 rtacf和 rtbcd 中所以 rtacf rtbcd （asa ） 則 af=bd （全等三角 ae=bd,ae=形對(duì)應(yīng)邊相等）af,即 ae=ef 在 rtbea 和 rtbef中，則 rtbea rtbef（sas) 所以abe= fbe(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

34、, 即 bd是abc的平分線（點(diǎn)評(píng)） 如果由題目已知無法直接得到三角形全等, 不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法。類型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問題6、在 abc中， acb 90，ac bc ，直線 l 經(jīng)過頂點(diǎn) c ，過 a，b 兩點(diǎn)分別作 l 的垂線 ae ，bf ，垂足分別為 e,f。（1）如圖 1 當(dāng)直線 l 不與底邊 ab相交時(shí)，求證： ef aebf 。（2）將直線 l 繞點(diǎn) c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使 l 與底邊 ab相交于點(diǎn) d ，請(qǐng)你探究直線 l 在如下位置時(shí) ,ef、ae 、bf之間的關(guān)系， ad bd;ad bd ；ad bd

35、。(答案與解析） 證明:（1）ae l ，bf l ，aeccfb90， 1290acb 90， 2390 13。在ace和cbf中，13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf ef ce cf ，ef ae bf 。（2)efae bf ，理由如下 : ae l ,bf l ， aec cfb 90, 1290acb 90, 2390, 13. 在 ace和cbf中13aeccfbacbcace cbf （aas ）ae cf,ce bf efcf ce ，ef ae bf 。 efae bf efbf ae證明同。(點(diǎn)評(píng)） 解決動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾

36、點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說理過程對(duì)變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過程中 , 哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間 , 證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程, 其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化。舉一反三 :（變式）已知：在 abc中，bac 90，ab ac ，點(diǎn) d為射線 bc上一動(dòng)點(diǎn) , 連結(jié) ad ，以 ad為一邊且在 ad的右側(cè)作正方形adef （1）當(dāng)點(diǎn) d在線段 bc上時(shí)( 與點(diǎn) b不重合） ，如圖 1，求證 :cfbd （2)當(dāng)點(diǎn) d運(yùn)動(dòng)到線段

37、bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，第（ 1）問中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由. （答案） 證明:(1 ）正方形 adef ad af ，daf 90daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中，abacbadcafadafabd acf （sas ） bd cf （2）當(dāng)點(diǎn) d運(yùn)動(dòng)到線段 bc的延長(zhǎng)線上時(shí) , 仍有 bd cf 此時(shí) daf dac bac dac ，即 bad caf 在abd和acf中,abacbadcafadafabd acf （sas) bd cf全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ)) 類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定1、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板

38、如圖1 所示放置 , 圖 2 是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，連結(jié)dc （ 1) 請(qǐng)找出圖2 中的全等三角形, 并給予證明 ( 說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母) ；（2）證明： dc be . ( 答案與解析 ) 解: （1） bae cad 證明： bac ead 90bac cae ead cae 即 bae cad 又ab ac ， ae ad, abe acd （sas) （2）由（ 1）得 bea cda,又 coe aod bea coe cda aod 90則有 dce 180 90 90，所以 dc be. ( 點(diǎn)評(píng) ) abe與 acd中 , 已經(jīng)有兩邊，

39、夾角可以通過等量代換找到，從而證明abe acd ；通過全等三角形的性質(zhì),通過導(dǎo)角可證垂直。我們可以試著從變換的角度看待abe與 acd ，后一個(gè)三角形是前一個(gè)三角形繞著a點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的 , 對(duì)應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)的角度90，即 dc be 。舉一反三：（變式）如圖，已知：ae ab，ad ac ，ab ac ， b c，求證： bd ce。( 答案） 證明 : ae ab ，ad ac， eab dac 90 eab dae dac dae ，即 dab eac. 在 dab與 eac中,dabeacabacbc dab eac （sas ） bd ce 。類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三

40、角形（1） 作公共邊可構(gòu)造全等三角形:2、如圖 : 在四邊形abcd 中,ad cb ，ab cd.求證 : b d。（答案與解析）證明 : 連接 ac ， ad cb,abcd 。 1 2， 3 4 在 abc與 cda中1243acca abc cda （asa) b d ( 點(diǎn)評(píng)） b與 d不包含在任何兩個(gè)三角形中，只有添加輔助線ac ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可構(gòu)造出全等三角形。添加公共邊作為輔助線的時(shí)候不能割裂所給的條件，如果證a c,則連接對(duì)角線bd 。舉一反三： ( 變式 ) 在 abc中， abac 。求證： b c ( 答案） 證明：過點(diǎn)a作 ad bc在 rtabd與 rtacd中abacadadrtabd rt acd （hl） b c。(2) 倍長(zhǎng)中線法：3、( 點(diǎn)評(píng)） 用倍長(zhǎng)中線法可將線段ac ，2ad,ab 轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，把分散的條件集中起來。倍長(zhǎng)中線法實(shí)際上是繞著中點(diǎn) d旋轉(zhuǎn) 180。舉一反三：（變式 ) 若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和 7, 則第三邊的中線長(zhǎng)x的取值范圍是 ( ） a.1 x 6 b。 5 x 7 c.2 x 12 d。無法確定所以選 a選項(xiàng) . ( 答案 ) a ；提示：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，752x7 5，(3 ）. 作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形: 4、在 abc中，