高中一元二次不等式解法及其應(yīng)用

1、一元二次不等式解法【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式經(jīng)過(guò)變形，可以化成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2+bx+c0(a0);ax2+bx+c0(a0).2.一元二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集對(duì)比表  二次函數(shù)情況一元二次方程一元二次不等式  y=ax2+bx+c(a0)=b2-4acax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)圖像與解0x1= x2= 不等式解集為xxx1或xx2不等式解集為xx1xx2=0x1=x2=x0= 不等式解集xxx0,xR解集為 0方程無(wú)解不等式解集為R(一切實(shí)數(shù))解集為 a0的

2、情況自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)(x-an)0,(x-a1)(x-a2)(x-an)0，其中a1a2an.把a(bǔ)1,a2,an按大小順序標(biāo)在數(shù)軸上，則不等式的解的區(qū)間如圖所示：4.分式不等式 ( ,bj互不相等)把a(bǔ)1,a2,an和b1,b2，bm按照從小到大的順序標(biāo)在數(shù)軸上，該分式不等式的解的區(qū)間的情況與(3)中所述類似，分n+m為奇數(shù)或偶數(shù)在數(shù)軸上表示.綜合可知，一元二次不等式的解法充分運(yùn)用了“函數(shù)與方程”，“數(shù)形結(jié)合”及“化歸”的數(shù)學(xué)思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，一元二次不等式ax2+b

3、x+c0，ax2+bx+c0的解就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零時(shí)x的取值范圍，因此解一元二次方程ax2+bx+c0，ax2+bx+c0一般要畫與之對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本小節(jié)重點(diǎn)是一元二次不等式的解法，難點(diǎn)是一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用一元二次不等式解決某些應(yīng)用問(wèn)題。例1  解下列關(guān)于x的不等式：(1)2x+3-x20;(2)x(x+2)-1x(3-x);(3)x2-2 x+30;(4)x2+6(x+3)3;分析  解一元二次不等式一般步驟是：化為標(biāo)準(zhǔn)形式；確定判別式=b2-4ac的符號(hào)；若

4、0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根；若0，則對(duì)應(yīng)二次方程無(wú)根；聯(lián)系二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集(在兩根之內(nèi)或兩根之外).解：(1)原不等式可化為x2-2x-30,(x-3)(x+1)0.  不等式的解集為x-1x3.(2)原不等式可化為2x2-x-20,(2x+1)(x-1)0.  不等式的解集為xx- ，或x1.(3)原不等式可化為(x- )20.  不等式的解集為xxR且x .(4)原不等式可化為x2+6x+150.  0，方程x2+6x+15=0無(wú)實(shí)根， 

5、 不等式的解集為R.評(píng)析  熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之間的關(guān)系，再加上熟練地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心應(yīng)手.例2  解不等式 2.解：原不等式可化為 -20,即為 0，分子、分母必須同號(hào)，即可化為 由于-2x2-x-1恒為負(fù)值，不等式除以(-2x2-x-1)得 即x2+2x-30，即(x+3)(x-1)0.解之得-3x1.原不等式的解集為x-3x1.遇到分式不等式，一般應(yīng)化為右邊為零的形式，即化為 0，然后轉(zhuǎn)化為 (當(dāng)分式不等式的分母恒為正(或?yàn)樨?fù))時(shí)，可以去分母，如 0 x-10且 )例3  若函數(shù)f(x)=ax2+b

6、x+c(a0)對(duì)任意的實(shí)數(shù)t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是(    )A.f(1)f(2)f(4)           B.f(2)f(1)f(4)C.f(2)f(4)f(1)           D.f(4)f(2)f(1)分析  由條件知x=2為對(duì)稱軸，f(2)最小，f(1)=f(3)，函數(shù)在(2，+)上為增函數(shù)，故選B.評(píng)析  熟記結(jié)論：對(duì)

7、f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.例4  已知不等式ax2+bx+20的解為- x ，求a，b值.解：方法一：顯然a0，由(x+ )(x- )0，得6x2+x-10，變形得-12x2-2x+20，故a=-12,b=-2.方法二：x=- 與x= 是ax2+bx+2=0的兩根，故有 解得 評(píng)析  這里應(yīng)注意韋達(dá)定理的應(yīng)用.【難解巧解點(diǎn)撥】例1  若 x2+qx+q0的解集是x2x4，求實(shí)數(shù)p、q的值.分析  在本題中，已知不等式的解集，要求確定其系數(shù)，這和解不等式的問(wèn)題(已知系數(shù)求其解集)正好是互為逆向的兩類問(wèn)題.

8、這類問(wèn)題可以用下面的方法來(lái)解.先作出一個(gè)解集符合要求的不等式；根據(jù)不等式同解的要求，確定其系數(shù)的數(shù)值.解：不等式(x-2)(x-4)0  的解集為x2x4.即為x2-6x+80.    即-x2+6x-80.這與題中要求的不等式 x2+qx+p0是同解且同向的二次不等式.其對(duì)應(yīng)的系數(shù)成比例，且比值為正數(shù)(即二次項(xiàng)系數(shù)之值同號(hào)). = = 0  解得p=-2 ,q= .說(shuō)明  利用上法確定不等式系數(shù)時(shí)，必須注意：將兩不等式化為同向不等式同向二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)同號(hào)，否則就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.例2    設(shè)A=x-

9、2x-1,或x1，B=xx2+ax+b0，已知AB=xx-2，AB=x1x3，試求a,b的值.分析  在本題求解時(shí)要正確利用圖形進(jìn)行分析.解：如圖所示，設(shè)B=xx設(shè)想集合B所表示的范圍在數(shù)軸上移動(dòng)，顯然當(dāng)且僅當(dāng)B“覆蓋”住集合x-1x3，才能使AB=x1x3“-1且1”，并且-1及=3.=-1,=3.因此B=x-1x3，根據(jù)二次不等式與二次方程的關(guān)系，可知-1與3是方程x2+ax+b=0的兩根.a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.說(shuō)明  類似問(wèn)題一定要借助數(shù)軸上的區(qū)間來(lái)考慮.同時(shí)要認(rèn)真考查端點(diǎn)情況.例3    已知f(x

10、)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果對(duì)一切xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)如果對(duì)x-3，1，f(x)0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：f(x)的圖像開(kāi)口向上.(1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f(x)0，則0，即(a-2)2-40，0a4；(2)當(dāng)x-3，1時(shí)，f(x)0，對(duì)稱軸2-a可在區(qū)間內(nèi)，也可在區(qū)間外， 或 或 解得- a4評(píng)析  函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上f(x)0(或f(x)0) f(x)在該區(qū)間上的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值意義，才能正確處理函數(shù)的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系.【課本難題解答】課本第22頁(yè)  習(xí)題

11、1.5第8題解：原不等式可化為(3x-4)(2x+5)0  x- 或x 所以解集為xx- 或x 解：原不等式可化為(2x-15)(5x+2)0或x=   - x 或x=   即- x 所以解集為x- x 【命題趨勢(shì)分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最簡(jiǎn)單的不等式.歷年高考中，都涉及到解不等式的題目，對(duì)解有理不等式、無(wú)理不等式，解指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式，解絕對(duì)值不等式都進(jìn)行了考查，而解這些類型的不等式最終都要轉(zhuǎn)化成一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來(lái)解.平時(shí)要求學(xué)生熟練掌握一元二次不等式(組)的解，并能靈活應(yīng)用.【典型熱點(diǎn)考題】例1  &#

12、160; 不等式 1解集是          .分析  解不等式一般將一邊變?yōu)榱阍偬幚斫猓簩?1變形為 -10，通分得 >0  即解：(x-4)(x+3)0解得x-3或x4應(yīng)填：x-3或x4注意  本題屬 0型不等式，解此類問(wèn)題一般是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來(lái)解或一元一次不等式組來(lái)解.例2    設(shè)全集為R，A=xx2-5x-60，B=xx-5a(a是常數(shù))，且11B，則(    )A.CRA

13、B=R          B.ACRB=R          C.CRACRB=R         D.AB=R分析  本題考查二次不等式和絕對(duì)值不等式的解法，集合間的關(guān)系，先需分別解出集合A、B，再根據(jù)11B這一條件確定a值范圍，最后在數(shù)軸上判斷集合間并集結(jié)果。解：A=xx2-5x-60=x(x-6)(x+1)0=xx-1或x

14、6B=xx-5a=x-ax-5a=x5-ax5+a.11B  5+a11  a6  從而5-a-1.由數(shù)軸圖可看出，AB=R.  應(yīng)選D.注意  (1)本題主要考查一元二次不等式，含絕對(duì)值不等式的解法，以及集合關(guān)系(并集、補(bǔ)集).(2)作出數(shù)軸圖，將抽象的字母和數(shù)字在數(shù)軸上表示出來(lái)，進(jìn)行比較，由此判定出結(jié)果，是我們解此類問(wèn)題常采用的方法.例3    不等式x2-3x4的解集是            .解：x

15、2-3x4x2-3x-4或x2-3x4即x2-3x+40或x2-3x-40由可化為(x- )2+ 0，顯然解為 .由可化為(x+1)(x-4)0，得解為x-1或x4.應(yīng)填：xx-1或x4.注意  (1)本題主要考查含有絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.(2)將含有絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式來(lái)解，是解好本題的關(guān)鍵.例4    公園要建造一個(gè)圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過(guò)OA的任一平面上拋物線路徑如下左圖所示.

16、為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計(jì)成水流在到OA距離為1米處達(dá)到距水平最大高度為2.25米，如果不計(jì)其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?           分析  由題意可知，本題可借助拋物線這一數(shù)學(xué)模型求解.關(guān)鍵是要根據(jù)題設(shè)條件求出所需的具體拋物線方程.為此，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A所在直線為y軸，水面中垂直O(jiān)A的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如上右圖所示，則水流所呈現(xiàn)的拋物線方程為y=a(x-1)2+2.25.由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1.25)，把x=0,y=1.2

17、5代入方程解得a=-1，于是拋物線方程為y=-(x-1)2+2.25.令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合題意，舍去).所以水池半徑至少要2.5米，才能使水流不落到池外.說(shuō)明  本例在已知解題數(shù)學(xué)模型(拋物線)的前提下，分析題設(shè)的一些數(shù)量關(guān)系，然后確定解題所需的具體的數(shù)學(xué)模型(即拋物線方程).【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1.已知集合A=xx2-2x-30 ，B=xxa ，若B A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )A.0a1；       

18、60; B.a1；            C.-1a3；        D.a1.2.集合A=xx2-3x-100，xZ，B=x2x2-x-60，xZ，則AB的子集的個(gè)數(shù)為(    )A.16；              B.8；    &

19、#160;          C.15；              D.7.3.不等式 0的解集是(    )A.x-1x3                   

20、0;   B.xx-1，或x3C.xx-1，或x3                  D.x-1x34.若對(duì)于任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-x+c的值恒為負(fù)，那么a、c應(yīng)滿足(    )A.a0且ac                

21、;      B.a0且ac C.a0且ac                      D.a0且ac05.考察下列集合：(1)xx-11 ；(2)xx2-3x+20；(3)x 0；(4)x 0，其中是集合A=x1x2 的子集的有(    )A.1個(gè)      

22、0;        B.2個(gè)               C.3個(gè)               D.4個(gè)6.在下列各不等式(組)中，解集為空集的是(    )A.x2+x+1 ；     &

23、#160;                    B.x-1+x-21；C. (其中0a1 ；  D.x2-(a+ )x+10(其中a0).二、填空題1.使函數(shù)y= + 有意義的x的取值范圍是           .2.不等式ax2+bx+20的解集是x- x ,則a+b=  &

24、#160;        .3.不等式 1的解集是           .4.不等式-4x2-3x18的整數(shù)解為           .5.已知關(guān)于x的方程ax2+bx+c0的解集為xx-1或x2.則不等式ax2-bx+c0的解集為        &

25、#160;  .三、解答題1.求不等式x2-2x+2m-m20的解集.2.求m，使不等式 3恒成立.3.關(guān)于x的不等式它的解集為xx1xx2,且1x1-x23，(m-2)x2-mx-10，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.4.已知a1解關(guān)于x的不等式組 5.解不等式 【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.解關(guān)于x的不等式x2-x-a2+a02.已知函數(shù)y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的圖像都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.3.已知A=xx2-3x+20,B=xx2-(a+1)x+a0.(1)若A B，求a的取值范圍；(2)若B A，求a的取值范圍；(3)若AB為僅含有一個(gè)元素的集合，求a的值.【生活實(shí)

26、際運(yùn)用】1.如下圖，鐵路線上AB段長(zhǎng)100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點(diǎn)D處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運(yùn)費(fèi)與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為35.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最少，D點(diǎn)應(yīng)選在何處?2.要在墻上開(kāi)一個(gè)上半部為半圓形，下部為矩形的窗戶(如下圖所示)，在窗框?yàn)槎ㄩL(zhǎng)的條件下，要使窗戶能夠透過(guò)最多的光線，窗戶應(yīng)設(shè)計(jì)成怎樣的尺寸?參考答案：【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1.B  2.A  3.D  4.C  5.A  6.C二、1.x-3x-1    2.a+b=-14    3.xx-1或x0    4.-2，-1，0，1，2，3，4，5    5.x-2x1三、1.當(dāng)m1時(shí)，解集為xx2-m,或xm；當(dāng)m=1時(shí)，解集為x Rx1；當(dāng)m1時(shí)，解集為xxm，或x2-m .