高中數(shù)學(xué)必修二第六章 微專題1

1、1 / 6 微專題微專題 1 平面平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用 向量的數(shù)量積運算、向量的垂直是考查的熱點，平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì)常以客觀題形式考查.解答題以向量為載體，常與三角函數(shù)交匯命題，重視數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的考查，主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng). 一、平面向量數(shù)量積的計算 例 1 (1)如圖，在梯形 abcd 中，abcd，cd2，bad4，若ab ac2ab ad，則ad ac_. 答案 12 解析 因為ab ac2ab ad， 所以ab acab adab ad， 所以ab dcab ad. 因為 abcd，cd2，bad4， 所以

2、 2|ab|ab|ad|cos 4， 化簡得|ad|2 2. 故ad acad (addc)|ad|2ad dc (2 2)22 22cos 412. (2)在abc 中，已知ab與ac的夾角是 90 ，|ab|2，|ac|1，m 是 bc 上的一點，且amabac(，r)，且am bc0，則的值為_. 2 / 6 答案 14 解析 根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則 a(0,0)，b(0,2)，c(1,0)， 所以ab(0,2)，ac(1,0)，bc(1，2). 設(shè) m(x，y)，則am(x，y)， 所以am bc(x，y) (1，2)x2y0， 所以 x2y， 又amabac，

3、即(x，y)(0,2)(1,0)(，2)， 所以 x，y2，所以12y2y14. 反思感悟 平面向量數(shù)量積的運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即 a b|a|b|cos ( 為 a，b 的夾角). (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 a bx1x2y1y2. 提醒：解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算.但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補. 二、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 1.求模 3 / 6 例 21 已知平面向量 a，b 的夾角為6

4、，且|a| 3，|b|2，在abc 中，ab2a2b，ac2a6b，d為 bc 中點，則|ad|_. 答案 2 解析 因為ad12(abac)12(2a2b2a6b)2a2b， 所以|ad|24(ab)24(a22a bb2) 4322 3cos 64 4， 則|ad|2. 2.求夾角 例 22 已知正方形 abcd，點 e 在邊 bc 上，且滿足 2bebc，設(shè)向量ae，bd的夾角為 ，則 cos _. 答案 1010 解析 因為 2bebc， 所以 e為 bc的中點. 設(shè)正方形的邊長為 2，則|ae| 5，|bd|2 2， ae bdab12ad (adab) 12|ad|2|ab|212

5、ad ab1222222， 所以 cos ae bd|ae|bd|252 21010. 3.垂直問題 例 23 abc 是邊長為 2 的等邊三角形，已知向量 a，b 滿足ab2a，ac2ab，則4 / 6 下列結(jié)論正確的是( ) a.|b|1 b.ab c.a b1 d.(4ab)bc 答案 d 解析 bacabbc， |b|bc|2，故 a 錯； ba bc22cos 60 2， 即2a b2， a b1，故 b，c都錯； (4ab) bc(4ab) b4a bb2440， (4ab)bc，故選 d. 反思感悟 (1)求向量的模的方法 公式法：利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a

6、b|b|2，把向量模的運算化為數(shù)量積運算； 幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，然后求解. (2)求平面向量的夾角的方法 定義法：由向量數(shù)量積的定義知，cos a b|a|b|，其中兩個向量的夾角 的范圍為0，求解時應(yīng)求出三個量：a b，|a|，|b|或者找出這三個量之間的關(guān)系； 坐標法：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 cos x1x2y1y2x21y21x22y22. (3)兩向量垂直的應(yīng)用 aba b0|ab|ab|(其中 a0，b0). 三、平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合問題 5 / 6 例 3 (1)已知向量 a(cos x

7、，sin x)，b(3， 3)，x0，若 f(x)a b，求 f(x)的最值. 解 f(x)a b(cos x，sin x) (3， 3)3cos x 3sin x2 3cosx6. 因為 x0，所以 x66，76， 從而1cosx632. 于是，當 x66，即 x0時，f(x)取得最大值 3； 當 x6，即 x56時，f(x)取得最小值2 3. (2)已知向量 m(sin 2，cos )，n(sin ，cos )，其中 r. 若 mn，求 ； 若|mn| 2，求 cos 2的值. 解 若 mn，則 m n0， 即sin (sin 2)cos20， 即 sin 12，可得 2k6或 2k56，kz. 若|mn| 2，則(mn)22， 即(2sin 2)2(2cos )22， 即 4sin248sin 4cos22， 即 88sin 2， 可得 sin 34， 所以 cos 212sin21291618. 反思感悟 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 6 / 6 (1)題目條件給