高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)

1、1 / 17 第第 4 節(jié)節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)冪函數(shù)與二次函數(shù) 考試要求 1.通過具體實(shí)例，結(jié)合 yx，y1x，yx2，y x，yx3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題. 知 識(shí) 梳 理 1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如 yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量， 為常數(shù). (2)常見的五種冪函數(shù)的圖象 (3)冪函數(shù)的性質(zhì) 冪函數(shù)在(0，)上都有定義； 當(dāng) 0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增； 當(dāng) 0) yax2bxc(a0，0；當(dāng)a0，0時(shí)，恒有f(x)0時(shí)，冪

2、函數(shù) yx在(0，)上是增函數(shù).( ) (3)二次函數(shù) yax2bxc(a0)的兩個(gè)零點(diǎn)可以確定函數(shù)的解析式.( ) 3 / 17 (4)二次函數(shù) yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 解析 (1)由于冪函數(shù)的解析式為 f(x)x，故 y2x13不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò). (3)確定二次函數(shù)的解析式需要三個(gè)獨(dú)立的條件，兩個(gè)零點(diǎn)不能確定函數(shù)的解析式. (4)對(duì)稱軸 xb2a，當(dāng)b2a小于 a 或大于 b時(shí)，最值不是4acb24a，故(4)錯(cuò). 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(多填題)(老教材必修 1p79t1 改編)已知冪函數(shù) f(x)k x的圖象過點(diǎn)12，22，

3、則 k_，_. 解析 因?yàn)?f(x)k x是冪函數(shù)，所以 k1. 又 f(x)的圖象過點(diǎn)12，22，所以1222， 所以 12. 答案 1 12 3.(新教材必修第一冊(cè) p86t7 改編)如果函數(shù) f(x)ax22x3 在區(qū)間(，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)2x3 在(，4)單調(diào)遞增. 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在(，4)上單調(diào)遞增. 則 a 需滿足a0，1a4，解得14a0. 綜上可知，14a0. 答案 14，0 4.(2016 全國卷)已知 a243，b323，c2513，則( ) a.bac b.abc 4 / 17 c.bca d.caab.

4、答案 a 5.(2020 廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)3x22(m3)xm3 的值域?yàn)?，)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為( ) a.0，3 b.3，0 c.0，3 d.(，30，) 解析 依題意，得 4(m3)243(m3)0，則 m0 或 m3.實(shí)數(shù) m的取值范圍是0，3. 答案 a 6.(2018 上海卷)已知 2，1，12， 12，1，2，3 .若冪函數(shù) f(x)x為奇函數(shù)，且在(0，)上遞減，則 _. 解析 由 yx為奇函數(shù)，知 取1，1，3. 又 yx在(0，)上遞減，0，取 1. 答案 1 考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例 1】 (1)冪函數(shù) yf(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，

5、則冪函數(shù) yf(x)的大致圖象是( ) (2)(2020 衡水中學(xué)調(diào)研)已知點(diǎn)(m，8)在冪函數(shù) f(x)(m1)xn的圖象上，設(shè) af13，bf(ln )，cf(212)，則 a，b，c 的大小關(guān)系是( ) a.acb b.abc c.bca d.bac 解析 (1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為 yx， 5 / 17 因?yàn)閮绾瘮?shù) yf(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)， 所以 24，解得 12. 所以 y x，其定義域?yàn)?，)，且是增函數(shù)，當(dāng) 0 x12122213， 所以 f(ln )f(212)f13，則 bca. 答案 (1)c (2)a 規(guī)律方法 1.對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握，需記住在第一象限內(nèi)三條線分第

6、一象限為六個(gè)區(qū)域，即 x1，y1，yx 所分區(qū)域.根據(jù) 0，01 的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定. 2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較. 【訓(xùn)練 1】 (1)(多選題)已知點(diǎn)a，12在冪函數(shù) f(x)(a1)xb的圖象上，則函數(shù)f(x)是( ) a.奇函數(shù) b.偶函數(shù) c.(0，)上的增函數(shù) d.(0，)上的減函數(shù) (2)若冪函數(shù) yx1，yxm與 yxn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則 m 與 n 的取值情況為( ) 6 / 17 a.1m0n1 b.1n0m c.1m0n d.1n0m0 時(shí)，yx在(0，)上為增函數(shù)，且 01 時(shí)，圖

7、象上凸，0m1. 當(dāng) 0 時(shí)，yx在(0，)上為減函數(shù). 不妨令 x2，由圖象得 212n，則1n0. 綜上可知，1n0m0 且 a1)與二次函數(shù) y(a1)x2x 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是( ) (2)設(shè)函數(shù) f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0 d.f(m1)0 解析 (1)若 0a1，則 yloga x 在(0，)上是增函數(shù)， y(a1)x2x 圖象開口向上，且對(duì)稱軸在 y 軸右側(cè)， 因此 b項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng) a滿足. (2)因?yàn)?f(x)的對(duì)稱軸為 x12，f(0)a0，所以 f(x)的大致圖象如圖所示. 由 f(m)0，得1m0，所以 f(m1)f(0)0. 答案 (1)a

8、 (2)c 規(guī)律方法 1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與 x 軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向. 2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件. 【訓(xùn)練 3】 一次函數(shù) yaxb與二次函數(shù) yax2bxc 在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是( ) 9 / 17 解析 a中，由一次函數(shù) yaxb的圖象可得 a0，此時(shí)二次函數(shù) yax2bxc 的圖象應(yīng)該開口向上，a錯(cuò)誤； b中，由一次函數(shù) yaxb的圖象可得 a0，b0，此時(shí)二次函數(shù) yax

9、2bxc的圖象應(yīng)該開口向上，對(duì)稱軸 xb2a0，b 錯(cuò)誤；c 中，由一次函數(shù) yaxb的圖象可得 a0，b0，此時(shí)二次函數(shù) yax2bxc的圖象應(yīng)該開口向下，對(duì)稱軸 xb2a0，c正確； d中，由一次函數(shù) yaxb的圖象可得 a0，bxk 在區(qū)間3，1上恒成立，試求 k 的取值范圍. 解 (1)由題意知a0，b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為 (，1. (2)由題意知，x22x1xk在區(qū)間3，1上恒成立，即 kx2x1在區(qū)間 3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1，

10、由 g(x)x12234知 g(x)在區(qū)間3，1上是減函數(shù)，則 g(x)ming(1)1，所以 k1， 10 / 17 故 k 的取值范圍是(，1). 角度 2 二次函數(shù)中的恒成立問題 【例 42】 (2020 沈陽模擬)已知函數(shù) f(x)x2ax6，g(x)x4.若對(duì)任意x1(0，)，存在 x2(，1，使 f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù) a 的最大值為( ) a.6 b.4 c.3 d.2 解析 由題意 f(x)maxg(x)max，(*) 由 g(x)在(，1上單調(diào)遞增，則 g(x)maxg(1)3， f(x)x2ax6xa22a246. 當(dāng) a0 時(shí)，f(x)在0，)上單調(diào)遞減， 所以 f

11、(x)f(0)6，顯然 f(x)0 時(shí)，xa2(0，)，f(x)maxfa2a246. 此時(shí)應(yīng)有a2463，且 a0，解得 00，所以f(x)在(，2上是遞減的，在2，)上是遞增的. (2)x1，1時(shí)，f(x)0a(x1)2x1.(*) 當(dāng) x1 時(shí)，ar，(*)式恒成立. 當(dāng) x1，1)時(shí)，(*)式等價(jià)于 a1x1恒成立. 又 t1x1在1，1)上是減函數(shù)，a1x1max12. 綜上知 a12. 答案 (1)a (2)12， a級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.(2020 濮陽模擬)已知函數(shù) f(x)(m2m1)xm22m3 是冪函數(shù)，且其圖象與兩坐標(biāo)軸都沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m( ) a.1 b.

12、2 c.3 d.2或1 解析 由題意，得 m2m11，解得 m2或 m1. 當(dāng) m2時(shí)，f(x)x5的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，不合題意. 當(dāng) m1時(shí)，f(x)x4的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，符合題意. 綜上可知，m1. 答案 a 2.已知 p：|m1|1，q：冪函數(shù) y(m2m1)xm在(0，)上單調(diào)遞減，則 p是 q 的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 12 / 17 解析 p：由|m1|1 得2m0， 又冪函數(shù) y(m2m1)xm在(0，)上單調(diào)遞減， 所以 m2m11，且 m0)，當(dāng)1x1 時(shí)，|f(x)|1 恒成立，則f23_. 解析 當(dāng) x

13、1，1時(shí)，|f(x)|1恒成立. |f（0）|1|n|11n1；|f（1）|1|2n|13n1， 因此 n1，f(0)1，f(1)1. 由 f(x)的圖象可知：要滿足題意，則圖象的對(duì)稱軸為直線 x0，2m0，m2， f(x)2x21，f2319. 答案 19 14.已知二次函數(shù) f(x)滿足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式； (2)當(dāng) x1，1時(shí)，函數(shù) yf(x)的圖象恒在函數(shù) y2xm 的圖象的上方，求16 / 17 實(shí)數(shù) m的取值范圍. 解 (1)設(shè) f(x)ax2bxc(a0)， 由 f(x1)f(x)2x，得 2axab2x. 所以，2a2 且 a

14、b0，解得 a1，b1， 又 f(0)1，所以 c1. 因此 f(x)的解析式為 f(x)x2x1. (2)因?yàn)楫?dāng) x1，1時(shí)，yf(x)的圖象恒在 y2xm的圖象上方， 所以在1，1上，x2x12xm恒成立； 即 x23x1m在區(qū)間1，1上恒成立. 所以令 g(x)x23x1x32254， 因?yàn)?g(x)在1，1上的最小值為 g(1)1， 所以 m4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正確. 對(duì)稱軸為 x1，即b2a1，2ab0，錯(cuò)誤. 結(jié)合圖象，當(dāng) x1時(shí)，y0，即 abc0，錯(cuò)誤. 由對(duì)稱軸為 x1知，b2a. 根據(jù)拋物線開口向下，知 a0，所以 5a2a， 即 5ab，正確. 答案 b 16.(情景創(chuàng)新題)(2019 衡水中學(xué)二調(diào))若直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同兩點(diǎn) p，q 滿足條件：p，q 都在函數(shù) yf(x)的圖象上，p，q 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱(p，q)是函數(shù) yf(x)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)組(p，q)與(q，p)可看成同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”).已知函