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1、1 / 22 第 5 節(jié) 直線與橢圓的位置關(guān)系 知 識(shí) 梳 理 1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 設(shè) m(x0,y0),橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2y2b21(ab0),則x20a2y20b21點(diǎn)在橢圓外 2直線與橢圓的位置關(guān)系 將直線方程 ykxb(或 xmyn)代入橢圓方程x2a2y2b21(ab0),整理得到關(guān)于 x(或 y)的一個(gè)一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc0),則 b24ac0直線與橢圓相交; b24ac0直線與橢圓相切; b24acb0)相交于 a,b 兩點(diǎn),弦長(zhǎng)公式: |ab|1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2或|ab|11k2|y1y2|11k2(y1y2)24
2、y1y2. 焦點(diǎn)弦:若弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)叫焦點(diǎn)弦 1以橢圓x2a2y2b21(ab0)內(nèi)的點(diǎn) m(x0,y0)為中點(diǎn)的直線的斜率 kb2a2x0y0. 2以橢圓y2a2x2b21(ab0)內(nèi)的點(diǎn) m(x0,y0)為中點(diǎn)的直線的斜率 ka2b2x0y0. 3若已知直線 l:ymxn過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn),則直線與橢圓相交 診 斷 自 測(cè) 1判斷下列說(shuō)法的正誤 (1)直線與橢圓聯(lián)立消元后所得方程一定是一元二次方程( ) (2)在過(guò)橢圓中心的直線所截得的弦中,長(zhǎng)軸最長(zhǎng),短軸最短( ) (3)在過(guò)橢圓的焦點(diǎn)弦中,與長(zhǎng)軸垂直的弦(也叫通徑)最短( ) (4)橢圓x24y231 在點(diǎn)(1,32)處的切線的斜率為12
3、. 2 / 22 答案 (1) (2) (3) (4) 2橢圓 ax2by21(a0,b0)與直線 y1x 交于 a,b兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段ab中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ba的值為( ) a.32 b.2 33 c.9 32 d.2 327 答案 b 解析 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2), 則 ax21by211,ax22by221, 即 ax21ax22(by21by22),by21by22ax21ax221, b(y1y2)(y1y2)a(x1x2)(x1x2)1,ba(1)321, ba2 33,故選 b. 3橢圓x2a2y2b21(ab0)中,f 為右焦點(diǎn),b 為上頂點(diǎn),o 為坐
4、標(biāo)原點(diǎn),直線 ybax 交橢圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn) c,若 sbfosbfc,則橢圓的離心率為( ) a.2 217 b.2 217 c.2 213 d. 21 答案 a 解 析 聯(lián) 立 直 線 y bax 與 橢 圓x2a2y2b2 1 , 得 在 第 一 象 限 的 交 點(diǎn) 為c22a,22b ,又因?yàn)?sbfosbfc,所以直線 bf 與直線 ybax 的交點(diǎn)為線段oc 的中點(diǎn),即線段 oc 的中點(diǎn)24a,24b 在直線 bf:xcyb1 上,則24ac24bb1,化簡(jiǎn)得橢圓的離心率 eca2 217,故選 a. 4已知 f1(1,0),f2(1,0)是橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò) f2且垂直于
5、 x 軸的直線交 c于 a,b兩點(diǎn),且|ab|3,則 c的方程為_(kāi) 3 / 22 答案 x24y231 解析 依題意,設(shè)橢圓 c:x2a2y2b21(ab0) 過(guò)點(diǎn) f2(1,0)且垂直于 x 軸的直線被曲線 c 截得弦長(zhǎng) |ab|3, 點(diǎn) a1,32必在橢圓上,1a294b21. 又由 c1,得 1b2a2. 由聯(lián)立,得 b23,a24. 故所求橢圓 c的方程為x24y231. 5設(shè) f1,f2分別為橢圓x24y2m(m0)的左、右焦點(diǎn),a,b 在該橢圓上,且f1a2f2b,則 f1a所在的直線的斜率為_(kāi) 答案 232 解析 由橢圓方程知 f1( 3m,0),從而設(shè)直線 f1a 的方程為 x
6、ty 3m,a(x1,y1),b(x2,y2)為直線 f1a 與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn),由橢圓的對(duì)稱性及f1a2f2b知 b(x2,y2),從而有 y12y2. 由xty 3m,x24y2m,(t24)y22 3mtym0y1y22 3mtt24,y1y2mt24,y12y2,212mt2(t24)2mt24 t2423,故 f1a所在直線的斜率 k232. 6若直線 l 與直線 xy10 垂直,其縱軸截距 b 3,橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn)f1(1,0),f2(1,0),且與直線 l 相切,則直線 l 的方程為_(kāi),橢圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi) 答案 yx 3 x22y21 解析 因?yàn)橹本€ l 與直線 xy10
7、 垂直,其縱軸截距 b 3,所以直線 l 的4 / 22 方程為 yx 3.設(shè)橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0),與直線 l 的方程聯(lián)立,消去 y 得(a2b2)x22 3a2x3a2a2b20,則 (2 3a2)24(a2b2)(3a2a2b2)0,化簡(jiǎn)得 a2b23 ,又因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為f1(1,0),f2(1,0),所以 a2b21 ,聯(lián)立解得 a22,b21,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. 考點(diǎn)一 直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 【例 1】 當(dāng)實(shí)數(shù) m 分別取何值時(shí),直線 l:yxm 與橢圓 9x216y2144 相交、相切、相離? 解 將直線和橢圓的方程聯(lián)立,
8、 得關(guān)于 x 的一元二次方程 25x232mx16m21440, 因?yàn)?576(25m2), 所以當(dāng)(1)0,即5m5時(shí),直線 l 與橢圓相交; (2)0,即 m5或 m5 時(shí),直線 l 與橢圓相切; (3)0,即 m5 時(shí),直線 l 與橢圓相離 感悟升華 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的方法: (1)用判別式法; (2)利用直線上的特殊點(diǎn)與橢圓的關(guān)系 【訓(xùn)練 1】 判斷直線 ykx1與下列橢圓的位置關(guān)系: (1)x23y221;(2)x23y21. 解 直線 ykx1 過(guò)定點(diǎn)(0,1), (1)因?yàn)槎c(diǎn)(0,1)在橢圓x23y221內(nèi)部, 直線 ykx1 與橢圓x23y221相交 (2)因?yàn)槎c(diǎn)(
9、0,1)為橢圓x23y21 短軸的下頂點(diǎn),由數(shù)形結(jié)合可知: 當(dāng) k0 時(shí),直線與橢圓相切; 當(dāng) k0 時(shí),直線與橢圓相交 5 / 22 考點(diǎn)二 中點(diǎn)弦問(wèn)題 【例 2】 (2020 天津卷)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為 a(0,3),右焦點(diǎn)為 f,且|oa|of|,其中 o 為原點(diǎn) (1)求橢圓的方程; (2)已知點(diǎn) c滿足 3ocof,點(diǎn) b在橢圓上(b異于橢圓的頂點(diǎn)),直線 ab與以 c為圓心的圓相切于點(diǎn) p,且 p 為線段 ab的中點(diǎn),求直線 ab 的方程 解 (1)由已知可得 b3.記半焦距為 c,由|of|oa|可得 cb3. 又由 a2b2c2,可得 a218.
10、所以橢圓的方程為x218y291. (2)因?yàn)橹本€ ab與以 c為圓心的圓相切于點(diǎn) p,所以 abcp. 依題意,直線 ab和直線 cp的斜率均存在 設(shè)直線 ab的方程為 ykx3.由方程組ykx3,x218y291, 消去 y,可得(2k21)x212kx0, 解得 x0或 x12k2k21. 依題意,可得點(diǎn) b的坐標(biāo)為12k2k21,6k232k21. 因?yàn)?p為線段 ab的中點(diǎn),點(diǎn) a的坐標(biāo)為(0,3), 所以點(diǎn) p的坐標(biāo)為6k2k21,32k21. 由 3ocof,得點(diǎn) c的坐標(biāo)為(1,0), 故直線 cp 的斜率為32k2106k2k21132k26k1. 又因?yàn)?abcp,所以 k
11、32k26k11, 整理得 2k23k10,解得 k12或 k1. 6 / 22 所以直線 ab的方程為 y12x3 或 yx3. 感悟升華 處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法 (1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有 x1x2,y1y2,y1y2x1x2三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率 (2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解 注意,若已知弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi),不必再檢驗(yàn)判別式 【訓(xùn)練 2】 (1)過(guò)橢圓x216y241 內(nèi)一點(diǎn) m(2,1)作橢圓的弦,點(diǎn) m 恰為該弦
12、的中點(diǎn),則該弦所在直線 l 的方程為_(kāi) (2)已知定點(diǎn) c(1,0)及橢圓 x23y25,過(guò)點(diǎn) c 的動(dòng)直線與橢圓相交于 a,b兩點(diǎn)若線段 ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是12,則直線 ab的方程為_(kāi) 答案 (1)x2y40 (2)x 3y10或 x 3y10 解析 (1)設(shè) l:y1k(x2)交橢圓于點(diǎn) a(x1,y1),b(x2,y2), 因?yàn)辄c(diǎn) a,b都在橢圓上,則得 x214y2116,x224y2216, 經(jīng)觀察知這兩個(gè)式子除了字母的下標(biāo)不同外,其余都相同,將兩式相減,得 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0, 可以知道式中的 x1x24,y1y22, 那么得 4(x1x2)8(y
13、1y2)0,得直線斜率為12, 故所求直線方程為 x2y40. (2)依題意,直線 ab 的斜率存在,設(shè)直線 ab 的方程為 yk(x1),將 yk(x1)代入 x23y25,消去 y 整理得(3k21)x26k2x3k250. 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2), 則36k44(3k21)(3k25)0, x1x26k23k21. 7 / 22 由線段 ab 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是12,得x1x223k23k2112,解得 k33,適合. 所以直線 ab的方程為 x 3y10或 x 3y10. 考點(diǎn)三 直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用 【例 3】 (2021 浙江新高考訓(xùn)練二)過(guò)橢圓x22y21的左焦點(diǎn)
14、 f作斜率為 k1(k10)的直線交橢圓于 a,b 兩點(diǎn),m 為弦 ab 的中點(diǎn),直線 om 交橢圓于 c,d 兩點(diǎn) (1)設(shè)直線 om 的斜率為 k2,求 k1k2的值; (2)若 f,b分別在直線 cd的兩側(cè),|mb|2|mc| |md|,求fcd 的面積 解 (1)由題意知橢圓的左焦點(diǎn) f的坐標(biāo)為(1,0), 將直線 ab的方程 yk1(x1)代入橢圓方程x22y21, 整理得(12k21)x24k21x2k2120, (4k21)24(12k21)(2k212)8k2180, 設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0), 則 x1x24k2112k21,x1x22k212
15、12k21, 因?yàn)辄c(diǎn) m 為弦 ab的中點(diǎn), 所以 x0 x1x222k2112k21,y0k1(x01)k112k21, 因?yàn)?k2kom12k1,所以 k1k212. (2)由(1)可得|ab| 1k21|x1x2| 1k212 2 1k2112k212 2(1k21)12k21, 將 yk2x 代入x22y21, 8 / 22 得 xd212k22,xc212k22, 則|mc| |md| 1k22|x0212k22| 1k22|x0212k22| (1k22)|x20212k22| (1k22)|2k2112k212212k22|. 因?yàn)閨mb|2|mc| |md|, 所以14|ab|
16、2|mc| |md|, 所以2(1k21)2(12k21)2(1k22)|2k2112k212212k22|, 解得 k2112, 所以k1,k222,22, 由直線的對(duì)稱性,不妨設(shè) k122,k222, 所以直線 cd的方程為 2x2y0, 點(diǎn) f到直線 cd距離 df33, |cd| 1k22|xcxd| 1k222 212k22 6, 所以fcd 的面積為12|cd| df22. 感悟升華 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問(wèn)題 【訓(xùn)練 3】 (2021 溫州中學(xué)模擬)已知直線 l:ykxm 與
17、橢圓x2a2y2b21(ab0)恰有一個(gè)公共點(diǎn) p,l 與圓 x2y2a2相交于 a,b兩點(diǎn) 9 / 22 (1)求 k 與 m的關(guān)系式; (2)點(diǎn) q與點(diǎn) p關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱若當(dāng) k12時(shí),qab 的面積取到最大值a2,求橢圓的離心率 解 (1)聯(lián)立ykxm,x2a2y2b21,消去 y 得(a2k2b2)x22a2kmxa2(m2b2)0, 則 (2a2km)24a2(a2k2b2)(m2b2)0, 化簡(jiǎn)整理得 m2a2k2b2. (2)因?yàn)辄c(diǎn) q 與點(diǎn) p 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱,連接 pq,則 o 是 pq 的中點(diǎn),點(diǎn) q到 ap的距離是點(diǎn) o 到 ap的距離的 2倍, 所以qa
18、b 的面積是oab的面積的兩倍, 所以當(dāng) k12時(shí),oab 的面積取到最大值a22,|oa|ob|a,此時(shí)oaob, 在等腰直角oab中,坐標(biāo)原點(diǎn) o到直線 l 的距離 da2. 又 d|m|k21,所以m2k21a22. 由(1)得a2k2b2k21a22,則 k212b2a2. 又 k12,故 k212b2a214,即b2a238, 所以 e2c2a21b2a258, 所以橢圓的離心率 e104. 基礎(chǔ)鞏固題組 10 / 22 一、選擇題 1直線 ykxk1與橢圓x29y241的位置關(guān)系為( ) a相交 b相切 c相離 d不確定 答案 a 解析 直線 yk(x1)1 過(guò)定點(diǎn)(1,1),又點(diǎn)
19、(1,1)在橢圓x29y241 內(nèi)部,故直線與橢圓相交 2經(jīng)過(guò)橢圓x22y21 的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為 45 的直線 l,交橢圓于 a,b 兩點(diǎn),設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn),則oa ob等于( ) a3 b13 c13或3 d13 答案 b 解析 依題意,當(dāng)直線 l 經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),其方程為 y0tan 45 (x1),即 yx1,代入橢圓方程x22y21 并整理得 3x24x0,解得 x0 或 x43,所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,1),43,13,oa ob13,同理,直線 l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí),也可得oa ob13. 3已知橢圓 c:x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為 f,c 與過(guò)
20、原點(diǎn)的直線相交于 a,b 兩點(diǎn),連接 af,bf.若|ab|10,|bf|8,cos abf45,則 c 的離心率為( ) a.35 b.57 c.45 d.67 答案 b 解析 如圖,設(shè)|af|x,則 cosabf82102x2281045.解得 x6,afb90 ,由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|af1|8,faf1fabfba90 ,faf1是直角三角形,所以|f1f|10,故 2a8614,2c10,ca57. 11 / 22 4已知橢圓 e:x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 f(3,0),過(guò)點(diǎn) f 的直線交 e 于a,b兩點(diǎn)若 ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),則 e的方程為( ) a
21、.x245y2361 b.x236y2271 c.x227y2181 d.x218y291 答案 d 解析 kab013112,由 kabb2a2x0y0b2a2得b2a212,即 a22b2,結(jié)合 a2b232解得a218,b29,e的方程為x218y291. 5(2021 嘉興期末)已知 a,b 是橢圓 c:y23x21 短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) p 是橢圓 c 上不同于 a,b 的動(dòng)點(diǎn),若直線 pa,pb 分別與直線 x4 交于點(diǎn) m,n,則omn面積的最小值為( ) a24 3 b12 3 c6 5 d12 5 答案 d 解析 由題意不妨設(shè)點(diǎn) a(1,0),b(1,0)設(shè)
22、點(diǎn) m(4,y1),n(4,y2),p(x0,y0)因?yàn)?n,p,b 三點(diǎn)共線,m,a,p 三點(diǎn)共線,所以y25y0 x01,y13y0 x01,所以y1y215y20 x2013,所以 y1y245,所以 smon124|y1y2|2|y1y2|2|y145y1|4 4512 5,當(dāng)且僅當(dāng) y1 3 5時(shí)等號(hào)成立,故選 d. 6已知橢圓x24y221 的左、右焦點(diǎn)分別為 f1,f2,過(guò) f1且傾斜角為 45 的直線l 交橢圓于 a,b 兩點(diǎn),以下結(jié)論:abf2的周長(zhǎng)為 8;原點(diǎn)到 l 的距離為1;|ab|83.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) a3 b2 c1 d0 答案 a 解析 由橢圓的定義,
23、得|af1|af2|4,|bf1|bf2|4,又|af1|bf1|12 / 22 |ab|,所以abf2的周長(zhǎng)為|ab|af2|bf2|8,故正確;由條件,得f1( 2,0),因?yàn)檫^(guò) f1且傾斜角為 45 的直線 l 的斜率為 1,所以直線 l 的方程為 yx 2,則原點(diǎn)到 l 的距離 d| 2|21,故正確;設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),由yx 2,x24y221,得 3x24 2x0,解得 x10,x24 23,所以|ab|11 |x1x2|83,故正確故選 a. 二、填空題 7(2021 湖州期末質(zhì)檢)已知直線 xmy2(mr)與橢圓x29y251 相交于 a,b兩點(diǎn),則|ab
24、|的最小值為_(kāi);若|ab|307,則實(shí)數(shù) m的值是_ 答案 103 1 解析 聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去 x 化簡(jiǎn)得(5m29)y220my250.設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),則 y1y220m5m29,y1y2255m29,則|ab|1m220m5m2924255m2930(1m2)5m29309103,所以|ab|的最小值為103.當(dāng)|ab|30(1m2)5m29307時(shí),解得 m1. 8(2021 山水聯(lián)盟考試)設(shè)橢圓 m 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0),若斜率為 1的直線與橢圓 m 相切同時(shí)亦與圓 c:x2(yb)2b2(b 為橢圓的短半軸)相切,記橢圓的離心率為
25、 e,則 e2_ 答案 3 22 解析 設(shè)直線方程為 yxm.因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以代入橢圓方程可得(b2a2)x22a2mxa2m2a2b20,所以由 0 可得 m2a2b2.又因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心(0,b)到直線的距離為|bm|2b,解得 m(1 2)b,所以(113 / 22 2)2b2a2b2.又 b2a2c2,所以(2 21)a2(2 22)c2,解得 e2c2a22 212 223 22. 9(2021 溫州適考)已知橢圓x22y21 與 y 軸交于點(diǎn) m,n,直線 yx 交橢圓于a1,a2兩點(diǎn),p 是橢圓上異于 a1,a2的點(diǎn),點(diǎn) q 滿足 qa1pa1,qa2pa2,則
26、|qm|qn|_ 答案 2 2 解析 依題意,不妨作出示意圖如圖所示,則 m(0,1),n(0 , 1) 聯(lián) 立yx,x22y21,解 得a163,63. 因 為qa1pa1,qa2pa2,所以點(diǎn) q 為橢圓x22y21與圓 x2y243的交點(diǎn),聯(lián)立二者 方 程 , 解 得 q63,63, 所 以 |qm| |qn| 632163263216322 632 2. 10(2021 名校仿真訓(xùn)練五)已知橢圓x210y261,傾斜角為 60 的直線與橢圓分別交于 a,b 兩點(diǎn)且|ab|8 309,點(diǎn) c 是橢圓上不同于 a,b 的一點(diǎn),則abc 面積的最大值為_(kāi) 答案 16 309 解析 設(shè)點(diǎn) a(
27、x1,y1),b(x2,y2),直線 ab 的方程為 y 3xm,與橢圓方程聯(lián)立消去 y 得 18x2103mx5(m26)0,則 x1x25 3m9,x1x25(m26)18,則|ab|1( 3)2(x1x2)24x1x22 15936m28 309,解得 m 2.作直線 lab,不妨設(shè)直線 l的方程為 y 3xn,則當(dāng)直線l 與橢圓相切,且 m 與 n 異號(hào)時(shí),切點(diǎn) c 到直線 ab 的距離最大,此時(shí)abc 的面積最大,聯(lián)立直線 l 與橢圓方程消去 y 得 18x210 3nx5(n26)0,由直線14 / 22 與橢圓相切得 (10 3n)24185(n26)0,解得 n 6,所以abc
28、的面積的最大值為128 309|6(2)|12( 3)216 309. 三、解答題 11(2019 天津卷)設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為 f,上頂點(diǎn)為 b.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為 4,離心率為55. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)點(diǎn) p 在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn) m 為直線 pb 與 x 軸的交點(diǎn),點(diǎn) n 在 y 軸的負(fù)半軸上,若|on|of|(o 為原點(diǎn)),且 opmn,求直線 pb的斜率 解 (1)設(shè)橢圓的半焦距為 c,依題意,2b4,ca55,又 a2b2c2,可得 a5,b2,c1. 所以橢圓的方程為x25y241. (2)由題意,設(shè) p(xp,yp)(xp0)
29、,m(xm,0), 直線 pb的斜率為 k(k0), 又 b(0,2),則直線 pb 的方程為 ykx2,與橢圓方程聯(lián)立ykx2,x25y241,整理得(45k2)x220kx0, 可得 xp20k45k2,代入 ykx2得 yp810k245k2, 進(jìn)而直線 op的斜率為ypxp45k210k. 在 ykx2中,令 y0,得 xm2k. 由題意得 n(0,1),所以直線 mn的斜率為k2. 由 opmn,得45k210kk21,化簡(jiǎn)得 k2245, 15 / 22 從而 k2 305(滿足 (20k)24(45k2)0) 所以直線 pb的斜率為2 305或2 305. 12(2021 北京通
30、州區(qū)期末)已知橢圓 c:x2a2y2b21(ab0)過(guò)點(diǎn) a(0,1),且橢圓的離心率為63. (1)求橢圓 c的方程; (2)斜率為 1 的直線 l 交橢圓 c 于 m(x1,y1),n(x2,y2)兩點(diǎn),且 x1x2,若直線 x3 上存在點(diǎn) p,使得pmn 是以pmn為頂角的等腰直角三角形,求直線 l 的方程 解 (1)由題意得b1,ca63,a2b2c2.解得 a23, 所以橢圓 c的方程為x23y21. (2)設(shè)直線 l的方程為 yxm,p(3,yp), 由x23y21,yxm,得 4x26mx3m230, 令 36m248m2480,得2m2,x1x232m,x1x234(m21),
31、 因?yàn)閜mn是以pmn 為頂角的等腰直角三角形, 所以 np平行于 x 軸, 過(guò) m 作 np的垂線,則垂足 q為線段 np的中點(diǎn), 設(shè)點(diǎn) q的坐標(biāo)為(xq,yq),則 xqxmx1x232, 由方程組x1x232m,x1x234(m21),x1x232,解得 m22m10, 即 m1, 16 / 22 而 m1(2,2),所以直線的方程為 yx1. 17 / 22 能力提升題組 13已知直線 l:ykx2 過(guò)橢圓x2a2y2b21(ab0)的上頂點(diǎn) b 和左焦點(diǎn) f,且被圓 x2y24 截得的弦長(zhǎng)為 l,若 l4 55,則橢圓離心率 e 的取值范圍是( ) a.0,55 b.0,2 55 c
32、.0,3 55 d.0,4 55 答案 b 解析 依題意知 b2,kc2. 設(shè)圓心到直線 l 的距離為 d,則 l2 4d24 55, 解得 d2165.又因?yàn)?d21k2,所以11k245, 于是 e2c2a2c2b2c211k2,所以 0e245,解得 0e2 55.故選 b. 14已知橢圓 m:x2a2y2b21(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為 f(1,0),離心率為22,過(guò)點(diǎn)f 的動(dòng)直線交 m 于 a,b 兩點(diǎn),若 x 軸上的點(diǎn) p(t,0)使得apobpo 總成立(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),則 t( ) a2 b2 c 2 d. 2 答案 b 解析 在橢圓中 c1,eca22,得 a 2,b1,故橢圓的
33、方程為x22y21.設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2),由題意可知,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),t 可以為任意實(shí)數(shù) ; 當(dāng) 直 線 斜 率 存 在 時(shí) , 可 設(shè) 直 線 方 程 為 y k(x 1) , 聯(lián) 立 方 程 組yk(x1),x22y21, 得(12k2)x24k2x2k220, x1x24k212k2,x1x22k2212k2, 18 / 22 使得apobpo 總成立,即使得 pf 為apb 的角平分線,即直線 pa 和 pb的斜率之和為 0, 即y1x1ty2x2t0, 由 y1k(x11),y2k(x21), 代入整理得 2x1x2(t1)(x1x2)2t0, 由根與系數(shù)的關(guān)系
34、,可得4k2412k2(t1)4k212k22t0, 化簡(jiǎn)可得 t2,故選 b. 15(2021 浙江新高考仿真五)直線 l 與橢圓x26y231 相交于 a,b 兩點(diǎn),且與圓x2y22相切于點(diǎn) h,則|ha|2|hb|2的最小值為_(kāi) 答案 4 解析 當(dāng)直線 ab 的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)直線 ab 的方程為 x 2,此時(shí)h( 2,0),易求得|ha|2|hb|24;當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí),設(shè)直線 ab 的方程為 ykxb,a(x1,y1),b(x2,y2),由直線 ab 與圓相切,得|b|1k2 2,即b22(1k2) 由ykxb,x26y231消去 y 得(12k2)x24kb2b260
35、, x1x24kb12k2,x1 x22b2612k2, |ha|2|hb|2|oa|22|ob|22x21y21x22y224x213x212x223x2224x21x2222(x1x2)22x1x2228k416k22(12k2)22, 令 t12k2,則 t1, |ha|2|hb|22t24t4t224t24t44, 當(dāng)且僅當(dāng) t1 時(shí)取等號(hào) |ha|2|hb|2的最小值為 4. 19 / 22 16(2021 杭州二中仿真模擬)(一題多解)已知直線 mn 過(guò)橢圓x22y21 的左焦點(diǎn)f,與橢圓交于 m,n 兩點(diǎn),直線 pq 過(guò)原點(diǎn) o 與 mn 平行,且與橢圓交于 p,q兩點(diǎn),則|pq
36、|2|mn|_ 答案 2 2 解析 法一 特殊化,設(shè) mnx 軸, 則|mn|2b2a22 2,|pq|24, |pq|2|mn|422 2. 法二 由題意知 f(1,0),當(dāng)直線 mn 的斜率不存在時(shí),|mn|2b2a 2,|pq|2b2,則|pq|2|mn|2 2;當(dāng)直線 mn的斜率存在時(shí),設(shè)直線 mn的斜率為 k, 則 mn方程為 yk(x1),m(x1,y1),n(x2,y2), 聯(lián)立方程yk(x1),x22y21, 整理得(2k21)x24k2x2k220. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得 x1x24k22k21,x1x22k222k21, 則|mn| 1k2 (x1x2)24x1x2 2 2(k21)2k21. 直線 pq的方程為 ykx,p(x3,y3),q(x4,y4), 則ykx,x22y21,解得 x2212k2,y22k212k2, 則|op|2x2y22(1k2)12k2,又|pq|2|op|, 所以
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