高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(五十四)　直線與橢圓的位置關(guān)系

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(五十四) 直線與橢圓的位置關(guān)系 基礎(chǔ)過關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1已知 f1，f2分別為橢圓x225y291 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn) f1的直線交橢圓于 a，b 兩點(diǎn)。若|f2a|f2b|12，則|ab|( ) a6 b7 c5 d8 解析 由橢圓方程可知 a5，由題意可得|af1|af2|bf1|bf2|2a，abf2的周長為 4a20。若|f2a|f2b|12，則|ab|20128。故選 d。 答案 d 2設(shè)直線 ykx 與橢圓x24y231 相交于 a，b 兩點(diǎn)，分別過 a，b 兩點(diǎn)向 x 軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k等于( ) a32 b23 c12 d

2、 2 解析 由題意可知，點(diǎn) a 與點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)即為焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又 c1，當(dāng) k0 時(shí)，不妨設(shè) a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，y1)，(1，y2)，代入橢圓方程得 y132，y232，解得 k32；同理可得當(dāng) k0 且 m3 及 m0，得 m1且 m3。故選 b。 答案 b 4經(jīng)過橢圓x22y21 的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為 45 的直線 l，交橢圓于 a，b 兩點(diǎn)，設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oa ob等于( ) a3 b13 c13或3 d13 解析 依題意，當(dāng)直線 l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為 y0tan 45 (x1)，即 yx1，代入橢圓方程x22y21，消去 y 并整理得 3x2

3、4x0，解得 x0 或 x43，所以兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，1)，43，13，所以oa ob13，同理，直線 l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得oa ob13。故選 b。 答案 b 5直線 x 3y 30 與橢圓x29y261 相交于 m，n 兩點(diǎn)，設(shè) o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則omn 的面積為( ) a. 3 b.2 33 c.3 32 d.4 33 解析 設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，橢圓的左焦點(diǎn)為 f，因?yàn)?f( 3，0)，直線 x 3y 30 經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn) f，所以 somn12|of| |y1y2|。將 x 3y 3代入橢圓方程x29y261 得 3y24y40，所以 y1y243

4、，y1y243，所以|y1y2| (y1y2)24y1y283，所以 somn12|of| |y1y2|12 3834 33。 答案 d 6(2021 南寧聯(lián)考)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的一條弦所在的直線方程是 xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是2 / 5 m(4,1)，則橢圓的離心率是( ) a.12 b.22 c.32 d.55 解析 解法一：因?yàn)?m為直線 xy50 與橢圓x2a2y2b21(ab0)相交的弦的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)弦公式可知 ymb2a2xm，即b2a214，則 e 1ba232。故選 c。 解法二：設(shè)直線 xy50 與橢圓x2a2y2b21(ab0)相交于 a(x1，y1

5、)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)橄?ab 的中點(diǎn) m(4,1)，所以 x1x28，y1y22。易知直線 ab 的斜率 ky2y1x2x11。由 x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式相減得，(x1x2)(x1x2)a2(y1y2)(y1y2)b20，所以y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2，所以b2a214，則橢圓的離心率 eca 1b2a232。故選 c。 答案 c 二、多項(xiàng)選擇題 7設(shè)橢圓x29y231 的右焦點(diǎn)為 f，直線 ym(0mb0)的左、右焦點(diǎn)，m，n 是左、右頂點(diǎn)，e 為橢圓 c 的離心率，過右焦點(diǎn) f2的直線 l 與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，已知af1 bf10

6、,3af22f2b，|af1|2|af2|，設(shè)直線 ab 的斜率為 k，直線 am和直線 an 的斜率分別為 k1，k2，直線 bm和直線 bn 的斜率分別為k3，k4，則下列結(jié)論一定正確的是( ) ae55 bk12 ck1 k245 dk3 k445 解析 因?yàn)閍f1 bf10，所以 af1bf1，過點(diǎn) f2作 f1b 的平行線，交 af1于點(diǎn) e，所以 af1ef2。設(shè)|f2a|2t，|f1a|4t，又 3af22f2b，所以|ab|5t，因?yàn)?af1bf1，所以|f1b|3t，所以 12t4a，所以 a3t。所以|bf1|bf2|3ta，所以 b(0，b)(如圖)，在ef1f2中，ef

7、135af112t5，ef225bf16t5，f1f22c，因?yàn)?ef21ef22f1f22，所以 c3t5，b a2c26t5，所以橢圓離心率 eca55，故 a 正確；kbc2，故 b 錯(cuò)誤；設(shè) a(x，y)，易得 m(a，0)，n(a,0)，則 k1 k2yxayxay2x2a2b21x2a2x2a2b2a245，故 c 正確；同理 k3 k4b2a245，故 d 錯(cuò)誤。故選 ac。 3 / 5 答案 ac 三、填空題 9已知橢圓y2a2x2b21(ab0)的右頂點(diǎn)為 a(1,0)，過其焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為 1，則橢圓的方程為_。 解析 因?yàn)闄E圓y2a2x2b21 的右頂點(diǎn)為 a(1

8、,0)，所以 b1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為 1，所以2b2a1，a2，所以橢圓的方程為y24x21。 答案 y24x21 10過點(diǎn) m(2,0)的直線 m 與橢圓x22y21 交于 p1，p2兩點(diǎn)，線段 p1p2的中點(diǎn)為 p，設(shè)直線 m 的斜率為 k1(k10)，直線 op 的斜率為 k2，則 k1k2的值為_。 解析 過點(diǎn) m(2,0)的直線 m 的方程為 y0k1(x2)，代入橢圓方程化簡得(2k211)x28k21x8k2120，所以 x1x28k212k211，所以點(diǎn) p4k212k211，2k12k211，所以直線 op 的斜率 k212k1，所以 k1

9、k212。 答案 12 11已知橢圓 c：x22y241，過橢圓 c 上一點(diǎn) p(1， 2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線 pa，pb，分別交橢圓c 于 a，b 兩點(diǎn)，則直線 ab 的斜率為_。 解析 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，同時(shí)設(shè) pa的方程為 y 2k(x1)，代入橢圓方程化簡，得(k22)x22k(k2)xk222k20，顯然 1 和 x1是這個(gè)方程的兩解，因此 x1k22 2k2k22，y1 2k24k2 2k22，由k 代替 x1，y1中的 k，得 x2k22 2k2k22，y2 2k24k2 2k22，所以y2y1x2x12。故直線 ab 的斜率為 2。 答案 2 四、解答

10、題 12已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，點(diǎn) p(0,1)在短軸 cd 上，且pc pd1。 (1)求橢圓 e 的方程； (2)過點(diǎn) p 的直線 l與橢圓 e 交于 a，b 兩點(diǎn)，若pb12ap，求直線 l 的方程。 解 (1)由題意知，eca22， 得 a 2c 2b， 不妨取 c(0，b)，d(0，b)， 所以pc pd(b1)(b1)1， 所以 b22， 所以 a2，橢圓 e 的方程為x24y221。 (2)當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，pb(0， 21)， ap(0， 21)，pb12ap， 不符合題意，不存在這樣的直線 l。 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的

11、方程為 ykx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)。 聯(lián)立方程得 x24y221，ykx1， 整理得(12k2)x24kx20， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1x24k12k2， x1x2212k2， 由pb12ap得，(x2，y21)12(x1,1y1)， 4 / 5 所以 x212x1， 所以 x18k12k2，x24k12k2， 解得 k2114，所以 k1414， 所以直線 l的方程為 y1414x1。 13(2020 全國卷)已知橢圓 c：x225y2m21(0m0，yp0。 由已知可得 b(5,0)，直線 bp 的方程為 y1yq(x5)， 所以|bp|yp1y2q，|bq| 1y2

12、q。 因?yàn)閨bp|bq|， 所以 yp1，將 yp1 代入 c 的方程， 解得 xp3 或 xp3。 由直線 bp 的方程得 yq2 或 yq8。 所以點(diǎn) p，q 的坐標(biāo)分別為 p1(3,1)，q1(6,2)； p2(3,1)，q2(6,8)。 |p1q1| 10，直線 p1q1的方程為 y13x， 點(diǎn) a(5,0)到直線 p1q1的距離為102， 故ap1q1的面積為12102 1052。 |p2q2| 130，直線 p2q2的方程為 y79x103，點(diǎn) a 到直線 p2q2的距離為13026， 故ap2q2的面積為1213026 13052。 綜上，apq 的面積為52。 素養(yǎng)提升組 14

13、(多選)設(shè)橢圓的方程為x22y241，斜率為 k的直線不經(jīng)過原點(diǎn) o，而且與橢圓相交于 a，b兩點(diǎn)，m為線段 ab 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( ) a直線 ab 與 om垂直 b若點(diǎn) m 坐標(biāo)為(1,1)，則直線方程為 2xy30 c若直線方程為 yx1，則點(diǎn) m坐標(biāo)為13，43 d若直線方程為 yx2，則|ab|4 23 解析 對(duì)于 a，因?yàn)樵跈E圓中，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì) kab kom4221，所以 a 錯(cuò)誤；對(duì)于b，根據(jù) kab kom2，得 kab2，所以直線方程為 y12(x1)，即 2xy30，所以 b 正確；對(duì)于 c，若直線方程為 yx1，點(diǎn) m13，43，則 kab kom

14、1442，所以 c 錯(cuò)誤；對(duì)于 d，若直線方程為 yx2，與橢圓方程x22y241 聯(lián)立，得到 2x2(x2)240，整理得 3x24x0，解得 x10，x243，所以|ab| 112430 4 23，所以 d 正確。故選 bd。 5 / 5 答案 bd 15(2021 武昌區(qū)調(diào)研考試)已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為 1。 (1)求橢圓 e 的方程； (2)若不過原點(diǎn) o 的直線 l與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，求oab 面積的最大值。 解 (1)由題意知 bc 3，ac1， 又 a2b2c2，所以 a2，b 3。 所以橢圓 e 的方程為x24y231。 (2)當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為 ykxm(m0)， 代入橢圓方程，整理，得 (4k23)x28kmx4m2120。 由 0，得 4k2m230。 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 x1x28km4k23，x1 x24m2124k23。 于是|ab| 1k2 (x1x