高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)過關(guān)檢測（五十一）拋物線

1、1 / 8 課時(shí)過關(guān)檢測（五十一）課時(shí)過關(guān)檢測（五十一） 拋物線拋物線 a 級級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1(2021 包頭青山區(qū)模擬包頭青山區(qū)模擬)已知點(diǎn)已知點(diǎn) p(2，y0)在拋物線在拋物線 y24x 上，則點(diǎn)上，則點(diǎn) p 到拋物線焦點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)f 的距離為的距離為( ) a2 b3 c 3 d 2 解析：解析：選選 b 因?yàn)閽佄锞€因?yàn)閽佄锞€ y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線為 x1，結(jié)合定義點(diǎn)，結(jié)合定義點(diǎn) p 到拋物到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離為線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離為 3. 2拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開口向上，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，開口向上

2、，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線y24x291 的一個頂點(diǎn)，的一個頂點(diǎn)，則則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) ax28y bx212y cy28x dy212x 解析：解析：選選 a 雙曲線的下頂點(diǎn)為雙曲線的下頂點(diǎn)為(0，2)，據(jù)此結(jié)合題意可知：，據(jù)此結(jié)合題意可知：p22，所以，所以 p4，拋物線的方程為，拋物線的方程為 x22py，即，即 x28y.故選故選 a 3(2021 贛湘皖三省聯(lián)考贛湘皖三省聯(lián)考)設(shè)拋物線設(shè)拋物線 y22px 上的三個點(diǎn)上的三個點(diǎn) a 23，y1，b()1，y2，c 32，y3到該拋物線的焦點(diǎn)的距離分別為到該拋物線的焦點(diǎn)的距離分別為 d1，d2，d3，若，若 d1，

3、d2，d3的最大值為的最大值為 3，則，則 p 的的值為值為( ) a32 b2 c3 d143 解析：解析：選選 c 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) a 23，y1在拋物線在拋物線 y22px 上，所以上，所以 p0，根據(jù)拋物線定義知，根據(jù)拋物線定義知 d123p2，d21p2，d332p2，d3d2d1，依題意得，依題意得32p23，解得，解得 p3，故選，故選 c 4設(shè)設(shè) f 為拋物線為拋物線 c：y23x 的焦點(diǎn)，過的焦點(diǎn)，過 f 且傾斜角為且傾斜角為 30 的直線交的直線交 c 于于 a，b 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab 的面積為的面積為( ) a3 34 b9 38 c6332

4、 d94 解析：解析：選選 d 法一：法一：由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為 f 34，0 ，因此直線，因此直線 ab 的方程為的方程為 y332 / 8 x34，即，即 4x4 3y30. 與拋物線方程聯(lián)立，化簡得與拋物線方程聯(lián)立，化簡得 4y212 3y90， 故故|yayb|( (yayb) )24yayb6. 因此因此 soab12|of|yayb|1234694. 法二：法二：由由 2p3，及，及|ab|2psin2， 得得|ab|2psin23sin23012. 原點(diǎn)到直線原點(diǎn)到直線 ab 的距離的距離 d|of| sin 30 38， 故故 saob12|ab| d12123

5、894. 5(多選多選)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線過點(diǎn) a 1，14，則點(diǎn)，則點(diǎn) a 到此拋物線的到此拋物線的焦點(diǎn)的距離可以是焦點(diǎn)的距離可以是( ) a6564 b54 c94 d98 解析：解析：選選 ab 若拋物線的焦點(diǎn)在若拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸上，則設(shè)拋物線的方程為軸上，則設(shè)拋物線的方程為 y2ax(a0)， 由點(diǎn)由點(diǎn) a 在拋物線上，得在拋物線上，得 142a， 即即 a116，得，得 y2116x， 由拋物線的定義可知，點(diǎn)由拋物線的定義可知，點(diǎn) a 到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn) a 到準(zhǔn)線的距離，到準(zhǔn)線的距離， 所以點(diǎn)所以點(diǎn) a

6、到拋物線焦點(diǎn)的距離為到拋物線焦點(diǎn)的距離為 xa16411646564； 若拋物線的焦點(diǎn)在若拋物線的焦點(diǎn)在 y 軸上，則設(shè)拋物線的方程為軸上，則設(shè)拋物線的方程為 x2by(b0)， 由點(diǎn)由點(diǎn) a 在拋物線上，得在拋物線上，得 114b， 即即 b4，得，得 x24y， 由拋物線的定義可知，點(diǎn)由拋物線的定義可知，點(diǎn) a 到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn) a 到準(zhǔn)線的距離，到準(zhǔn)線的距離， 所以點(diǎn)所以點(diǎn) a 到拋物線焦點(diǎn)的距離為到拋物線焦點(diǎn)的距離為 ya114154. 6(多選多選)已知拋物線已知拋物線 x212y 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，m(x1，y1)，n(x2，y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則是拋物線

7、上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是( ) a點(diǎn)點(diǎn) f 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 18，0 3 / 8 b若直線若直線 mn 過點(diǎn)過點(diǎn) f，則，則 x1x2116 c若若mf nf，則，則|mn|的最小值為的最小值為12 d若若|mf|nf|32，則線段，則線段 mn 的中點(diǎn)的中點(diǎn) p 到到 x 軸的距離為軸的距離為58 解析：解析：選選 bcd 易知點(diǎn)易知點(diǎn) f 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 0，18，a 項(xiàng)錯誤；根據(jù)拋物的性質(zhì)知，項(xiàng)錯誤；根據(jù)拋物的性質(zhì)知，mn 過焦過焦點(diǎn)點(diǎn) f 時(shí)，時(shí)，x1x2p2116，b 項(xiàng)正確；若項(xiàng)正確；若mf nf，則，則 mn 過點(diǎn)過點(diǎn) f，則，則|mn|的最小值的最小值即拋

8、物線通徑的長，為即拋物線通徑的長，為 2p，即，即12，c 項(xiàng)正確；拋物線項(xiàng)正確；拋物線 x212y 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 0，18，準(zhǔn)線方程為，準(zhǔn)線方程為y18，過點(diǎn)，過點(diǎn) m，n，p 分別作準(zhǔn)線的垂線分別作準(zhǔn)線的垂線 mm，nn，pp，垂足分別為，垂足分別為 m，n，p，則，則|mm|mf|，|nn|nf|，所以，所以|mm|nn|mf|nf|32，所，所以以|pp|mm|nn|234，所以線段，所以線段 mn 的中點(diǎn)的中點(diǎn) p 到到 x 軸的距離為軸的距離為|pp|18341858，d 項(xiàng)正確故選項(xiàng)正確故選 b、c、d. 7在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xoy 中，有一定點(diǎn)中，有一定點(diǎn) m(1,

9、2)，若線段，若線段 om 的垂直平分線過拋物線的垂直平分線過拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_ 解析：解析：依題意可得線段依題意可得線段 om 的垂直平分線的方程為的垂直平分線的方程為 2x4y50，把焦點(diǎn)坐標(biāo)，把焦點(diǎn)坐標(biāo) 0，p2代入可求得代入可求得 p52，所以準(zhǔn)線方程為，所以準(zhǔn)線方程為 y54. 答案：答案：y54 8如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面時(shí)，拱頂離水面 2 m，水面寬，水面寬 4 m水位下降水位下降 1 m 后，水面寬后，水面寬_ m. 解析：解析：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋

10、物線方程為建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x22py(p0) 由題意將點(diǎn)由題意將點(diǎn) a(2，2)代入代入 x22py，得，得 p1，故，故 x22y.設(shè)設(shè) b(x，3)，代入，代入 x22y 中，得中，得 x 6，故水，故水面寬為面寬為 2 6 m. 4 / 8 答案：答案：2 6 9已知拋物線已知拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn)，點(diǎn) p 為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn) m 為其準(zhǔn)線上為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，若的動點(diǎn)，若fpm 為邊長是為邊長是 4 的等邊三角形，則此拋物線的方程為的等邊三角形，則此拋物線的方程為_ 解析：解析：fpm 為等邊三角形，則為等邊三角形

11、，則|pm|pf|，由拋物線的定義得，由拋物線的定義得 pm 垂直于拋物線的垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)準(zhǔn)線，設(shè) p m，m22p，則點(diǎn)，則點(diǎn) m m，p2.因?yàn)榻裹c(diǎn)因?yàn)榻裹c(diǎn) f 0，p2，fpm 是等邊三角形，所以是等邊三角形，所以 m22pp24， p2p22m24，解得解得 m212，p2，因此拋物線方程為因此拋物線方程為 x24y. 答案：答案：x24y 10已知拋物線已知拋物線 y24x，過焦點(diǎn)，過焦點(diǎn) f 的直線與拋物線交于的直線與拋物線交于 a，b 兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)，過 a，b分別作分別作 y軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為 c，d，則，則|ac|bd|的最小值為的最小值為_ 解析

12、：解析：由題意知由題意知 f(1,0)，|ac|bd|af|fb|2|ab|2，即，即|ac|bd|取得最小取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|ab|取得最小值依拋物線定義知，當(dāng)取得最小值依拋物線定義知，當(dāng)|ab|為通徑，即為通徑，即|ab|2p4 時(shí)為最小時(shí)為最小值，所以值，所以|ac|bd|的最小值為的最小值為 2. 答案：答案：2 11已知拋物線已知拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，a 是拋物線上橫坐標(biāo)為是拋物線上橫坐標(biāo)為 4，且位于，且位于 x 軸上方軸上方的點(diǎn)，的點(diǎn)，a 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5，過，過 a 作作 ab 垂直于垂直于 y 軸，垂足為

13、軸，垂足為 b，ob 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 m. (1)求拋物線的方程；求拋物線的方程； (2)若過若過 m 作作 mnfa，垂足為，垂足為 n，求點(diǎn)，求點(diǎn) n 的坐標(biāo)的坐標(biāo) 解：解：(1)拋物線拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線為的準(zhǔn)線為 xp2， 于是于是 4p25，p2. 拋物線方程為拋物線方程為 y24x. (2)點(diǎn)點(diǎn) a 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(4,4)， b(0,4)，m(0,2) 又又f(1,0)，kfa43， fa 的方程為的方程為 y43(x1)， 5 / 8 mnfa，kmn34. mn 的方程為的方程為 y234x， 聯(lián)立聯(lián)立，解得，解得 x85，y45， 點(diǎn)點(diǎn) n 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為

14、 85，45. 12已知過拋物線已知過拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為的焦點(diǎn)，斜率為 2 2的直線交拋物線于的直線交拋物線于 a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f，直線的斜率，直線的斜率為為 3，且經(jīng)過點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) f，直線，直線 l 與拋物線與拋物線 c 交于交于 a，b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)(點(diǎn)點(diǎn) a 在第一象限在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)線交于點(diǎn) d.若若|af|8，則以下結(jié)論正確的是，則以下結(jié)論正確的是( ) ap4 b df fa c|bd|2|bf| d|bf|4 解析解析：選選 abc 如圖，分別過點(diǎn)如圖，分別過點(diǎn) a，b 作拋物線作拋

15、物線 c 的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線 m 的垂的垂線，垂足分別為點(diǎn)線，垂足分別為點(diǎn) e，m，連接，連接 ef.設(shè)拋物線設(shè)拋物線 c 的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線 m交交 x 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) p，則則|pf|p.直線直線 l 的斜率為的斜率為 3，其傾斜角為其傾斜角為 60 .又又aex 軸，軸，eaf60 .由拋物線的定義可知，由拋物線的定義可知，|ae|af|，aef 為等邊三角形，為等邊三角形，efpaef60 ，pef30 ，|af|ef|2|pf|2p8，解得解得 p4，a 選項(xiàng)正確選項(xiàng)正確|ae|ef|2|pf|，又，又 pfae，f 為為 ad的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， dffa，b 選項(xiàng)正確選項(xiàng)正確dae60 ，ade3

16、0 ，|bd|2|bm|2|bf|，c 選項(xiàng)正選項(xiàng)正確確|bd|2|bf|，|bf|13|df|13|af|83，d 選項(xiàng)錯誤故選選項(xiàng)錯誤故選 a、b、c 15已知點(diǎn)已知點(diǎn) m 為直線為直線 l1：x1 上的動點(diǎn)，上的動點(diǎn)，n(1,0)，過，過 m 作直線作直線 l1的垂線的垂線 l，l交交 mn的中垂線于點(diǎn)的中垂線于點(diǎn) p，記點(diǎn)，記點(diǎn) p 的軌跡為的軌跡為 c (1)求曲線求曲線 c 的方程；的方程； (2)若直線若直線 l2：ykxm(k0)與圓與圓 e：(x3)2y26 相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) d，與曲線，與曲線 c 交于交于 a，b 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 d 為線段為線段 ab 的中點(diǎn)，求直線的

17、中點(diǎn)，求直線 l2的方程的方程 解：解：(1)由已知可得，由已知可得，|pn|pm|， 即點(diǎn)即點(diǎn) p 到定點(diǎn)到定點(diǎn) n 的距離等于它到直線的距離等于它到直線 l1的距離，故點(diǎn)的距離，故點(diǎn) p 的軌跡是以的軌跡是以 n為焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)為準(zhǔn)線的拋物線，線的拋物線， 曲線曲線 c 的方程為的方程為 y24x. (2)設(shè)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)， 由由 ykxm，y24x，得得 k2x2(2km4)xm20， x1x242kmk2，x0 x1x222kmk2， y0kx0m2k，即即 d 2kmk2，2k， 7 / 8 直線直線 l2與圓與圓 e：(x3)2y2

18、6 相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) d， |de|26，且，且 del2， 從而從而 2kmk232 2k26，kde k1， 即即 2kmk232， 2kmk232 2k26. 整理可得整理可得 2k22，即，即 k 2，m0， 故直線故直線 l2的方程為的方程為 2xy0 或或 2xy0. c 級級遷移創(chuàng)新遷移創(chuàng)新 16(2021 開封市模擬考試開封市模擬考試)已知拋物線已知拋物線 x2y，點(diǎn)，點(diǎn) a 12，14，b 32，94，拋物線上的，拋物線上的點(diǎn)點(diǎn) p(x0，y0) 12x032. (1)求直線求直線 ap 斜率斜率的取值范圍；的取值范圍； (2)q 是以是以 ab 為直徑的圓上一點(diǎn)，且為直徑的圓上一點(diǎn)，且 ap bq0，求，求 appq的最大值的最大值 解：解：(1)設(shè)直線設(shè)直線 ap 的斜率為的斜率為 k，則，則 kx2014x012x012， 因?yàn)橐驗(yàn)?2x032，所以直線，所以直線 ap 斜率的取值范圍是斜率的取值范圍是(1,1) (2)由題意可知，由題意可知， ap與與 aq同向共線，同向共線，bqaq， 聯(lián)立直線聯(lián)立直線 ap 與與 b