高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 第1講 直線與圓

1、 第第 1 講講 直線與圓直線與圓 考情分析考情分析 1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度 考點(diǎn)一 直線的方程 核心提煉 1已知直線 l1：a1xb1yc10(a1，b1不同時(shí)為零)，直線 l2：a2xb2yc20(a2，b2不同時(shí)為零)，則 l1l2a1b2a2b10，且 a1c2a2c10，l1l2a1a2b1b20. 2點(diǎn) p(x0，y0)到直線 l：axbyc0(a，b 不同時(shí)為零)的距離 d|ax0by0c|a2b2. 3兩條平行直線 l1：axbyc10，l2

2、：axbyc20(a，b 不同時(shí)為零)間的距離 d|c1c2|a2b2. 例 1 (1)若直線 l1：xay60 與 l2：(a2)x3y2a0 平行，則 l1與 l2間的距離為( ) a. 2 b.8 23 c. 3 d.8 33 答案 b 解析 由 l1l2得(a2)a13，且 a2a36， 解得 a1，l1：xy60，l2：xy230， l1與 l2間的距離 d62312(1)28 23. (2)直線 axy3a10 恒過定點(diǎn) n，則直線 2x3y60 關(guān)于點(diǎn) n 對(duì)稱的直線方程為( ) a2x3y120 b2x3y120 c2x3y120 d2x3y120 答案 b 解析 由 axy3

3、a10 可得 a(x3)y10， 令 x30，y10，可得 x3，y1， n(3,1) 設(shè)直線 2x3y60 關(guān)于點(diǎn) n 對(duì)稱的直線方程為 2x3yc0(c6) 則|636|49|63c|49， 解得 c12 或 c6(舍去) 所求直線方程為 2x3y120. 易錯(cuò)提醒 解決直線方程問題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用 a1b2a2b10 建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性 (2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與 x 軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線 (3)討論兩直線的

4、位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在 跟蹤演練 1 (1)已知直線 l經(jīng)過直線 l1：xy2與 l2：2xy1 的交點(diǎn)，且直線 l的斜率為23，則直線 l的方程是( ) a3x2y10 b3x2y10 c2x3y50 d2x3y10 答案 c 解析 解方程組 xy2，2xy1，得 x1，y1， 所以兩直線的交點(diǎn)為(1,1) 因?yàn)橹本€ l的斜率為23， 所以直線 l的方程為 y123(x1)， 即 2x3y50. (2)已知直線 l1：kxy40 與直線 l2：xky30(k0)分別過定點(diǎn) a，b，又 l1，l2相交于點(diǎn) m，則|ma| |mb|的最大值為_ 答案 252 解析 由題意可知，直線

5、 l1：kxy40 經(jīng)過定點(diǎn) a(0,4)，直線 l2：xky30 經(jīng)過定點(diǎn)b(3,0) 易知直線 l1：kxy40 和直線 l2：xky30 始終垂直，又 m 是兩條直線的交點(diǎn)，所以 mamb， 所以|ma|2|mb|2|ab|225，故|ma| |mb|252 當(dāng)且僅當(dāng)|ma|mb|5 22時(shí)取“” . 考點(diǎn)二 圓的方程 核心提煉 1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為 r 時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為 x2y2r2. 2圓的一般方程 x2y2dxeyf0，其中 d2e24f0，表示以d2，e2為圓心，d2e24f2為半徑的圓 例 2 (1)

6、(2018 天津)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_ 答案 x2y22x0 解析 方法一 設(shè)圓的方程為 x2y2dxeyf0. 圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)， f0，2def0，42df0.解得 d2，e0，f0. 圓的方程為 x2y22x0. 方法二 畫出示意圖如圖所示， 則oab為等腰直角三角形， 故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為 1， 所求圓的方程為(x1)2y21， 即 x2y22x0. (2)已知圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) t(1,0)，與 y 軸正半軸交于兩點(diǎn) a，b(b在 a 的上方)，且|ab|2.則圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_

7、 答案 (x1)2(y 2)22 解析 設(shè)圓心 c(a，b)，半徑為 r， 圓 c與 x軸相切于點(diǎn) t(1,0)， a1，r|b|. 又圓 c與 y軸正半軸交于兩點(diǎn)， b0，則 br， |ab|2，22 r21， r 2， 故圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y 2)22. 規(guī)律方法 解決圓的方程問題一般有兩種方法 (1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程 (2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù) 跟蹤演練 2 (1)(2020 全國)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線 2xy30 的距離為( ) a.55 b.2

8、55 c.3 55 d.4 55 答案 b 解析 由題意可知圓心在第一象限，設(shè)為(a，b) 圓與兩坐標(biāo)軸都相切， ab，且半徑 ra， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(ya)2a2. 點(diǎn)(2,1)在圓上，(2a)2(1a)2a2， a26a50，解得 a1 或 a5. 當(dāng) a1時(shí)，圓心坐標(biāo)為(1,1)， 此時(shí)圓心到直線 2xy30的距離為 d|2113|22(1)22 55； 當(dāng) a5時(shí)，圓心坐標(biāo)為(5,5)， 此時(shí)圓心到直線 2xy30的距離為 d|2553|22(1)22 55. 綜上，圓心到直線 2xy30的距離為2 55. (2)已知 a，b 分別是雙曲線 c：x2my221 的左、右頂點(diǎn)，

9、p(3,4)為 c 上一點(diǎn)，則pab 的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 答案 x2(y3)210 解析 p(3,4)為 c上一點(diǎn)，9m1621， 解得 m1，則 b(1,0)，kpb422， pb 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)， pb 的中垂線方程為 y12(x2)2， 令 x0，則 y3， 設(shè)外接圓圓心為 m(0，t)， 則 m(0,3)，r|mb| 132 10， pab外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2(y3)210. 考點(diǎn)三 直線、圓的位置關(guān)系 核心提煉 1直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法 (1)點(diǎn)線距離法 (2)判別式法：設(shè)圓 c：(xa)2(yb)2r2，直線 l：axbyc0(a2b20)

10、，方程組 axbyc0，(xa)2(yb)2r2， 消去 y，得到關(guān)于 x 的一元二次方程，其根的判別式為 ，則直線與圓相離0. 2圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離 例 3 (1)已知直線 l：xay10(ar)是圓 c：x2y24x2y10 的對(duì)稱軸，過點(diǎn)a(4，a)作圓 c 的一條切線，切點(diǎn)為 b，則|ab|等于( ) a2 b4 2 c6 d2 10 答案 c 解析 由題意，得圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，知圓 c 的圓心為 c(2,1)，半徑為2. 方法一 因?yàn)橹本€ l 為圓 c 的對(duì)稱軸，所以圓心在直線 l 上，則 2a10，解得 a1， 所以|a

11、b|2|ac|2|bc|2(42)2(11)2436，所以|ab|6. 方法二 由題意知，圓心在直線 l上，即 2a10，解得 a1，再由圖知，|ab|6. (2)(2020 全國)已知m：x2y22x2y20，直線 l：2xy20，p為 l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) p作m 的切線 pa，pb，切點(diǎn)為 a，b，當(dāng)|pm| |ab|最小時(shí)，直線 ab 的方程為( ) a2xy10 b2xy10 c2xy10 d2xy10 答案 d 解析 m：(x1)2(y1)24， 則圓心 m(1,1)，m 的半徑為 2. 如圖，由題意可知 pmab， s四邊形pamb12|pm| |ab| |pa| |am|2|pa|

12、， |pm| |ab|4|pa| 4 |pm|24. 當(dāng)|pm| |ab|最小時(shí)，|pm|最小，此時(shí) pml. 故直線 pm 的方程為 y112(x1)， 即 x2y10. 由 x2y10，2xy20，得 x1，y0， p(1,0) 又直線 x1，即 pa與m 相切， pax 軸，pama，a(1,1) 又直線 ab與 l平行， 設(shè)直線 ab的方程為 2xym0(m2)， 將 a(1,1)的坐標(biāo)代入 2xym0，得 m1. 直線 ab的方程為 2xy10. 規(guī)律方法 直線與圓相切問題的解題策略 直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求

13、切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算 跟蹤演練 3 (1)已知點(diǎn) m 是拋物線 y22x 上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn) m 為圓心的圓被 y 軸截得的弦長為 8，則該圓被 x軸截得的弦長的最小值為( ) a10 b4 3 c8 d2 15 答案 d 解析 設(shè)圓心 ma22，a ， 而 r2a222822a4416， 圓 m 與 x 軸交于 a，b兩點(diǎn)， |ab|2 r2a22a4416a2 a44a264 (a22)260 602 15. (2)若圓 x2y24 與圓 x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的長為 2 2，則 a_.

14、 答案 102 解析 聯(lián)立兩圓方程 x2y24，x2y2ax2ay90， 可得公共弦所在直線方程為 ax2ay50， 故圓心(0,0)到直線 ax2ay50 的距離為 |5|a24a25a(a0) 故 2225a22 2，解得 a252， 因?yàn)?a0，所以 a102. 專題強(qiáng)化練專題強(qiáng)化練 一、單項(xiàng)選擇題 1過點(diǎn) a(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為( ) ayx1 byx3 c2xy0或 xy3 d2xy0 或 yx1 答案 d 解析 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為20102， 故直線方程為 y2x，即 2xy0， 當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為xaya1， 代入點(diǎn)(1,2)

15、可得1a2a1，解得 a1， 方程為 xy10， 故所求直線方程為 2xy0 或 yx1. 2若直線 x(1m)y20與直線 mx2y40平行，則 m的值是( ) a1 b2 c1 或2 d32 答案 a 解析 由兩直線平行的條件可得2mm20， m2(舍)或 m1. 3已知圓 x2y22k2x2y4k0關(guān)于 yx 對(duì)稱，則 k的值為( ) a1 b1 c 1 d0 答案 a 解析 化圓 x2y22k2x2y4k0 為(xk2)2(y1)2k44k1. 則圓心坐標(biāo)為(k2，1)， 圓 x2y22k2x2y4k0關(guān)于 yx 對(duì)稱， 直線 yx 經(jīng)過圓心， k21，得 k 1. 當(dāng) k1 時(shí)，k4

16、4k10，1)的點(diǎn) m 的軌跡是圓，若兩定點(diǎn) a，b 的距離為 3，動(dòng)點(diǎn) m 滿足|ma|2|mb|，則 m 點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為( ) a b2 c3 d4 答案 d 解析 以 a 為原點(diǎn)，直線 ab為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則 b(3,0)設(shè) m(x，y)，依題意有，x2y2(x3)2y22，化簡整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，則 m 點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為 4. 8(2020 遼寧省大連一中模擬)已知圓 c：x2y24，直線 l：xy60，在直線 l 上任取一點(diǎn) p向圓 c作切線，切點(diǎn)為 a，b，連接 ab，則直線 ab 一定過定點(diǎn)( ) a.23，23

17、 b(1,2) c(2,3) d.43，43 答案 a 解析 設(shè)點(diǎn) p(x0，y0)，則 x0y060.過點(diǎn) p 向圓 c 作切線，切點(diǎn)為 a，b，連接 ab，以cp 為直徑的圓的方程為 x(xx0)y(yy0)0， 又圓 c：x2y24，作差可得直線 ab 的方程為 xx0yy04，將 y0 x06，代入可得 (xy)x06y40，滿足 xy0，6y40 x23，y23， 故直線 ab過定點(diǎn)23，23. 二、多項(xiàng)選擇題 9集合 a(x，y)|x2y24，b(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 ab 中有且僅有一個(gè)元素，則 r 的值是( ) a3 b5 c7 d9 答案 ac

18、解析 圓 x2y24 的圓心是 o(0,0)，半徑為 r2，圓(x3)2(y4)2r2的圓心是c(3,4)，半徑為 r，|oc|5，當(dāng) 2r5，r3 時(shí)，兩圓外切，當(dāng)|r2|5，r7 時(shí)，兩圓內(nèi)切，它們都只有一個(gè)公共點(diǎn)，即集合 ab中只有一個(gè)元素 10下列說法正確的是( ) a直線 xy20與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 2 b點(diǎn) p(0,2)關(guān)于直線 yx1的對(duì)稱點(diǎn)為 p(1,1) c過 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)兩點(diǎn)的直線方程為yy1y2y1xx1x2x1 d經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在 x 軸和 y軸上截距都相等的直線方程為 xy20 答案 ab 解析 選項(xiàng) a 中直線 xy20 在

19、兩坐標(biāo)軸上的截距分別為 2，2，所以圍成的三角形的面積是 2，所以 a 正確；選項(xiàng) b 中 pp的中點(diǎn)012，212在直線 yx1 上，且p(0,2)，p(1,1)兩點(diǎn)連線的斜率為1，所以 b 正確；選項(xiàng) c 中需要條件 y2y1，x2x1，所以 c錯(cuò)誤；選項(xiàng) d 中還有一條截距都為 0的直線 yx，所以 d錯(cuò)誤 11已知圓 c1：(x6)2(y5)24，圓 c2：(x2)2(y1)21，m，n 分別為圓 c1和 c2上的動(dòng)點(diǎn)，p為 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|pm|pn|的值可以是( ) a6 b7 c10 d15 答案 bcd 解析 圓 c2關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圓 c3為(x2)2(y1)21，圓心

20、 c3(2，1)，r31，點(diǎn) n 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) n在圓 c3上，又圓 c1的圓心 c1(6,5)，r12，|pm|pn|pm|pn|pc1|r1|pc3|r3|pc1|pc3|3|c1c3|3(26)2(15)237，|pm|pn|的取值范圍是7，) 12已知點(diǎn) a 是直線 l：xy 20 上一定點(diǎn)，點(diǎn) p，q 是圓 x2y21 上的動(dòng)點(diǎn)，若paq的最大值為 90 ，則點(diǎn) a 的坐標(biāo)可以是( ) a(0， 2) b(1， 21) c( 2，0) d( 21,1) 答案 ac 解析 如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn) o到直線 l：xy 20 的距離 d212121，則直線 l與圓 x2y21 相切，由

21、圖可知，當(dāng) ap，aq 均為圓 x2y21 的切線時(shí)，paq 取得最大值，連接op，oq，由于paq 的最大值為 90 ，且apoaqo90 ，|op|oq|1，則四邊形apoq 為正方形，所以|oa| 2|op| 2.設(shè) a(t， 2t)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|oa|t2( 2t)2 2，整理得 t2 2t0，解得 t0 或 t 2，因此，點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(0， 2)或( 2，0) 三、填空題 13若直線 l：xayb1(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，則直線 l 在 x 軸、y 軸上的截距之和的最小值是_ 答案 32 2 解析 因?yàn)橹本€ l：xayb1(a0，b0)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，所以1a2b1，所以 ab(ab)1a2b3ba2ab32 2，當(dāng)且僅當(dāng) a 21，b2 2時(shí)等號(hào)成立所以直線在 x軸、y 軸上的截距之和的最小值是 32 2. 14已知o：x2y21.若直線 ykx2 上總存在點(diǎn) p，使得過點(diǎn) p 的o 的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是_ 答案 (，11，) 解析 o的圓心為(0,0)，半徑 r1， 設(shè)兩