固體物理教學課件 第三章聲子復習與習題

1、第三章邏輯整理第三章邏輯整理3.1 引言；引言；3.2 原子間的相互作用勢能；3.3 一維單原子鏈的振動；3.4 一維雙原子鏈的振動；3.5 三維晶格振動；3.6 離子晶體的長光學波；3.7 晶格熱容；3.8 非簡諧效應；3.9 確定晶格振動譜的實驗方法。3.1-3.3：一維單原子鏈色散關系推導：一維單原子鏈色散關系推導12sin2aqm色散關系：色散關系： ：力常數(shù)：力常數(shù)a：晶格常數(shù)：晶格常數(shù)nnufm 從運動方程導出色散關系：從運動方程導出色散關系：1、如何寫出、如何寫出u?2、如何解方程、如何解方程?3.1-3.3：一維單原子鏈色散關系推導：一維單原子鏈色散關系推導是對平衡位置的偏離是

2、格點的平衡位置，nn r .)rr()(41 )rr(21nn,nn2nnnnnn, uuu一、推導一、推導u)rr(21)rr (21nnnnnn,nnnn, uuu晶體的總勢能：晶體的總勢能：taylor展開：展開：20nnnnn,n2nnn,n1 ( )(rr )41 ( )2uuu1、簡諧近似、簡諧近似3.1-3.3：一維單原子鏈色散關系推導：一維單原子鏈色散關系推導一、推導一、推導u2、最近鄰近似、最近鄰近似,2)(21nnnnunn+1n+2n-1n-2 n n+1 n+2 n-1 n-2aa ：力常數(shù)：力常數(shù)只考慮最近鄰原子間的相互作用：只考慮最近鄰原子間的相互作用：2012 (

3、) /nnnuu 3.1-3.3：一維單原子鏈色散關系推導：一維單原子鏈色散關系推導222()( )( ) (0), ()( )(2)2 ()( ) uu xxu xu xxxxuu xxu xu xxu xxu xxxx二、求解運動方程二、求解運動方程第第n個原子間受到的作用力：個原子間受到的作用力：)2(11nnnnnuf 2012 () /nnnuu 第第n個原子的運動方程：個原子的運動方程：112 nnnnm()( , )it qxu x tae2222,uyutx222(2)2 ()( ) uy u xxu xxu xtxnit qnaae嘗試解嘗試解可寫為：可寫為：1、提出嘗試解、

4、提出嘗試解(x=na)3.1-3.3：一維單原子鏈色散關系推導：一維單原子鏈色散關系推導二、求解運動方程二、求解運動方程2、求解色散關系、求解色散關系第第n個原子的運動方程：個原子的運動方程：112 nnnnmnit naqae解解 格波方程格波方程222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得解得 色散關系色散關系22iaqiait naqit naqit naqit nqaqaeaeaemae3.3 其他內容其他內容二、通過畫色散關系圖譜，發(fā)現(xiàn)格波周期性與布里淵區(qū)的關系二、通過畫色散關系圖譜，發(fā)現(xiàn)格波周期性與布里淵區(qū)的關系12sin2aqm 色散關系色散關系qaa 布里淵區(qū)布里

5、淵區(qū)a -a 02a 2a -q (q)3.3 其他內容其他內容三、推導三、推導(q)，為以后的推導埋下伏筆，為以后的推導埋下伏筆q的分布密度：的分布密度： 22lnaq一維：一維：注意與電子氣模型里面的注意與電子氣模型里面的(k)類比。類比。四、在簡正坐標下得到聲子概念四、在簡正坐標下得到聲子概念為什么要用簡正坐標？為什么要用簡正坐標？為了方便！為了方便！3.3 其他內容其他內容四、在簡正坐標下得到聲子概念四、在簡正坐標下得到聲子概念3.3 其他內容其他內容四、在簡正坐標下得到聲子概念四、在簡正坐標下得到聲子概念簡正坐標下的結果是（簡正坐標下的結果是（p90,91）：）：222| )(|21

6、| )(|21qqqquqqtq如何引入簡正坐標？如何引入簡正坐標？1 ( )( )qitinaqqnqq qnma eq q enm令 qnaqtiqqnqnqea)( 線性變換系數(shù)正交條件：線性變換系數(shù)正交條件：,1q qnina q qen *)( :qqq 反演對稱性反演對稱性為什么說上面是簡正坐標呢（為什么說上面是簡正坐標呢（88，89）？）？3.3 其他內容其他內容222| )(|21| )(|21qqqquqqtq四、在簡正坐標下得到聲子概念四、在簡正坐標下得到聲子概念如果如果q(q)是簡正坐標，那么由書本是簡正坐標，那么由書本3.1節(jié)結論就有：節(jié)結論就有：212nntm晶體鏈的

7、動能：晶體鏈的動能：2112nnnu晶體鏈的勢能：晶體鏈的勢能：1()21,2,3,.qnqqqenn能量本征值為：能量本征值為：所以格波的能量是分立的，所以說，格波最基本的能量單元，就是聲子所以格波的能量是分立的，所以說，格波最基本的能量單元，就是聲子3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈一、推導色散關系一、推導色散關系3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈一、推導色散關系一、推導色散關系3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈二、色散關系的相關討論二、色散關系的相關討論（1）色散曲線）色散曲線3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈二、色散關系的相關討論二、色散關系的相關討論（2）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律）

8、光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律iaqnnebauu1223.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈二、色散關系的相關討論二、色散關系的相關討論（2）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈二、色散關系的相關討論二、色散關系的相關討論（2）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律3.4 一維雙原子鏈一維雙原子鏈二、色散關系的相關討論二、色散關系的相關討論（2）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律）光學支以及聲學支中原子相對運動規(guī)律3.5 三維晶格振動三維晶格振動略。但是需要清楚：略。但是需要清楚：簡單晶格：每個原

9、胞中只有一個原子，每一個簡單晶格：每個原胞中只有一個原子，每一個q的取值的取值 對應于三個聲學波（對應于三個聲學波（1個縱波，個縱波，2個橫波）個橫波）晶格振動格波的總數(shù)晶格振動格波的總數(shù)3n晶體的自由度數(shù)晶體的自由度數(shù)復式晶格：若每個原胞中有復式晶格：若每個原胞中有s個原子，每一個個原子，每一個q的取值的取值 對應于對應于3個聲學波和個聲學波和3(s-1)個光學波個光學波 晶格振動格波的總數(shù)晶格振動格波的總數(shù)33(s-1)n=3sn=晶體的自由度數(shù)晶體的自由度數(shù)晶格振動波矢的總數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動波矢的總數(shù)晶體的原胞數(shù)晶格振動格波的總數(shù)晶體的自由度數(shù)晶格振動格波的總數(shù)晶體的自由度數(shù) 提供思

10、路：聲學波是晶格的集體振蕩，由于三維來說，集體振蕩肯定只有提供思路：聲學波是晶格的集體振蕩，由于三維來說，集體振蕩肯定只有3個個方向，顯然就是三個聲學波；因為是直角坐標系如果選定某一個入射方向，方向，顯然就是三個聲學波；因為是直角坐標系如果選定某一個入射方向，那么一定要一個波振蕩與傳播平行，那么一定要一個波振蕩與傳播平行，2個是垂直，所以個是垂直，所以1個縱、兩個橫。個縱、兩個橫。練習練習 a a31 m m n-1 n-1 n n n+1 n+1 質量分別為質量分別為m和和m（設（設m m）的兩種原子以）的兩種原子以a和和a/3相間排成如圖所示的一相間排成如圖所示的一維晶體鏈，若只考慮近鄰原

11、子間的彈性相互作用，設相鄰原子間的恢復力系維晶體鏈，若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，設相鄰原子間的恢復力系數(shù)同為數(shù)同為 ， (1)寫出每種原子的動力學方程式；寫出每種原子的動力學方程式；(2)寫出格波方程式；寫出格波方程式；(3)導出色散關系式。導出色散關系式。1111()()(2)()()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnmuvuuvvvumvuvvuuuv4exp ()344exp ()exp ()33nnnuai qnatvbi qnaqatubi qnat答：若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，第答：若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，第n對大小原子的運動方程為：對大小原子的運動方程

12、為： （1） （2） 取格波方程式為：取格波方程式為：練習練習224exp()2 34exp()2 3mabbiqaambaaiqab224(2)1exp()0341exp()(2)03maiqa biqa amb224(2)1exp()3041exp()(2)3miqaiqam22224sin ()3qammmmmmnm上式中，已將固定相位因子將位移方程代入式（將位移方程代入式（1）中，得到；）中，得到； （3） （4）由上式解得色散關系為：由上式解得色散關系為： （6）整理得：整理得：因振幅因振幅a和和b不會為零，所以其系數(shù)行列式必定為零，即：不會為零，所以其系數(shù)行列式必定為零，即： （5

13、）3.6 離子晶體中的長光學支離子晶體中的長光學支(黃昆方程黃昆方程)首先明確，由于聲學支就是晶格的整體振動，可以用宏觀理論首先明確，由于聲學支就是晶格的整體振動，可以用宏觀理論研究，很簡單。但是，長光學波研究就相對困難，因此有了黃昆方程研究，很簡單。但是，長光學波研究就相對困難，因此有了黃昆方程一、黃昆方程是什么以及其系數(shù)推導。一、黃昆方程是什么以及其系數(shù)推導。推導的方法是用極限法，選取推導的方法是用極限法，選取為為0以及無窮這兩個極端情況下，給出的求解。以及無窮這兩個極端情況下，給出的求解。11122122bbbb wwep =we黃昆方程黃昆方程第一個方程：決定離子相對振動的動力學方程第

14、一個方程：決定離子相對振動的動力學方程第二個方程：極化方程第二個方程：極化方程：宏觀極化強度；：宏觀極化強度； ：宏觀極化電場：宏觀極化電場pe3.6 離子晶體中的長光學支離子晶體中的長光學支(黃昆方程黃昆方程)首先明確，由于聲學支就是晶格的整體振動，可以用宏觀理論首先明確，由于聲學支就是晶格的整體振動，可以用宏觀理論研究，很簡單。但是，長光學波研究就相對困難，因此有了黃昆方程研究，很簡單。但是，長光學波研究就相對困難，因此有了黃昆方程一、黃昆方程是什么以及其系數(shù)推導。一、黃昆方程是什么以及其系數(shù)推導。推導的方法是用極限法，選取推導的方法是用極限法，選取為為0以及無窮這兩個極端情況下，給出的求

15、解。以及無窮這兩個極端情況下，給出的求解。 1122122100220211001bbbb 0：橫長光學波的頻率：橫長光學波的頻率0 wl 靜電場情況：靜電場情況： 0l 高頻電場情況：高頻電場情況： 0 w3.6 離子晶體中的長光學支離子晶體中的長光學支(黃昆方程黃昆方程)二、長光學支的橫波和縱波關系二、長光學支的橫波和縱波關系推導的方法是對方程取旋度和散度來求解推導的方法是對方程取旋度和散度來求解 loto0 lst關系關系三、長光學支的原子理論三、長光學支的原子理論用來證明黃昆方程用來證明黃昆方程對于對于b12 = b21有強大怨念的同學，大可不必那么糾結，看看有強大怨念的同學，大可不必

16、那么糾結，看看這部分推導，發(fā)現(xiàn)確實可以證明。這部分推導，發(fā)現(xiàn)確實可以證明。3.7 晶格熱容晶格熱容一、基本思路一、基本思路vectee本征值本征值求求vcjjj12en引入引入配分函數(shù)配分函數(shù)z=jee令令=1/（kbt）原因：確定了原因：確定了z之后，則系統(tǒng)的內能之后，則系統(tǒng)的內能u確定確定ln zu abu=e +eeln ze ln =ln(1)2jwjwzelnjze 12exp()1 jjj3.7 晶格熱容晶格熱容一、基本思路一、基本思路在一定溫度下，晶格振動的總能量為：在一定溫度下，晶格振動的總能量為：01( )2exp1beee tk tjjjjj102ejj 晶體的零點能晶體的

17、零點能( )exp1be tk tjjj 與溫度有關的能量與溫度有關的能量3.7 晶格熱容晶格熱容二、二、einstein模型模型01()2exp1beee tk tjjjjj 假設：晶體中各原子的振動相互獨立，且所有原子都假設：晶體中各原子的振動相互獨立，且所有原子都 以同一頻率以同一頻率 0振動。振動。0.const即：即：在一定溫度下，由在一定溫度下，由n個原子組成的晶體的總振動能個原子組成的晶體的總振動能為：為：003exp1be tnk t02020exp3exp1bvbbbk tecnktk tk t3.7 晶格熱容晶格熱容bvnkc3二、二、einstein模型模型02020ex

18、p3exp1bvbbbk tecnktk tk t定義定義 einstein溫度：溫度：0ebk v 高溫下：高溫下：t ev 在低溫下：在低溫下：t d，即，即0ddxtv 在低溫下：在低溫下：t d，即，即 ddxt 433125bvdnktct這表明，這表明，debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容cv t3的實驗結果。的實驗結果。 用用debye模型來解釋晶格熱容的實驗結果是相當成功的，尤其是在低溫下，模型來解釋晶格熱容的實驗結果是相當成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，溫度越低，debye近似就越好。近似就越好。3.7 晶格熱容晶格熱容四、

19、模式密度四、模式密度在在q空間中，處在空間中，處在 d 兩等頻面之間的振動模式數(shù)兩等頻面之間的振動模式數(shù)（只考慮其中第只考慮其中第j支格波支格波）為）為 jqgdd殼層q38vdsdq由于由于jdqd q j3j8vdsgq練習練習csnkcsnncsbdmm2/12/1024)3(42d)2(二維二維)4(326d21d)(2121)4(222302000scnncscsegemmmmm二維晶體總的零點能的格波的零點能為頻率為22221)2(221)2(2)(2)(2)() 1 (csccsqcsdsddqqdsqq例：由例：由n個原子組成的二維個原子組成的二維(面積為面積為s)簡單晶格晶體

20、，設格波的平均傳播速簡單晶格晶體，設格波的平均傳播速 度為度為c，應用，應用debye模型分別計算：模型分別計算：(1)晶格振動的模式密度晶格振動的模式密度g( )； (2)截止頻率截止頻率 m； (3) debye溫度溫度 d；(4)晶格的零點能晶格的零點能e0(用用n和和 m表示表示)。3.8 非簡諧效應非簡諧效應1. 沒有熱膨脹沒有熱膨脹2. 力常數(shù)不依賴于溫度和壓力力常數(shù)不依賴于溫度和壓力3. 高溫時熱容量是常數(shù)高溫時熱容量是常數(shù)4. 聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無聲子間不存在相互作用，聲子的平均自由程和壽命都是無限的?；蛘f：兩個格波之間不發(fā)生相互作用，單個波不衰限

21、的?；蛘f：兩個格波之間不發(fā)生相互作用，單個波不衰減或不隨時間改變形式減或不隨時間改變形式5. 完美簡諧晶體的熱導是無限大的完美簡諧晶體的熱導是無限大的簡諧近似的局限性：簡諧近似的局限性：1）熱膨脹；）熱膨脹；2）聲子相互作用對于自由程的影響）聲子相互作用對于自由程的影響先介紹一下晶格的狀態(tài)方程先介紹一下晶格的狀態(tài)方程3.8 非簡諧效應非簡諧效應一、晶格的狀態(tài)方程一、晶格的狀態(tài)方程 有有 df=du-d(ts)=pdvsdttfpv 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： f(p, v, t)=0自由能的定義：自由能的定義： f=uts熱力學第一定律：熱力學第一定律： du=tdspdv由統(tǒng)計物理可知，由統(tǒng)計物理

22、可知，f2=kbtlnz晶格自由能晶格自由能 f = f1+f2v f1=u(v)只與晶體的體積有關，而與溫度（或晶格只與晶體的體積有關，而與溫度（或晶格 振動）無關，振動）無關， u(v)實際上是實際上是t=0時晶體的內能。時晶體的內能。v f2與晶格振動有關，即與溫度有關。與晶格振動有關，即與溫度有關。z是晶格振動的配分函數(shù)是晶格振動的配分函數(shù) exp(/),beze k t(1/ 2),jjjjjeen3.8 非簡諧效應非簡諧效應一、晶格的狀態(tài)方程一、晶格的狀態(tài)方程jj2jlnln 1exp2bbbbfk tzk tk tk t 3.8 非簡諧效應非簡諧效應一、晶格的狀態(tài)方程一、晶格的狀

23、態(tài)方程 jjjln 1exp2bbbfu vk tk tk t晶格自由能為：晶格自由能為：jjj2exp1tbdfdupvdvdvk t jjjjjj112exp1bddudvdvkvtv jjjln1lndduedvvdv jjjj12e x p1bekt其中其中是表征頻率隨體積變化的量，假定與是表征頻率隨體積變化的量，假定與 j無關。無關。 lnlnjdd v晶格狀態(tài)方程：晶格狀態(tài)方程：duepdvv lnlnddv grneisen const. 與晶格振動的非簡諧性有關與晶格振動的非簡諧性有關grneisen假定：假定：3.8 非簡諧效應非簡諧效應一、晶格的狀態(tài)方程一、晶格的狀態(tài)方程晶

24、格狀態(tài)方程：晶格狀態(tài)方程：duepdvv 3.8 非簡諧效應非簡諧效應二、熱膨脹二、熱膨脹熱膨脹指的是在不加壓的情況下，晶體體積隨溫度升高熱膨脹指的是在不加壓的情況下，晶體體積隨溫度升高而增大的現(xiàn)象。而增大的現(xiàn)象。令令p = 0，有：，有：duedvv近展 開v 靜止晶格平衡體積可將其在化時時其體積變化不大 對大多數(shù)固體，溫度變00022vvdudud uvdvdvdv3.8 非簡諧效應非簡諧效應二、熱膨脹二、熱膨脹00vdudv平衡時：平衡時：020002vveevkvd uvvvd ,022vdvuddvduvvevdvudv 022令令p = 0，有：，有：duedvv02002vd u

25、kvdv為靜止晶格的壓縮模量為靜止晶格的壓縮模量3.8 非簡諧效應非簡諧效應二、熱膨脹二、熱膨脹020002vveevkvd uvvvd當溫度變化時，對下式溫度求微商當溫度變化時，對下式溫度求微商對許多固體材料的測量結果證實了對許多固體材料的測量結果證實了grneisen定律，定律， 的的值一般在值一般在12之間。之間。0vckv grneisen定律定律可得可得體積熱脹系數(shù)體積熱脹系數(shù)下面將證明下面將證明 是由非簡諧近似帶來的。是由非簡諧近似帶來的。 )(d)(d,dlnlnd21)2(dlnlnd21dlnlnd2sin411222/1222avrrvanavvnaaqmmmmmmmma

26、，相當于三維晶格的體積相當于三維晶格的體積鏈的長度鏈的長度對一維雙原子鏈對一維雙原子鏈3.8 非簡諧效應非簡諧效應二、熱膨脹二、熱膨脹)()(21)()(121avavaaavav .)(61)(21)()()(32 avavavavrv ，沒有熱膨脹。，沒有熱膨脹。簡諧近似，簡諧近似，00)()(21)()(2 avavavrv 原因。原因。非簡諧近似是熱膨脹的非簡諧近似是熱膨脹的，32)(61)(21)()()( avavavavrv 3.8 非簡諧效應非簡諧效應二、熱膨脹二、熱膨脹3.8 非簡諧效應非簡諧效應三、聲子相互作用對于聲子平均自由程的影響三、聲子相互作用對于聲子平均自由程的影響（1）聲子碰撞對于自由程的影響）聲子碰撞對于自由程的影響 聲子間的相互碰撞必須滿足聲子間的相