三角公式及推導(dǎo)(祥盡解釋)

1、三角公式及推導(dǎo)(祥盡解釋)時間：2021.03. 12創(chuàng)作：歐陽文1誘導(dǎo)公式：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組:公式一:設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:sin (2k n + a )= sin acos (2k 兀 + a )= cos atan (2k n + a )= tan acot (2k n + a )=cot a公式二：設(shè)a為任意角，Ji + a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之 間的關(guān)系：sin ( n + a ) = sin acos ( Ji + a ) = cos atan ( h + a ) =tana cot ( h + a ) =cot a公式三：任意角a與-a

2、的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin ( a ) = sin a cos ( a ) =cos a tan ( a ) = tan a cot (a ) = cot a公式四:利用公式二和公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin ( Ji a cos ( h a tan ( n a cot ( n a)=sina)=cos a)=t an a)=cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (2 h a ) = sin acos (2 h a ) =cos a tan (2 h a ) = tanacot (2 H a ) = cot a公式

3、六：n/2土 a及3n/2±a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin(n /2 + a ) =cos acos(n /2 + a ) = sinatan(n /2+ a ) =cot acot(n /2 + a ) =tanasin(n /2 a ) =cos acos(n /2 a ) =sin atan(n /2 a ) =cot acot(n /2 a ) =tanasin(3 n /2+ a ) =cos acos(3 n /2+ a ) =sinatan(3 n /2+ a ) =cot acot(3 n /2+ a ) =tanasin(3 n /2 a ) =cos aco

4、s(3 n /2 a ) = sinatan(3 n /2 a ) =cot acot (3 n /2 a ) =tana（以上kGz）誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對于kn /2± a （kez）的個三角函數(shù)值， 當k是偶數(shù)時，得到a的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改 變； 當k是奇數(shù)時，得到a相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cosf sin; tancot, cot-tan.（奇變偶不變）然后在前面加上把a看成銳角時原函數(shù)值的符號。（符號看彖限）上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把a視為銳角時，角k - 360° +a（kez） ,

5、 -a、180° ± a , 360° -a所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限。各種三角函數(shù)在四個彖限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦"這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“一”；第三象限內(nèi)切函數(shù)是“ + ”，弦函數(shù)是“一”:第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“一” 公式七：額外的定義2-一同角三角函數(shù)基本關(guān)系1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：tan a cot a =1sin a esc a =1cos a sec

6、a =1商的關(guān)系：sin a /cos a =tan a =sec a /esc acos a /sin a =cot a =csc a /sec a平方關(guān)系：sirT2( a ) +cos“2( a ) =1l + tan*2( a ) =sec*2(a )l + cot"2 (a ) =csc 2 ( a )證明：同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊 形為模型。（1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相 鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線

7、兩端的三 角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點 上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平 方。3-兩角和差公式2 兩角和與差的三角函數(shù)公式sin ( a + 3 ) =sina cos B +cos a sin B sin (aB) =sina cos B cos a sin P cos ( a + B ) =cos a cos B sin a sin B cos ( a B ) =cos a cos B +sin a sin Btan a +tan B1 tan a tan Btan a tan Btan ( a 0 )=1

8、 + tan a tan B和差公式的證明：(1)兩角差的余弦令 AO=BO=r點的橫坐標為5聲點力的縱坐標為兒=點E的橫坐標為八)'C xs ncrex點$的縱坐標為力="in0皿'=(兒一兒)'+(心一勺)= (rshm-rsin/7)2+(rcos/7- r cos ay=r2 sin2 a + r2 sin0 2r2 sin a sin 0 + r2 cos2 a + r2 cos2 0 2r cos a cos 0=r2 (sin' a + sin' 0-2sinasin0 + cos a + cos2 0-2cosacos0)=r2

9、 (sin2 <z + cos a + sin2 0 + cos 0-2sinasin0-2cosacos0)=r2 l + l-2(sintzsin 0 + cosacos0)=r2 2-2 ( sin a sin 0 + cos a cos 0)=2r2 1 - (sin a sin 0 + cosacos0)由余弦公式可得:綜上得:cos(a-0) = sin i/sin 0+cos a cos p兩角和的余弦兩角和的正弦兩角差的正弦（5）兩角和的正切兩角差的正切4-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕縮角公式） 表示一:sin2 a =2sin a cos a證明： 因為

10、 sin( + )=sin cos +cos sin , 令所以，可得：sin2卜2| |sin| cos| 表示二:（以正切表示二倍角）2tan亠二csinz"n口 Ai1+t an"明:cos2=2tan (sec2 )sins in2 2sin cos 二2cos_ 2tanl+ta余弦二倍角公式:2sin"2(a )l-tan29證明：因為由和角公式：cos(+ )=cos cos sin sin ，令 二 二cos2二 cos'sin2=2cos1二 12sin2所以，可得:表不二:1 tan2C 0 szCnAA1+t an"明:2l

11、+tan21 tarT1 =1. 2cos2 2cos1 二 sec22tan at an2 a =I-tan"2 ( a )證明：因為由和角公式：tan(tan +tan1 tan tan所以，可得:2tantan21 tan 結(jié)論：利用tan 可以將sin2 , cos2 , tan2表示出來,整理如下：（a） sin22tanl+ta£(b) cos21 t arf1+t an22tan(/ 、2tan用三角形直觀表示如下：（圖）(c) tan2 二6-半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幕擴角公式）1cos a或：sirf2(a/2)=21 cos atan2(

12、a /2)=1 + cos a7萬能公式萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2 a 二2sin a cos a 二2sin a cos a /(cos'2 ( a ) +sin"2 ( a )*,(因為 cos"2(a )+sirT2(a )=1)再把*分式上下同除cos"2( a ),可得sin2 a =tan2 a /(1 + tan*2( a )然后用a/2代替a即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比 余弦得到。8-一三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3 二 3sin4sin3證明：sin3 二 sin( +2)=sinco

13、s2+cos sin2二sin (1 2sin2)+cos(2sincos )二sin (1 2sin2)+2sincos'二sin (1 2sin2 )+2sin (1 sin2 )=3sin4sin3(b)cos3=4cos33cos證明：cos3 二cos (+2)=coscos2sinsin2=cos(2cos-1)sin(2sinCOS )二 cos(2cos-1)2sin2COS二 cos(2cos21)2(1cos2 ) cos二 4cos°3cossin3 a = 3sin a 4sin“3 ( a )cos3 a =4cos“3 ( a ) 3cos a3t

14、an a tan3( a )t an3 a =1 3tan*2 ( a )三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3 a =sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a +cos2 a sin a ) / (cos2 a cos a - sin2 a sin a )=(2sin a cos"2 ( a ) +cos"2 ( a ) sin a sir/3(a )/(cos“3(a ) cos a sir/2(a ) 2sin*2 ( a ) cos a )上下同除以cos八3(a),得：tan3 a = (3tan a tan*3(a )/(l3tan*2( a ) sin

15、3 a =sin(2 a + a ) =sin2 a cos a +cos2 a sin a=2s in a cos"2(a ) + (1 2sir/2(a ) sin a=2sina 2sin 3( a ) +sina 2sin*2(a )= 3sina 4sirT3(a )cos3 a =cos (2 a + a ) =cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cos 2 ( a ) 1) cos a 2cos a sin"2(a )= 2cos 3 ( a ) cos a + (2cos a 2cos 3 ( a )= 4cos 八 3(a ) 3cos

16、 a即sin3 a = 3sin a 4sin"3 ( a )cos3 a =4cos 3 ( a ) 3cos a三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元減4元3角(欠債了(被減成負數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)余弦三倍角：4元3角減3元(減完之后還有“余”) 注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。9 一-積化和差公式積化和差公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們矢口道 sin(a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin(ab)二sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b) +sin(ab) =2s

17、ina*cosb所以，sina*cosb= (sin(a+b) +sin(ab)/2同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb= (sin (a+b) -sin (a-b)/2同樣的，我們還知道 cos (a+b)二cosa*cosb-sina*sinb, cos (ab)二cosa*cosb+sina*sinb所以，把兩式相加，我們就可以得到cos (a+b) +cos (a-b)二2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb二(cos (a+b) +cos (ab) /2歐陽文創(chuàng)編同理，兩式相減我們就得到sina*sinb=- (cos (a+b) -cos (a b)/2這樣

18、，我們就得到了積化和差的四個公式：sina*cosb二(sin(a+b)+sin(ab)/2cosa*sinb二(sin(a+b)-sin (ab)/2cosa*cosb二(cos(a+b)+cos(ab)/2sina*sinb二-(cos(a+b)-cos(&-b)/2也可以這樣證：10和差化積公式和差化積的公式推導(dǎo)：好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可 以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b 設(shè)為 x, a-b 設(shè)為 y,那么 a二(x+y)/2, b= (xy) /2把a, b分別用x, y表示就可以得到和差化積的四個公式：sinx+siny二2

19、sin(x+y)/2)*cos(xy)/2)sinx-siny二2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy二2cos(x+y)/2)*cos(xy)/2)cosx-cosy二一2sin(x+y)/2)*sin(xy)/2)11輔助角公式ba sin a+h cos a = J a? +1, sin(a + (p)。的象限由"tan(p = - 其屮 a，的符號確定。12任意三角形面積公式:C13一-余弦定理：Z任意三角形一角於器訂兩鄰邊的平方和減對邊的平方 之差與兩鄰邊確勺兩族證明：/,，如 FigureII, c人（證完）14-一正弦定理如 Figure I

20、II,A(a) cos2 二 cos' sirT =2cos2 1=1 2sin2(b) cos =2cos 1=1 2sirT丁(c) cos"=1+C72，si羅2 18： 一些常用的高次方降次一-有用的公式：(a)sin! +cos' 二(sin'2 2 +cos ；2sin2 cos2二1 2sinoc cos"(b) sin6 +cos6 二(sin'+cos= )33sin2 cos2(sin2+cos2 )=13 sin2 cos2(c)tan+cot 二 1sin cos.c(d) (sin cos )'二 sin2s

21、in" +cos 2sin cos =1 sin219：三角函數(shù)公式集中記憶表：和差的三角函數(shù)差sin(a ± 0) = sin a cos 0 ± cos a sin 卩 cos(a ± 0) = cos a cos 卩+sin a sin 0 tan(a±/7)=恰叱 土 tan01 + tan a tan 0sin a cos 0 = sin(cr + 0) + sin(a - 0)cos a sin 0 = sin(a + 0) _ sin(a 一 0)cos a cos P = cos(<z + 0) + cos(a _ 0)

22、2sin a sin 0 = _*cos(a + 0)_cos(a_0) 證明：sin(a + 0) = sin a cos 卩 + cos a sin 0 sin(a - Z?) = sin a cos p - cos a sin p ?倍角、半角的三角函數(shù)sin2tz = 2sintzcos6Zcos 2a = cos' a-sin2 a = 2 cos2 a- = l-2sirr只2 tan atan 2a =；1-tan avcosa = l-2sin2? a 1 + cosa . cos* 2“ a/ cos a = 2 cos' 12將上面兩式左右兩迪分別相除，得:7 a l-cosa tun =2 1+cosa.a , /I-cosasinT = ±+，得sin(a + 0) + sin(<z 一 0) = 2 sin a cos 卩:.sin a cos P = - sin(a + 0) + sin(tz 一 0)2-得：sin(a + 0)-sin(a-0) = 2 cos fz sin 0/. cos a sin P = -