線性代數(shù)課件-n維線性空間中的V中線性變換的矩陣

1、第二節(jié)第二節(jié) n維線性空間維線性空間v中線性變換的矩陣中線性變換的矩陣一、線性變換的矩陣表示式階矩陣階矩陣設(shè)設(shè)n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaa .,taatvn個線性變換個線性變換也可唯一地確定一也可唯一地確定一由一個矩陣由一個矩陣確定一個矩陣確定一個矩陣可唯一地可唯一地由線性變換由線性變換中取定一個基后中取定一個基后在在.,一對應(yīng)的一對應(yīng)的線性變換與矩陣是一線性變換與矩陣是一在給定一個基的條件下在給定一個基的條件下結(jié)論結(jié)論., 1, , 4322313的矩陣的矩陣求微分運(yùn)算求微分運(yùn)算取基取基中中在在dpxpxpxpxp 例1例1解解 ,00000,10

2、001,02002,00303432144321343212432121pppppdpppppdppppxpdppppxpd在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為所以所以d.0100002000030000 a.,)(, 上的一個線性空間上的一個線性空間構(gòu)成構(gòu)成數(shù)與多項式的乘法數(shù)與多項式的乘法它對于多項式的加法和它對于多項式的加法和組成的集合記作組成的集合記作式式包括零多項包括零多項的所有一元多項式的所有一元多項式中次數(shù)小于中次數(shù)小于記作記作合合上所有一元多項式的集上所有一元多項式的集實數(shù)域?qū)崝?shù)域rxrnxrxrrn例2例2.,:)(),()( , 微分變換微分變換這個變換也稱為這個變換也稱為變

3、換變換上的一個線性上的一個線性是是則由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可以證明則由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可以證明定義變換定義變換中中在線性空間在線性空間xrxrxfxfdxdxfxrnnn 則有則有的基為的基為現(xiàn)取現(xiàn)取, 112xxxxrnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010naxnxnn21)1()( 即即變換變換平面的線性平面的線性表示將向量投影到表示將向量投影到中中在在, 3xoytr例3例3,)(j yi xkzj yi xt .,)2(;,) 1 (的矩陣求取基為的矩陣求取基為tkjijitkji解解 , 0, )

4、1(ktjjtiit.000010001),(),( kjikjit即即 , , , )2( jitjtit.000110101),(),( t即即此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣有不同的矩陣同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，那么這些矩陣之間有什么關(guān)系呢？那么這些矩陣之間有什么關(guān)系呢？三、線性變換在不同基下的矩陣上面的例子表明上面的例子表明,;,2121nn 定理定理設(shè)線性空間設(shè)線性空間 中取定兩個基中取定兩個基nv由基由基 到基到基 的過渡矩陣為的過渡矩陣為 ， 中的線性變換中的線性變換

5、在這兩個基下的矩陣依次為在這兩個基下的矩陣依次為 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nv.1appb ptab于是于是 nntb ,2121 ,21ptn ptn ,21 證明證明 pnn ,2121 ,2121atnn btnn ,2121 apn ,21 appn121, 因為因為 線性無關(guān)，線性無關(guān)，n, 21所以所以.appb1 證畢證畢.定理表明：定理表明： 與與 相似，且兩個基之間的過渡相似，且兩個基之間的過渡矩陣矩陣 就是相似變換矩陣就是相似變換矩陣bap例例., , 1222211211212下的矩陣下的矩陣在基在基求求下的矩陣為下的矩陣為在基在基中的線性變換中的線性變換

6、設(shè)設(shè) taaaaatv ,0110),(),(2112 解解,0110 p即即,0110 1 p求得求得下的矩陣為下的矩陣為在基在基于是于是),(12 t 0110011022211211aaaab.11122122 aaaa 011012112221aaaa).(,artta的秩就是的秩就是則則的矩陣的矩陣是是若若.,rnstrtt 的維數(shù)為的維數(shù)為的核的核則則的秩為的秩為若若.,)( 的秩的秩性變換性變換稱為線稱為線的維數(shù)的維數(shù)的象空間的象空間線性變換線性變換定義2定義2tvttn.,987654321 ,3 132321下的矩陣下的矩陣在基在基求求下的矩陣為下的矩陣為在基在基的線性變換的線性變換維線性空間維線性空間已知已知 av例5例5解解由條件知由條件知 987654321),(),(321321 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322從而有從而有.174396285 b給定了線性空間給定了線性空間 的一組基以后，的一組基以后， 中的線中的線性變換與性變換與 中的矩陣形成一一對應(yīng)因此，在中的矩陣形成一一