上海2020高三數(shù)學(xué)一模分類匯編-函數(shù)(詳答版)

1、2020年一模匯編函數(shù)16、填空題【楊浦1】函數(shù)f(x)1X 2的定義域?yàn)椤敬鸢浮縓 (0,)【解析】f(x)1X21所以定義域?yàn)閄 (0,)【長寧，嘉定，金山2】方程2x 7的解為【答案】X Iog2 7【解析】本題考察了對(duì)數(shù)的概念1【楊浦3】已知函數(shù)f (x)的反函數(shù)f (x) log 2 X ,貝V f ( 1) 1【答案】丄21 1【解析】因?yàn)镮og21 ,所以f( 1)-【寶山3】函數(shù)y 3x 1( 1)的反函數(shù)是 .【答案】y Iog 3 1 , X (0,1【解析】x,y 互換，X 3y 1 y Iog3 1 X (0,1【普陀5】設(shè)函數(shù)f() log a(X 4)(a>0

2、且a 1),若其反函數(shù)的零點(diǎn)為 2,則a【答案】2【解析】反函數(shù) f(2)-1 0,有 f(0)loga(0 4)= Ioga22=2 ,易知 a 2崇明 5】函數(shù) f(X)' X 1的反函數(shù)是 .【答案】f 1(X) X21(x0)【解析】令y X 1 , y2 X 1 X y21【徐匯5】已知yf()是定義在R上的偶函數(shù)，且它在0,)上單調(diào)遞增，那么使得f ( 2) f (a)成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】，2 U 2,【解析】由題，yf()是定義在R上的偶函數(shù)，且它在0,)上單調(diào)遞增，則f X在,0上單調(diào)遞減，f( 2) f (a),則a，解得a的取值范圍是【閔行6】設(shè)函數(shù)f

3、(x)log2(x 1)log 2 X,則方程f (X)1的解為【答案】【解析】Q f (x)l0g2(x 1)log 2 X=Iog 2(x 1) log2 Xlog2(x 1)x11 >0x> 0【奉賢 8】已知點(diǎn)3,9在函數(shù)ax的圖像上,則 f X的反函數(shù)為 f 1 X【答案】log 2【解析】將點(diǎn)3,9代入函數(shù)f中得a 2 ,所以fX 12x ,用y表示X得X log2 y 1,所以 f 1 X log 21X【虹口 8】設(shè)f (X)為函數(shù)f (X) log2(41)的反函數(shù)，則當(dāng)1f (x) 2f (X)時(shí)，X的值【答案】1【解析】由于函數(shù) f(x) log2(4x 1)

4、的反函數(shù)為y log4(2x11),當(dāng) f(x) 2f (X),即 log2(4x 1) 2log4(2x 1),計(jì)算出 X 1-1【松江8】已知函數(shù)y f X存在反函數(shù)y f X ,若函數(shù)y f X +2的圖像經(jīng)過1點(diǎn)1,6 ,則函數(shù)y f X +log2 X的圖像必過點(diǎn) .【答案】4,31【解析】y f x的圖像過點(diǎn)1, , y f- X過點(diǎn)4,1 , y f- x +Iog2x的圖 像過點(diǎn)4,3 .【普陀10】已知函數(shù)f() (2 8x 15)(ax2 bx C)是偶函數(shù)，若方程ax2 bx C 11 0 ,易得a在區(qū)間1,2上有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .【解析】函數(shù)整理為 f(x)

5、4 ax8a b x315a 8b2 C X15b8c X 15 C ,因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，需 8ab0, 15b 8c0,即卩b8a ,C815a ,所以2ax bx C 1可整理：<2 ax8ax 15a 10 .令 g X2 ax8ax15a1 ,對(duì)稱軸X 4在區(qū)間1,2的右側(cè)，可保證區(qū)間內(nèi)函數(shù)g X單調(diào)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理：g 1 g 2 0 ,即 a 8a 15a 1 4a 16a 15a【崇明10】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)當(dāng)0 X 1時(shí),3f (x) X ax 1 ,則實(shí)數(shù)a的值等于【答案】2【解析】函數(shù)為奇函數(shù),f(x)f ( x),當(dāng) 1 X <

6、0 時(shí)，f (x) X3 ax函數(shù)周期為2,所以f(1) f(1),代入得a 2【黃浦10】已知函數(shù)f (x)與 yg(x)的圖像關(guān)于直線y X對(duì)稱,若 f (X)X Iog2(2x2),則滿足f(x)Iog23 g(X)的X的取值范圍是【答案】(0,og 2 15)【解析】f(x)X Iog2(2x 2)Iog2 3X3log2(22) Iog223xX 0由題意得f(x)X I0g2 (2)單調(diào)遞增,故反函數(shù)單調(diào)遞增,f (Iog2 3) Iog21511Iog2 3 g(x) Iog2 3 f (Iog215) f (x) X log215【青浦10】已知對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)k ,函數(shù)f

7、(x) 2x k 2 X的圖像都關(guān)于直線 X m成軸對(duì)稱圖形，則 m1【答案】-log2k【解析】對(duì)任意的X R，f(x m) f(m x)成立，故 2x m k 2 x m 2m X k 2x m ,整理得(2x 2 x)(2m k2 m)0 ,所以 2m k 2 m 0，即m 1og2k.【松江10】函數(shù)y =aX b的圖像如圖，若圖像經(jīng)過CX d0,-1 , -4,3 兩點(diǎn)，且 X -1 和 y是其兩條漸近線，則a:b:c:d【答案】2: -1:1:1ad【解析】y= aX. adCX d bb= c CCX dCXCC-dX C0,-1,所以扌-1，X -1和y 2是其兩條漸近線,又函

8、數(shù)圖像經(jīng)過所以 a:b:c:d 2:-1:1:1 .【楊浦10】已知六個(gè)函數(shù)(1)(2)COSX ； (3) y1X2 ； (4) y arcsinx ；(5)y1 XIg(C) ；(6)y1 ,從中任選三個(gè)函數(shù)，則其中棄既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的選法有種。【答案】12【解析】奇函數(shù)有(4)(5),偶函數(shù)有(1)(2),所以一共有兩奇一偶 2種，一奇兩偶2種,奇一偶8種，合計(jì)12種【楊浦11】已知函數(shù)f (X)m的取值范圍為1丄(X 0)，若關(guān)于X的方程f (x) 2 mf(x) 2m 3 0 X【答案】m(f,3【解析】設(shè)f(x)t ,則當(dāng)X (0,1)時(shí)，t有兩個(gè)解，當(dāng)X 11,)時(shí)，t有一個(gè)

9、解,因?yàn)閠2mt2m30有三個(gè)解，而一個(gè)一兀一次方程最多兩個(gè)解，因此這兩個(gè)解-疋有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)一個(gè)在(0,1),另一個(gè)在11,),當(dāng)另一個(gè)為X 1時(shí)，兩根之積為0 ,此時(shí)m),因此f(O)0 即 2m 3f(1) 0 3m 43而兩根之和不可能為，矛盾，因此另一個(gè)在1,234所以m ( 2,#【閔行11】若f(x) |x a| |x 3a ,且X 0,1上的值域?yàn)?, f(1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1【答案】0,141【解析】當(dāng)a 0時(shí)，符合，當(dāng)a 0時(shí)必有4a 10 a -4當(dāng)a 0時(shí)，f X單調(diào)遞增，值域?yàn)?f 0 ,f 13a2, f 1 ,不符合奉賢11】給出下列一組函數(shù)

10、：f1XIog22+2x 3、f2X In2x2+5x 8、f3 X Ig 3x2+8x 13、f4 X log0.3 X2+7.465517 13.931034，請(qǐng)你通過研究 以上所給的四個(gè)函數(shù)解析式具有的特征，寫出一個(gè)類似的函數(shù)解析式2y loga Ax BXC a 0,a 1 : .【答案】y log3 4x2 7x 10 (答案不唯一)【解析】 A C 2B,y log2 2x2 6x 10【黃浦11】設(shè)函數(shù)y f (X)的定義域?yàn)镈 ,若對(duì)任意的X1 D ,總存在X2 D ,使得 f(xj f (X2) 1,則稱函數(shù)f (X)具有性質(zhì)M ,下列結(jié)論：函數(shù)y X X具有性質(zhì)M ；函數(shù)y

11、 3x 5x具有性質(zhì)M :若函數(shù)y logs(x 2)，X 0,t具有性質(zhì)M ,則t 510 ;若y 3sin X a具有性質(zhì)M ,則a 5 ;其中正確結(jié)論的序號(hào)是4【答案】【解析】函數(shù)y X3 X ,由于f (O) 0 ,故不成立 函數(shù)y 3x 5x值域(0,),所以具有性質(zhì) M1 函數(shù) y log8(x 2)，X 0,t單調(diào)遞增，f(0),故 f(t) 3 t 5103 若y 3sinx a具有性質(zhì)M ,則a5 ,故不成立4【松江111若實(shí)數(shù)a,b 0 ,滿足abc a b c, a2 b2 1 ,則實(shí)數(shù)C的最小值為【答案】 2/2【解析】法1 (三角換元)，令a CQS ,b Sin代入

12、得C旦,再設(shè)tSin CQS 1SinCQS,可知t 1八2所以Ct 2t 22t 1 I t2上單調(diào)遞減，故t '.2時(shí)C最小，最小為2.2法2.根據(jù)對(duì)稱式的形式,大膽猜測(cè)當(dāng)b遼時(shí)C最小，代入得C 2/22【靜安121設(shè)a 0,a,M 0, N0,我們可以證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如下:QaIQgaM IQgaNJQgaMlog a NMN , IogaMN log a M IogaN 我們將式稱為證明的 關(guān)鍵步驟”則證明IQgaMrr Ioga M(其中 M 0,r R)的關(guān)鍵步驟”為【答案1 loga M r rloga M【解析】Q(aIQgaM )rarIogaM Mr,IogaMr

13、r Ioga M .【普陀121若M、N兩點(diǎn)分別在函數(shù)y f(x)與y g(x)的圖像上,且關(guān)于直線X 1對(duì)稱，則稱M、N是y f(x)與y g(x)的一對(duì)“伴點(diǎn)” (M、N與N、M視為相同的一2 X(XV 2)對(duì))。已知f(x),g(x)= X a 1 右 y f (x)與 y g(x)存在兩對(duì)4 (X 4)( x 2)“伴點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 【答案】(3 2.2,12,2) 【解析】數(shù)形結(jié)合，畫出y f (x)的圖像，并作出y f (x)關(guān)于X 1對(duì)稱的圖像-2 2f (X)= X 2 y 4 ,又由題意，即f(X)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)， a取值范圍的界值在g(x)與半圓y .4

14、(X 2)2相切時(shí)取到，即點(diǎn)(2,0)到直線y X a 1和直線a 12， 2X a 1的距離均為【虹口 12】已知函數(shù)f (X)的定義域?yàn)镽 ,當(dāng)2 , a 1 2 2 , a 3 2 2 , aX R ,均有 f (X 2)2f(X),若不等式f(X)1515在x (,a上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為【答案】274【解析】X (0,2時(shí)，f(x)x(2X)f(X)0,1f(x 2)2f(x)(2,4f(x) 0,2(4,6f(x) 0,4, X(6,8f (x)0,8此時(shí)包含2(6,8, f(X) 2f(x 2)4f (x4) 8f(x 6)可知當(dāng) X (6,8, X 6(0,2 f (X

15、6) (X 6)(2 X 6) (X 6)(8 x)2927X1,X244所以a的最大值274【徐匯12】已知函數(shù)f (X)4 1X2X 6 10 Xf(x) 8f (X 6)8(x 6)(8 X)的解集是(x1,x2)U(3,)，1關(guān)于X的不等式f(x) m 2m 201右Xl X2 X3 O，則X1 X2 X3的取值氾圍是 【答案】2 /712,【解析】此題轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合，即f X m X因?yàn)橹本€ymX22恒過定點(diǎn)2,2X22。ymX22則聯(lián)立,得 X6 mX 8y2X610有X1X2m6，則X1m 4。同理：y m X22/口1 2m聯(lián)立得X3。y41m 4畫出大致圖像，如下圖：要符合題

16、意，故m4, 121 2m7則 X1X1X1m 6m4m 4m4故 X1 X1X12萬12 ,當(dāng)且僅當(dāng)m V74【長寧，嘉定，金山12】已知函數(shù)f XX又因X1X2X3O ,故只需過D 0,1為m的臨界值2.7 12，時(shí)，等號(hào)成立1 a ,若對(duì)任意實(shí)數(shù) a ,關(guān)于X的不等式1m在區(qū)間-3上總有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為2'【答案】【解析】X2,10上總有3-,3 時(shí)，令 t=x+ -,t 2,10 ,即:2 X3的最大值103+a或-2-a中取到解，即 m f t maX；t2®3當(dāng)a2時(shí)，f t t af t i Wmin3am在1010410t a, ta,a2上恒成立，即

17、: m2-，當(dāng)0a 2 時(shí)，f t3時(shí),333t a,t2, a即 2f t max2 a 10a 4ft -,m-綜上mmax3333、選擇題【普陀13】“m1,2 ”是“In mvT成立的(【A】充分非必要條件【B】必要非充分條件【C】充要條件【D】既非充分既非必要條件【答案】A【解析】In mv1m 0,e ,又m 1,2 m 0,e ,所以m 1,2是m 0,e的充分不必要條件1【寶山13】若函數(shù)f() In X a在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn)，貝U常數(shù)a的取值范圍()X【A】0 a 1【B】1 a 1【C 】1- 1 < a <1 e【D】1 + 1<a<1 e

18、e【答案】C【解析】由零點(diǎn)存在性定理得(1a)(11 a) 0解得:-1 a 1ee【長寧,嘉定，金山14】F列函數(shù)中，值域?yàn)?0,)的是()【A】y2x【b】y x2【c】y ln X【D】y COSX【答案】A【解析】A的值域(0,) , B的值域O, C的值域R, D的值域 1, 1【浦東14】已知函數(shù)f 1()為函數(shù)f(X)的反函數(shù)，且函數(shù)f (X 1)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1 ,),則函數(shù)f 1(X)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)()【A】(0 ,1)【B】(1 ,0)【C】(1 ,2)【D】(2 ,1)【答案】B【解析】函數(shù)f(x 1)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,1), f(X)的圖像經(jīng)過(0,1),那么f 1(

19、X)的圖像經(jīng)過【虹口 15】已知函數(shù)f(x) | X 2| , g(x) | X 11 ,定義函數(shù)F(X)f(X) f(x) g(x)g(x) f(x) g(x)若對(duì)任意的X R ,都有F(X)F(2 X)成立，則t的取值為(【A】4【B】2【Cl 0)【Dl 2(1 ,0),故答案選B。下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在【寶山14l0,)上單調(diào)遞增的是()【A】f(X) log2(4x 1) X【B】f (x) X 2cosx【c】f(X)x2杯O)【D】f(x) 10lgx0(x 0)【答案】A【解析】f (x) log2(4x 1) XI4xlog? 2Xlog2(22X), f ( X) f (X

20、)是偶函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知f(X)在0,)上單調(diào)遞增,【答案】A【解析】由題目可知，函數(shù)是關(guān)于X 1對(duì)稱的，因此畫圖可以推出t為4【楊浦16】對(duì)于全集R的子集A ,定義函數(shù)fA(x)I(X A 為A的特征函數(shù)，設(shè)A,B0(x CRA)為全集R的子集，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(【A】若 A B ,則 fA(x)fB(x)【B】fcRA(x)1 fA(x)IClfAI B(X)fA (X) fB(X)【D】f AUB (X)fA(X) fB (X)【解析】針對(duì)每個(gè)選項(xiàng)舉例說明即可?！敬鸢浮緿D明顯是錯(cuò)的，因?yàn)楫?dāng) X AI B時(shí)，fAUB(x)1，fA(x) fB(x)1 12 ,不相等。三、解答題a

21、【楊浦18】已知函數(shù)f() 2x-,其中a為實(shí)常數(shù)2x(1) 若f(0)7,解關(guān)于X的方程f(x) 5(2) 判斷函數(shù)f (X)的奇偶性，并說明理由【答案】(1) a 6, X 1或log 2 3(2) a 1時(shí)，為奇函數(shù)；a 1時(shí)，為偶函數(shù)a 1時(shí)，為非奇非偶函數(shù)【解析】X 6(1) Q f(0) 7 a 6 f(x) 2x 戻f(x) 2x 6 5(2x)2 5 2x 6 02x 2或3X 1 或 log 2 3(2) Q2x 0 X R若f (X)為偶函數(shù)，則f (x)-f (-x)=0對(duì)于任意X R恒成立Xa-XaXa XIX1X 12歹-2 -2x=°2 歹-a 2 -2=

22、2 (1-a)-2x(I-a)=(I-a) (2 2)=0恒成立 a = 1若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)+f(-x)=O對(duì)于任意X R恒成立2xa-XaXaXIX1X 1X+2 +=02+a 2 +=2 (1+a)+(1+a)=(1 + a) (2 +)=02 2 2 2 2 2恒成立a =-1綜上，當(dāng)a = 1時(shí)，f (x)為偶函數(shù)，當(dāng)a=-1時(shí)，f (x)為奇函數(shù)當(dāng)a 1, f (x)為非奇非偶函數(shù)2【徐匯18】設(shè)函數(shù)f (x) X IXal(X(1)若f (x)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)1a,求函數(shù)2f (x)的最小值(用a表示).【答案】(2) a由題知,即X a ,解得(2)

23、 f XI X a 時(shí),I X a 時(shí),【解析】(1)22X2 Xa, xa, x的最小值為的最小值為由于,所以函數(shù)f X的最小值為a【閔行18】已知函數(shù)f(x)2xa2x .(1)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值;(2)若f(x)3在X 1,3上恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【答案】(1) a 1 (2), 40【解析】(1) Q f X定義域?yàn)镽 ,且為奇函數(shù)f 01 a 0, a 1(2) Q f X2x J 3在X 1'3上恒成立則 a ( t23t)min 40a的取值范圍為，40?！酒胀?8】設(shè)函數(shù)f(x)2x2-x(1)當(dāng)a4時(shí)，解不等式f(x)v5 ;(2)若函數(shù)f (x)

24、在區(qū)間2,+ 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍【答案】(1)0,2(2)16,【解析】(1)當(dāng) a 4時(shí)，f X2x a2-x 2x 4 2-x 5<0,故 2x 4 2-x 5v0,有 2x 1 2x 4 <0,解得 X 0,21(2) f (X)在區(qū)間2,+上是增函數(shù)，f X f 2恒成立，2x a2-x4 -a整4理得a2x 2 ,因?yàn)閄 2, ,所以a 16,【奉賢18】某紀(jì)念章從某年某月某日起開始上市，通過市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)y (單位：元)與上市時(shí)間 X (單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間X天41036市場(chǎng)價(jià)y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中

25、選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)與上市時(shí)間的變化關(guān)系并說明理由：CDy ax b :y ax2 bx Ca logbXY k aX ；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格。1 2【答案】(1);(2) y - X 2026 ,上市20天，最低價(jià)26元4【解析】(1)隨著時(shí)間X的增加，y的值先減后增1分三個(gè)函數(shù)中Y ax b、Y a Iog b X、Y k ax顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意選擇 y ax2 bx C.1分(2)把點(diǎn)(4,90) , (10,51) , (36,90)代入 y ax2 bx C 中,16a4b C90得 100a10bC 51

26、,解得a1-,b 10,c 1261296a36bC 9041 212.厶 yX10x126 X2026,44當(dāng)X= 20時(shí)，y有最小值4分ymin 26 .3分答：當(dāng)紀(jì)念章上市20天時(shí)，該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為26元.【浦東19】某貧困村共有農(nóng)戶100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為1.8萬元.在當(dāng)?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?dǎo)下，村委會(huì)決定，2020年初抽出5x戶(X N ,X 9 )從事水果銷售工作經(jīng)測(cè)算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶平均每戶年收入比上一年提高了4x% ,而從事1水果銷售的農(nóng)戶平均每戶年收入為3 1X萬元.5(1) 為了使從事水果種植的農(nóng)戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬

27、元，那么2020年初至 少應(yīng)抽出多少農(nóng)戶從事水果銷售工作？(2) 若一年后，該村平均每戶的年收入為f (x)(萬元)，問f (x)的最大值是否可以達(dá)到2.1萬元？【答案】(1) 15 (2)可以達(dá)到【解答】(1)經(jīng)過三年，種植戶的平均收入為1.8(I 4x%)3因而由題意 1.8(1 )2.4，得 1 X 2.51612525 V3由X Z X 3,即至少抽出15戶貧困農(nóng)戶從事水果銷售工作.(2) f(x)XX5x(3 5) 18 (WO5x)(125)134266*525(X2X 180)(X N ,x 9)100100255對(duì)稱軸X165 N*,34因而當(dāng)X59 時(shí)，f(x)max 2.1

28、22.1可以達(dá)到2.1萬元.19【寶山19】一家污水處理廠有 A、B兩個(gè)相同的裝滿污水的處理池，通過去掉污物處理污 水，A池用傳統(tǒng)工藝成本低，每小時(shí)去掉池中剩余污物的10%，B池用創(chuàng)新工藝成本高，每小時(shí)去掉池中剩余污物的19% .（1） A池要用多長時(shí)間才能把污物的量減少一半；（精確到1小時(shí)）（2） 如果污物減少為原來的10%便符合環(huán)保規(guī)定，處理后的污水可以排入河流，若A、B兩池同時(shí)工作，問經(jīng)過多少小時(shí)后把兩池水混合便符合環(huán)保規(guī)定.（精確到1小時(shí)）【答案】（1）7 ；（ 2）17【解析】設(shè)A、B池中各有的初始污物量都為 1，an表示A池中n小時(shí)后的污物量，bn表 , *示B池中n小時(shí)后的污物量

29、（nN）；（1）由題意得an 0.9n，an 0.9n 0.5 n log0.9O.56.58 n 7故A池要用7小時(shí)才能把污物的量減少一半（2）由題意得bn 0.81n，an bn 0.9n 0.81n 2 0.1 0.2 ；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可得an bn 0.9n 0.81n為遞減數(shù)列，又由計(jì)算可得a16 b160.2，a17 b170.2 ；則 1 n 16 時(shí)，a.00.2 ；n 17 時(shí)，a. g 0.2 ；綜上，經(jīng)過17小時(shí)后把兩池水混合便符合環(huán)保規(guī)定【崇明19】某輛汽車以X公里/小時(shí)速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全要求14500 F60 X 120 ）時(shí)，每小

30、時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為 -X 100升.5X（1） 欲使每小時(shí)的油耗不超過9升，求X的取值范圍；（2）求該汽車行駛100公里的油耗y關(guān)于汽車行駛速度 X的函數(shù)，并求y的最小值.【答案】（1） X的取值范圍是6,1oq ； （ 2）最小值80升【解析】45009得 X2 - 145x + 4500? 0 ,所以 45 #x 100又因?yàn)?0非X 120 ,所以X的取值范圍是60,10（2）設(shè)該汽車行駛100公里的油耗為y升，tt 100J / " 4500、ccccc/1 1 2 80則 y=?（X 100+），（ 60 #x 120） =90000（-） +X 5XX 9091

31、 1 1因?yàn)?60 #x 120 ,所以一？,X 120 6080所以當(dāng)x = 90時(shí)，該汽車行駛100公里的油耗取得最小值9升【松江19】汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車，某種算法（如下圖所示）將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動(dòng)時(shí)間t3,相應(yīng)的距離分別為d0、d1、d2、d3.當(dāng)車速為v（米/秒），且V 0,33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，k 0.

32、5,0.9）.I -I灌備1. AWf¾2、MAS氛制功時(shí)制q - 0.8 Ht2 -<l 2 »£ = 204d1£ = V 來204（1）請(qǐng)寫出報(bào)警距離 d （米）與車速V（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式 d V ；并求k 0.9時(shí),若汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間，（精確到0.1秒）（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于 80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時(shí)（精確到1千米/小時(shí)）？【答案】（1） 3.1秒；（2） 72千米/小時(shí).解析】由題

33、意得d Vd0 d1 d2 d3 1分由函數(shù)簡(jiǎn)圖知，當(dāng)X 0,log 0.6 0.5時(shí)，血藥濃度隨時(shí)間增大而增大;V 20 V1 2 V 20k0.9 時(shí)，d20 VV 1822-10=3.1 (秒).3（1） 根據(jù)題意，要求對(duì)于任意k 0.5,0.9 ， dV 80恒成立,即對(duì)于任意k0.5,0.9 , 20 VV220k180 ,即0k0.5,0.9得丄丄,丄20k18 10110602V2即 V 10v 60012分解得3020 ；0 V 20( 米/ 秒)，13分20 36001000汽車的行駛速度應(yīng)限制在 20米/秒以下，合72 （千米/小時(shí)）72千米/小時(shí).14分【黃浦19】某研究

34、所開發(fā)了一種新藥，測(cè)得成人注射該藥后血藥濃度y （微克/毫升）與給藥時(shí)間X （小時(shí)）之間的若干組數(shù)據(jù)，并由此得出y與X之間的一個(gè)擬合函數(shù)X2xy 40（°606）（ X °,12】），其簡(jiǎn)圖如圖所示，試根據(jù)此擬合函數(shù)解決下列問題:（2）求血藥濃度的半衰期（血藥濃度從藥峰濃度降到其一半所需要的時(shí)間）（精確到小時(shí)）【答案】（1）見解析(2)2.40小時(shí)1) 令 0.6x t40(0.60.6 2x)40( t2t)，40( t0.5)21010 ,當(dāng)且僅當(dāng)t 0.5,即卩X log0.6 0.50.01則0,12時(shí),（1）求藥峰濃度與藥峰時(shí)間（精確到0.01小時(shí)），并指出血藥濃

35、度隨時(shí)間的變化趨勢(shì);y 10,故y的最大值為10 ,此時(shí)X IOg 0.6 0.5 1.36， 所以藥峰濃度為10（微克/毫升），藥峰時(shí)間為1.36小時(shí).當(dāng)X log 0.6 0.5,12時(shí)，血藥濃度隨時(shí)間增大而減小. 8分1(2)令 y40(t2 t) 5 ,可得 t2 t 一 0 , 10 分8解得 t或 t,由 t可得 X log°6J2 , 12 分4444故血藥濃度的半衰期為log 0 6 22 log0 6 0.5 2.40 (小時(shí)). 14分4【靜安21】現(xiàn)定義：設(shè)a是非零實(shí)常數(shù)，若對(duì)于任意的X D，都有fax fax，則 稱函數(shù)y f X為關(guān)于的a偶型函數(shù)”(1) 請(qǐng)

36、以三角函數(shù)為例，寫出一個(gè)關(guān)于2的偶型函數(shù)”的解析式，并給予證明(2) 設(shè)定義域?yàn)榈?關(guān)于的a偶型函數(shù)”在區(qū)間-,a上單調(diào)遞增，求證在區(qū)間a, 上單調(diào) 遞減(3) 設(shè)定義域?yàn)镽的關(guān)于1的偶型函數(shù)” y f X是奇函數(shù)，若nN* ,請(qǐng)猜測(cè)f n的值,2并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論【答案】(1) y CoSX 2答案不唯一(2)證明見解析(3) f n 0【解析】解：(I) y Sin. (2分)證明：對(duì)于任意的 X R,(2 x) . X .x X .(2 X)QSl nSinSInSinSIn42424244y Sin X為“關(guān)于2的偶型函數(shù)”. (3分)4注：以X 2為對(duì)稱軸的三角函數(shù)均可.(2

37、)證明：Q f(a x) f (a x),令 a X t ,則 f(t) f a (t a) f (2a t),所以 f(x) f (2a x) . (2 分)設(shè) ax1x2 ,貝Ux2x1a, 2a x2 2a x1 a ,f (X2) f (X1)f (2a X2) f (2a X1).(2 分)Q f(x)在(，a)上單調(diào)遞增,f(2a X2) f(2a Xi)即 f (x2)f(xj . (1 分)y f ()在區(qū)間(a,)上是單調(diào)遞減函數(shù). (i分)備注：學(xué)生有用單調(diào)性證明的意識(shí)，如任取變量后作差，可以給2分(3)猜測(cè)：f (n) O ,其中 n N . ( 2 分)證明：當(dāng) n 1

38、 時(shí)，f(1) f (1 1) f(0) 0. (1 分)假設(shè)當(dāng)n k時(shí)有f (k)0 . (1分)當(dāng) n k 1 時(shí)，f(k 1)f1(k 1) f(k) 0.(2 分)所以，對(duì)于n N ,都有f(n)(1 分)備注：不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論正確得【青浦21】已知函數(shù)f (X)的定義域?yàn)?分，證明過程正確加再1分(相當(dāng)于證明n=1).0,2,且f(x)的圖像連續(xù)不間斷，若函數(shù) f(x)滿足：對(duì)于給定的實(shí)數(shù)m且0 m 2 ,存在X00,2 m,使得 f(x°)f (X0 m),則稱 f ()具有性質(zhì)P(m)(1)已知函數(shù)f (x)(X 1)2 ,判斷f(x)是否具有性質(zhì)P(1),并說

39、明理由;(2)求證：任取 m(0,2),函數(shù) f (x) (X 1)2 , X 0,2具有性質(zhì) P(m);(3)已知函數(shù)f (X)sin X , X 0,2, 若f (X)具有性質(zhì)P(m),求m的取值范圍.【答案】(1)1f (X)具有性質(zhì)P() ； (2)證明略;2(3) m(0,1.【解析】(11)f(x)具有性質(zhì)P(),設(shè)X02f(X0)f(X0 1),則2(X。1)2(X02)2解得X3 , 又30?,所以f(x)具有性質(zhì)F442(2)證明:任取X00,2m ,令f(°) f(x因?yàn)閙0 ,解得x0m1 .又0m 2 ,所以m),則(X。1)2 (x°+m 1)2 ,當(dāng)0 m2，Xom211 時(shí)，(2m)X(2 m)(m1)1 -m20即012m ,即任取實(shí)數(shù)m0,2,f (X)都具有性質(zhì)P(