勾股定理逆定理講義(經(jīng)典例題+詳解+習(xí)題)

1、XX教育一對(duì)一個(gè)性化教案授課日期： 2019 年月日學(xué)生姓名許XX教師姓名授課時(shí)段 2h年 級(jí)8學(xué) 科數(shù)學(xué)課 型VIP教學(xué)內(nèi)容勾股定理及逆定理教 學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。難點(diǎn)：運(yùn)用用勾股定理和勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)步驟及突出教學(xué)方法1、 知識(shí)歸納1、勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和及較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，

2、為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊。勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形。2、勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）題型一：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例1.已知三角形的三邊長(zhǎng)為，判定是否為，分析：由

3、勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。解：，是直角三角形且，不是直角三角形例2.三邊長(zhǎng)為，滿足，的三角形是什么形狀？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形例3.如果ABC的三邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)），則ABC是直角三角形嗎？分析：先來(lái)判斷a,b,c三邊哪條最長(zhǎng)，可以代m,n為滿足條件的特殊值來(lái)試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大。解：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（

4、m2+n2）2，a2+b2=c2，能成為直角三角形的三邊長(zhǎng)題型二：勾股定理及勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例4.已知中，邊上的中線，求證：證明：為中線，在中，例5.（1）如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面積（2）在ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，求ABC的周長(zhǎng)分析：（1）根據(jù)AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求證ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，然后利用三角形面積公式即可得出答案（2）本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，在RtABD和RtACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出

5、，兩者相加即為BC的長(zhǎng)，從而可將ABC的周長(zhǎng)求出；當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，在RtABD和RtACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長(zhǎng)求出，兩者相減即為BC的長(zhǎng)，從而可將ABC的周長(zhǎng)求出解：（1）BD2+AD2=62+82=102=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，在RtACD中，CD=15，（2） 分兩種情況：當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5，BC=5+9=14ABC的周長(zhǎng)為：15+13+14=42；當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=4，BC=9-5=4ABC的周長(zhǎng)為：15+13+4=32當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)

6、，ABC的周長(zhǎng)為42；當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，ABC的周長(zhǎng)為32例6：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，求證：AFEF思路點(diǎn)撥：要證AFEF，需證AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要證出AF2+EF2=AF2就可以了基礎(chǔ)練習(xí)：若ABC的三邊a，b，c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判定ABC的形狀（提示：根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三邊之間的關(guān)系，應(yīng)用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，a2+b2=c2，ABC是Rt）二、提高例題例

7、1.一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)5、12、13；根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形?！咎岣呔毩?xí)】1如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問(wèn)：甲巡邏艇的航向？2一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)

8、的三角形，則三邊長(zhǎng)分別為，此三角形的形狀為。3如圖，小明的爸爸在魚(yú)池邊開(kāi)了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90°。三、能力培養(yǎng)例1已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四邊形ABCD的面積。分析：使學(xué)生掌握研究四邊形的問(wèn)題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問(wèn)題。本題輔助線作平行線間距離無(wú)法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（AS

9、A）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。例2已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD。求證：ABC是直角三角形。 分析：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=A B2【能力訓(xùn)練】1若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ ）A等腰三角形； B直角三角形；C等腰

10、三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。2若ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷ABC的形狀。3已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四邊形ABCD的面積。4已知：在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，且CD2=AD·BD。求證：ABC中是直角三角形。5若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面積。6在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：ABC是等腰三角形。7已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。

11、 勾股定理及逆定理測(cè)試題一、選擇題1在下列長(zhǎng)度的各組線段中，能組成直角三角形的是（ ）.A12，15，17 B9，16，25 C5a，12a，13a（a>0） D2，3，42 在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，AB8，BC15，CA17，則下列結(jié)論不正確的是（ ）.AABC是直角三角形，且AC為斜邊 BABC是直角三角形，且ABC90°CABC的面積是60 DABC是直角三角形，且A60°3在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a：b：c1：2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）.AC90° Bc2a2b2 Cc22a2 D若ak，則c2k（k&

12、gt;0） 4下列定理中,沒(méi)有逆定理的是（ ）.A兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B直角三角形兩銳角互余C對(duì)頂角相等 D同位角相等，兩直線平行5在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.則滿足下列條件但不是直角三角形的是（ ）.AABC BA：B：C 1：1：2 Ca：b：c4：5：6 Da2c2b26、已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足，則三角形的形狀是（ ）A.底及邊不相等的等腰三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形二、填空題7若一三角形三邊長(zhǎng)分別為5、12、13，則這個(gè)三角形長(zhǎng)是13的邊上的高是.8若一三角形鐵皮余料的三邊長(zhǎng)為12cm，16cm，20cm，則這塊三角形鐵

13、皮余料的面積為cm2.9.木工師傅要做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，做好后量得長(zhǎng)為80cm，寬為60cm，對(duì)角線為100cm，則這個(gè)桌面（填“合格”或“不合格”）；10.如圖1，一根電線桿高8m.為了安全起見(jiàn)，在電線桿頂部到及電線桿底部水平距離6m處加一拉線.拉線工人發(fā)現(xiàn)所用線長(zhǎng)為10.2m（不計(jì)捆縛部分），則電線桿及地面（填“垂直”或“不垂直”）11一透明的玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底部半徑為6cm，杯深16cm.今有一根長(zhǎng)為22cm的吸管如圖2放入杯中，露在杯口外的長(zhǎng)度為2cm，則這玻璃杯的形狀是體.圖2圖1BA圖312.寫(xiě)出一組全是偶數(shù)的勾股數(shù)是.13.如圖3：是一個(gè)高12cm，底面半徑3cm的圓柱，在圓柱下

14、底的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面及A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是_。14.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是.15.如右圖所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，AD=9，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B及點(diǎn)D重合，折痕為EF，則AE的長(zhǎng)為 。三、解答題(11題20分,12、13、14每小題10分，共50分)16.判斷由下列各組線段a、b、c的長(zhǎng)，能組成的三角形是不是直角三角形，并說(shuō)明理由.（1）a6.5，b7.5，c4； （2）a11，b60，c61；（3）a，b2，c； （4）a，b2，c； 17.在ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c. an216，b8n，cn2+16（n>4）.求證: C=90°.18.如圖3，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四邊形ABCD的面積.ABCD圖319. 如圖4，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9.CABD圖4(1)求DC的長(zhǎng).(2)求AB的長(zhǎng).(3)求證: