(word完整版)高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納,推薦文檔

1、FpgFpg高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納一.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及定義2 I 21. 已知橢圓+匚=1 上一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為 3,則點(diǎn)25 16到另一個(gè)焦點(diǎn)距離為（）A. 2 B. 3 C. 5 D. 72 22. 已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 祜+寧山0），并且焦距為 6,則實(shí)數(shù)值為_ .3. 求滿足下列條件橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（1） 焦點(diǎn)分別為（0,- 2）, （0, 2）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4, 也）（2） 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2, |血），（-1,學(xué)）4. 求滿足下列條件橢圓方程：（1） 長(zhǎng)軸在 x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 12,離心率等于 1；（2） 橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-6, 0）和（0, 8）;（3） 橢圓一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)距離分別

2、為 10 和 4.5.設(shè) F1, F2 分別是橢圓二+=1左，右焦點(diǎn)，P 為橢圓上任一點(diǎn)FpgFpg點(diǎn) M6 坐標(biāo)為（6, 4）,則|PM|+|PF1|最大值為_.FpgFpg、離心率1、 已知 Fi、F2是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P 是橢圓上一點(diǎn)，/ FiPF2=9O 則橢圓離心率取值范圍是_ .2.設(shè) Fi、F2是橢圓=1（ a b0）左右焦點(diǎn)，P 是直線 x二詈a 上一點(diǎn)， F2PF 是底角為 30等腰三角形，則橢圓 E離心 率為（）A.円 B. Z C.色D. 42345223.已知點(diǎn) R、F2 是雙曲線 C:2 a-歹=1 (a0, b0)左、右焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線 C右支上

3、，且滿足|FiF2|=2|OP| ,|PFi| 3|PF2|，則雙曲線 C離心率取值范圍為（）三、焦點(diǎn)三角形2 21、已知橢圓二+二=1 左，右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,點(diǎn) P 是橢圓上一點(diǎn), d n且/ RPF2=60.求 PFF2周長(zhǎng) 2.已知點(diǎn)(0,-書)是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 x 軸上橢圓一個(gè)頂 點(diǎn)，離心率為山，橢圓左右焦點(diǎn)分別為 Fi和 F2.A.(1,+x)C. (1, J D. (1,丄求 PFF2面積.PFpgFpg6(1) 求橢圓方程；(2) 點(diǎn) M 在橢圓上，求 MFF2面積最大值；(3) 試探究橢圓上是否存在一點(diǎn) P,使一？=0,若存在，請(qǐng)求出 點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

4、由.四、弦長(zhǎng)問(wèn)題1、已知橢圓 4x2+y2=1 及直線 y=x+m(1) 當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m取值范圍.(2) 求被橢圓截得最長(zhǎng)弦長(zhǎng)度.2 22、 設(shè) Fi, F2分別是橢圓氐 耳+牛左、右焦點(diǎn)，過(guò) Fi斜a2b2率為 1直線？與 E 相交于 A, B 兩點(diǎn)，且|AF2| , |AB| , |BF2|成等差 數(shù)列.(1) 求 E離心率；(2) 設(shè)點(diǎn) P (0,- 1)滿足|PA|=|PB|，求 E方程.五、中點(diǎn)弦問(wèn)題1、已知橢圓=1弦 AB中點(diǎn) M6坐標(biāo)為(2, 1),求直線AB方程，并求 AB長(zhǎng).FpgFpg六、定值、定點(diǎn)問(wèn)題1、已知橢圓C:9x2+y2二m (0),直線 I

5、不過(guò)原點(diǎn) 0 且不平行于坐標(biāo)軸，I 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A, B,線段 AB中點(diǎn)為 M(1) 證明：直線 0MO斜率與 I斜率乘積為定值；(2) 若 I 過(guò)點(diǎn)(衛(wèi)，m),延長(zhǎng)線段 0M 與 C 交于點(diǎn) P,四邊形 OAPB 能3否為平行四邊形？若能，求此時(shí) I斜率；若不能，說(shuō)明理由.七、對(duì)稱問(wèn)題I221.已知橢圓方程為 匚豐匚二 1，試確定 m范圍，使得橢圓上有不同43兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=4x+m 對(duì)稱.FpgFpg高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納參考答案與試題解析一. 選擇題（共 3 小題）2 21. （2016 春?馬山縣期末）已知橢圓，+=1 上一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)25 16焦點(diǎn)距離為 3,則點(diǎn) P

6、到另一個(gè)焦點(diǎn)距離為（）A. 2 B. 3 C. 5 D. 7【分析】先根據(jù)條件求出 a=5;再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離 d等式即可得到結(jié)論.【解答】解：設(shè)所求距離為 d,由題得：a=5.根據(jù)橢圓定義得：2a=3+d? d=2a- 3=7.故選 D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓定義.在解決涉及到圓錐曲線上點(diǎn)與焦點(diǎn)之間關(guān)系問(wèn)題中，圓錐曲線定義往往是解題突破口.2. （2015 秋?友誼縣校級(jí)期末）設(shè) Fi、F2是橢圓 E:篤 =1 （ab 0）左右焦點(diǎn)，P 是直線 x-a 上一點(diǎn)， F2PF 是底角為 30等腰三角形，則橢圓 E離心率為（D.【分析】利用 F2PF 是底角為 30等腰三角形,可得

7、|PF2|=|F2F1I ,FpgFpg根據(jù) P 為直線 x=_a 上一點(diǎn)，可建立方程，由此可求橢圓離心率.3【解答】解：HPF 是底角為 30等腰三角形， |PF2|=|F2F1ITP 為直線 x=_a 上一點(diǎn)3 2 （丄 a - c） =2c3_2a 3【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定幾何量之間 關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題. 0）左、右焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線 C 右支上，且滿足|FiF2|=2|OP| , |PFi| 3|PF2|，則雙曲線 C 離心率取值范圍3. （2016?衡水模擬）已知點(diǎn) Fi、F2是雙曲線C:b3=1 (a0, b為( )A.(1,+x)C (1,

8、 J D. (1,丄FpgFpg【分析】由直角三角形判定定理可得厶 PFF2為直角三角形，且 PFFpgFpg丄 PF2,運(yùn)用雙曲線定義，可得|PFi| - |PF2|=2a ,又 lPF1l 3|PF21，可得 lPF2l 討再由勾股定理，即可得到cJa, 運(yùn)用離心率公式，即可得到所求范圍.【解答】解：由|FiF2|=2|OP|，可得|OP|=c ,即有 PFF2為直角三角形，且 PF 丄 PE,可得|PFI|2+|PF2|2=|FIF2|2,由雙曲線定義可得|PFi| - |PF2|=2a ,又|PFi| 3|PF2|，可得 |PF2| a,即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2

9、,化為（|PF2|+a ）2=2c2- a2,即有 2c2- a2 4a2,可得 a,由 e 二可得a1vew-,2故選：c.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線離心率范圍，注意運(yùn)用雙曲線定義和 直角三角形性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.二. 填空題（共 3 小題）4.已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 祜七 O0），并且焦距為 6,則實(shí)數(shù) m值為 4 或：.FpgFpg【分析】由題設(shè)條件，分橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上和橢圓焦點(diǎn)在 y 軸上兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合橢圓中a2-b2=c2進(jìn)行求解.22【解答】解：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,厲ID2橢圓焦距為 2c=6, c=3,當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，25 - m=9,解得 m=4當(dāng)橢圓焦點(diǎn)

10、在 y 軸上時(shí)，m-25=9,解得 m=：.綜上所述，m取值是 4 或.；.故答案為：4 或【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答，注意分類討論思想合理運(yùn)用.2 25. （2016?章州一模）設(shè) Fi, F2分別是橢圓二+ =1左，右焦點(diǎn)，P25 16為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn) M坐標(biāo)為（6, 4）,則|PM|+|PFi|最大值為15.【分析】由橢圓定義可得，|PM|+|PFi|=2a+|PM| -|PF2| 2a+|MH| , 由此可得結(jié)論.【解答】解：由題意 F2（3, 0）, |MF2|=5 ,由橢圓定義可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM| - |PF2|=10

11、+|PM| - |PF2| b,兩邊平方，得 c2 b2即 c2 a2 c2? 2c2 a2兩邊都除以 a2，得 2e2 1, e.，結(jié)合 Ovev1, : b0）因?yàn)辄c(diǎn)（4, 3 逅），在橢圓上，又 c=2,得*以 ,- b2=4解得 a=6, b=4（10 分）故所求橢圓方程是痊+畧=1；Ju OZ（2）設(shè)橢圓方程為 mX+ny2=1，則FpgFpgT經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2,-近）,（7 爭(zhēng),ir4nH-2n=l二*E，V，門專，2 2二橢圓方程為一=1 8q【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.（2012 秋?西安期末）求滿足下列條件橢圓方程：（1） 長(zhǎng)軸在 x 軸上，

12、長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 12,離心率等于 1；（2） 橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-6, 0）和（0, 8）;（3） 橢圓一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)距離分別為 10 和 4.【分析】（1）設(shè)橢圓方程為弓+=1 （ab0）,運(yùn)用離心率公式和a, b, c關(guān)系，解得 a, b,即可得到橢圓方程；（2） 設(shè)橢圓方程為 mX+ ny2=1, （m n0）,由題意代入點(diǎn)（-6, 0）和（0 , 8），解方程即可得到橢圓方程；（3） 討論橢圓焦點(diǎn)位置，由題意可得 a-c=4, a+c=10，解方程可得 a, c,再由 a, b, c關(guān)系解得 b,即可得到橢圓方程.由題意可得，2a=12, e=-,【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為一+=1 (

13、a b 0),即有 a=6 ,即有 c=4 ,FpgFpgb 二.-，上二二=2 !,FpgFpg即有橢圓方程為二+=1；(2) 設(shè)橢圓方程為 mX+ny2=1, (m n 0),由題意代入點(diǎn)(-6, 0)和(0, 8),可得36m+0=1 且 0+64n=1,解得 m 丄，n=，I 2|2即有橢圓方程為二+； =1；64 36(3) 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，可設(shè)橢圓方程為+=1 (ab0),由題意可得 a c=4, a+c=10,解得 a=7, c=3,b= J *2，即有橢圓方程為：.+1=1；2 I 2同理，當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，可得橢圓方程為+ =1.49 40即有橢圓方程為一+ =1

14、或+：. =1 .49 4049 40【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程求法， 注意運(yùn)用橢圓方程正確設(shè)法，以及橢圓性質(zhì)運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.2 211. (2010?寧夏)設(shè) F1, F2分別是橢圓氐 尋+牛左、右 焦點(diǎn)，過(guò) F1斜率為1直線？與 E 相交于 A, B 兩點(diǎn)，且|AF2| , |AB| , |BF2|成等差數(shù)列.FpgFpg(1) 求 E離心率；(2) 設(shè)點(diǎn) P (0,- 1)滿足|PA|=|PB|，求 E方程.【分析】(I )根據(jù)橢圓定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進(jìn)而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進(jìn)而可知直線 I方程，

15、 設(shè) A (xi,yi), B(X2, y2),代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去 y，根據(jù)2韋達(dá)定理表示出 X1+X2和 X1X2進(jìn)而根據(jù)ab,求得 a 和 b關(guān)系， 進(jìn)而求得a 和 c關(guān)系，離心率可得.(II )設(shè) AB中點(diǎn)為 N(xo, yo),根據(jù)(1)則可分別表示出 xo和 yo, 根據(jù)|PA|=|PB| ,推知直線 PN斜率，根據(jù)=-1 求得 c ,進(jìn)而求 得 a 和 b，橢圓方程可得.【解答】解：(I)由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ,又2|AB|=|AF2|+|BF2| ,得|二寺 s 丨方程為 y=x+c,其中 u 二-護(hù)設(shè) A (xi, yi) , B (X2

16、, y2),則 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組丿/護(hù)+rr=1“ b化簡(jiǎn)6(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=022 /2 _ , 2vrvt.r ,cab J丿則勺+噸二 m，“買2za +b江十b因?yàn)橹本€ AB 斜率為 1 , |AB|=西|X1-X2|=M“& +Y)?_4HK2，2得尋甘鼻,故 a2=2b23a2-hbFpgFpg所以 E離心率(II )設(shè) AB中點(diǎn)為 N(xo, yo),由(I )知 xn=u 2尹十 L3VQ=x oc=y 由 |PA|=|PB|，得 kPN= 1,即込-iso得 c=3,從而 3F3/2，232 2故橢圓 E 方程為二1.189

17、【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線中橢圓性質(zhì)以及直線與橢圓位置關(guān)系，涉及等差數(shù)列知識(shí)，考查利用方程思想解決幾何問(wèn)題能力及運(yùn)算能力12.(2014春?廣水市校級(jí)月考)已知橢圓=1 弦 AB中點(diǎn)M坐標(biāo)為(2, 1),求直線 AB方程，并求 AB長(zhǎng).【分析】首先，根據(jù)橢圓對(duì)稱軸，得到該直線斜率存在，設(shè)其方 程為y-仁 k (x - 2),然后聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù) 關(guān)系，并且借助于中點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定斜率 k 值，然后，利用兩 點(diǎn)間距離公式或弦長(zhǎng)公式，求解 AB長(zhǎng).【解答】解：當(dāng)直線 AB斜率不存在時(shí)，不成立，故直線 AB斜率存在，設(shè)其方程為 y - 1=k (x - 2),FpgFpgr2

18、2話+才=1 ，消去 y 并整理，得y=k(K- 2)+1(1+4k2) x2+8k (1 - 2k) x+4 (1 - 2k)2- 16=0,Xi + Kn=22 2k (2k- 1) =1+4k,k=-直線 AB方程：x+2y- 4=0.將 k=-丄代人(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-3 4 5 6=0,得 x2- 4x=0,解得 x=0, x=4, A (0,尋),B (4,-丄)， 飼|=(嚴(yán)(_*誇)二還. AB長(zhǎng) 2 n.【點(diǎn)評(píng)】本題屬于中檔題，重點(diǎn)考查了橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，屬于高考3(2015?新課標(biāo)H)

19、已知橢圓C:9x2+y2=mn(0),直線 I 不過(guò)原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸，l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A, B,線段 AB中點(diǎn)為M(1)證明：直線 OM斜率與 I 斜率乘積為定值；聯(lián)立方程組二Xi+X2=-Sk(l - 2k)l+4kzFpgFpg熱點(diǎn)和重點(diǎn)問(wèn)題.(2)若 I 過(guò)點(diǎn)(衛(wèi)，m)延長(zhǎng)線段 0M 與 C 交于點(diǎn) P,四邊形 OAPB 能否為平行四邊形？若能，求此時(shí) I斜率；若不能，說(shuō)明理由.【分析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出對(duì)應(yīng)直線斜率即可得 到結(jié)論.(2)四邊形 OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB與線段 0P互相平分， 即XP=2XM,建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.【解答

20、】解：(1)設(shè)直線 I : y=kx+b, (k 工 0, bz0), A (xi, yi), B(X2,y2),M(XM,yiM),將 y=kx+b 代入 9x2+y2=m (m0),得(k2+9) x2+2kbx+b2- m=0, 則判別式厶=4k2b2 4 (k2+9) (b2- mi) 0 ,貝Hxi+X2= _ 2巴,貝yXM=_% , yMFkxM+b=；, 于是直線 OMTO斜率 kf二-一,k即 koM?k= - 9 ,直線 OMTO斜率與 I斜率乘積為定值.(2)四邊形 OAPB 能為平行四邊形.直線 i 過(guò)點(diǎn)(二，m,二由判別式厶=4k2b2- 4 (k2+9) (b2-

21、m)0 ,即 k2m 9b2 9ni,/. k2n 9 （n亠 n）2- 9ni, 即 k2 k2- 6k ,FpgFpg則 k0, I 不過(guò)原點(diǎn)且與 C 有兩個(gè)交點(diǎn)充要條件是 k0, kz3, 由（1）知 OMO方程為 y 二-亠 x,k設(shè) P橫坐標(biāo)為 XP,即XP=I 一丄,將點(diǎn)（丄，m）坐標(biāo)代入 I方程得 b；八mt3 - k）將 y= _x，代入 y=kx+,k3得 kx+11:：,_1四邊形 OAPB 為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB 與線段 0P 互相平分，即XP=2XM,解得 ki=4- . 7 或 k2=4+._,Tki0, ki工 3, i=1 , 2,當(dāng) I斜率為 4- 或

22、4+時(shí)，四邊形 OAPB 能為平行四邊形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓錐曲線相交問(wèn)題， 聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化 為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間關(guān)系是解決本題關(guān)鍵. 綜合 性較強(qiáng)，難度較大.|3，即 I方程為 y=kx+:3解得X4；：,于是km=2Xk一3)mFpgFpg14. (2013 秋?阜城縣校級(jí)月考)已知橢圓 4x2+y2=1 及直線 y=x+m(1) 當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m取值范圍.(2) 求被橢圓截得最長(zhǎng)弦長(zhǎng)度.【分析】(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線方程與橢圓方程構(gòu)成 方程組有解，等價(jià)于消掉 y 后得到 x二次方程有解，故 0,解 出即可；(2)設(shè)所截弦兩端點(diǎn)為 A (X1,y), B (X2, y2),由(1)及韋達(dá)定理可把弦長(zhǎng)|AB|表示為關(guān)于函數(shù)，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式易求弦長(zhǎng)最 大值；22【解答】解：(1)由,X 二 1 得：5x2+2mx+iT仁 0,當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)， =4ni- 4X 5 (va1)0,即-4m+50,所 以 弦 長(zhǎng) |AB|=一】 |x1X2|=：？：，十 -=2當(dāng) m=0 時(shí)|AB|最大，最大值為：工.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想,