指數(shù)分布應(yīng)用

1、指數(shù)分布相關(guān)問(wèn)題一.在概率論中有一種分布是指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)= e(- ) x>0(0 x<=0 )這種分布具有無(wú)記憶性，和壽命分布類(lèi)似。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)就是，一個(gè)人已經(jīng)活了20 歲和他還能再活20 歲這兩件事是沒(méi)有關(guān)系的。因此指數(shù)分布也被戲稱(chēng)為“永遠(yuǎn)年輕 ”。另外正態(tài)分布也用到了指數(shù)函數(shù)，只不過(guò)表達(dá)式比較復(fù)雜，這在高中數(shù)學(xué)中也有涉及到。二.在復(fù)變函數(shù)中，也經(jīng)常用到指數(shù)形式表示一個(gè)負(fù)數(shù)。比如說(shuō)1+i= 根號(hào) 2*e( i/4)這是根據(jù)著名的歐拉公式得到的：cosa+isina=e(ai),當(dāng)然復(fù)指數(shù)與實(shí)數(shù)圍的指數(shù)有很多不同的地方，在復(fù)變函數(shù)中還會(huì)學(xué)深入的學(xué)到。復(fù)指數(shù)在信

2、號(hào)的頻譜分析中還有很重要的應(yīng)用，要研究一個(gè)周期信號(hào)的還有那些頻率分量就要把它展開(kāi)成若干個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，這個(gè)過(guò)程叫傅里葉分解，是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家傅里葉（ Fourier ）發(fā)現(xiàn)的。學(xué)習(xí)電信類(lèi)的相關(guān)專(zhuān)業(yè)會(huì)對(duì)信號(hào)的分析有一個(gè)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。冪函數(shù)最重要的應(yīng)用就是級(jí)數(shù)。 不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)， 就是把一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列求和的形式，只不過(guò)每項(xiàng)都是關(guān)于 x 的冪函數(shù)，利用這個(gè)冪級(jí)數(shù)， 可以把任意一個(gè)函數(shù)表示成多項(xiàng)式，方便近似計(jì)算。另外，剛才提到的傅里葉分解也就是把一個(gè)周期函數(shù)（信號(hào)）展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。如果函數(shù)是非周期的（即周期無(wú)限大）這個(gè)過(guò)程就叫做傅里葉變換。指數(shù)分布的應(yīng)用:一 . 許多電子產(chǎn)品的

3、壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來(lái)近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況，產(chǎn)品的失效是偶然失效時(shí)，其壽命服從指數(shù)分布。指數(shù)分布可以看作當(dāng)威布爾分布中的形狀系數(shù)等于1 的特殊分布，指數(shù)分布的失效率是與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以分布函數(shù)簡(jiǎn)單。二 . 在電子元器件的可靠性研究中，指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗(yàn)方案都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還用來(lái)描述大型復(fù)雜系統(tǒng)（如計(jì)算機(jī)）的故障間隔時(shí)間的失效分布。但是，由于指數(shù)分布具有缺乏 “記憶 ”的特性因而限制了它在機(jī)械可靠性研究中的應(yīng)用，所謂缺

4、乏 “記憶 ”，是指某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過(guò)一段時(shí)間 t0 的工作后 ,仍然如同新的產(chǎn)品一樣 ,不影響以后的工作壽命值， 或者說(shuō)， 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間 t0 的工作之后，該產(chǎn)品的壽命分布與原來(lái)還未工作時(shí)的壽命分布相同，顯然，指數(shù)分布的這種特性，與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過(guò)程的實(shí)際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過(guò)程。所以，指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式。指數(shù)分布雖然不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布規(guī)律，但是，它可以近似地作為高可靠性的復(fù)雜部件、機(jī)器或系統(tǒng)的失效分布模型，特別是在部件或機(jī)器的整機(jī)試驗(yàn)中得到廣泛的應(yīng)用。三 . 排隊(duì)論，也稱(chēng)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。排隊(duì)是在日常生

5、活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，在醫(yī)院中，目前要求服務(wù)的數(shù)量通常都超過(guò)服務(wù)機(jī)構(gòu)的容量。對(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行定量分析，綜合平衡患者與服機(jī)構(gòu)的設(shè)置，以期提高服務(wù)質(zhì)量。一、資料來(lái)源與方法( 一 ) 根據(jù)我院超聲科的調(diào)查，應(yīng)用排隊(duì)論的理論和方法評(píng)價(jià)與優(yōu)化該服務(wù)系統(tǒng)。超聲科有 3 臺(tái) B 超儀，機(jī)構(gòu)形式是單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的情形，服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)的，服務(wù)時(shí)間的分布假定平穩(wěn)，即分布的參數(shù)不受時(shí)間的影響。調(diào)查容是單位時(shí)間到達(dá)的患者數(shù)與服務(wù)時(shí)間。( 二 ) 單位時(shí)間到達(dá)的患者數(shù)：每10 分鐘為一個(gè)調(diào)查單位，隨機(jī)調(diào)查72 個(gè)調(diào)查單位，記錄每個(gè)調(diào)查單位到達(dá)的患者數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表1：表 1單位調(diào)查時(shí)間的患者人數(shù)及頻度患者數(shù) (i)出現(xiàn)的頻數(shù) (

6、f i )024133210344150合計(jì)72( 三 ) 服務(wù)時(shí)間：從為患者開(kāi)始做B 超檢查 ( 包括準(zhǔn)備工作 ) 時(shí)記起，到患者做完檢查離去為止，隨機(jī)調(diào)查113 個(gè)患者的服務(wù)時(shí)間。不同服務(wù)時(shí)間的出現(xiàn)頻( 次) 數(shù)見(jiàn)表2：表 2為每位患者服務(wù)時(shí)間歸類(lèi)出現(xiàn)頻 ( 次 ) 數(shù)服務(wù)時(shí)間 ( 分)出現(xiàn)頻數(shù) (f i )0551536301745460175 以上0合計(jì)113二、擬合檢驗(yàn)2系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷，采用擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)，判定給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合那種分布模型。單位時(shí)間患者平均到達(dá)計(jì)算概率計(jì)算理論頻數(shù)求 2 值 表 3單位時(shí)間到達(dá)的患者數(shù)服從possion分布的 2 擬合檢驗(yàn)患者數(shù)實(shí)際頻數(shù)理論頻數(shù)概率(

7、i)(f i )(P i)02427.610.383513.06300.473113326.460.367642.72351.614421012.680.17617.18510.5666344.050.05630.00260.0006410.970.01350.00090.0009合計(jì)72 =0.0958 人 / 分 2=2.6556取 =0.05 ， v=5-2=3時(shí)，查界值表222， P 0.05 。該單位時(shí)間的0.05， 3=7.81 ， 0.05 ， 3患者到達(dá)人數(shù)服從參數(shù)為0.0958 的 possion分布。( 二 ) 服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的擬合檢驗(yàn)見(jiàn)表4：每次檢查平均服務(wù)時(shí)間式

8、中 xi 為組中值計(jì)算概率：計(jì)算理論頻數(shù)求 2 值 表 4 服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的2 擬合檢驗(yàn)服務(wù)時(shí)間實(shí)際頻數(shù)理論頻數(shù)概率( 分)(fi )(P i )05561.440.543841.52710.6759153628.030.248163.46232.2638301712.290.113217.72191.385645 7558.500.075212.23561.4398合計(jì)113=0.0523 人 / 分 2=5.7650取 =0.05 ，v=4-2=2時(shí)，查界值表2=5.99，22，P0.05 。服務(wù)時(shí)間 =0.05230.05，20.05 ，2的負(fù)指數(shù)分布。三、求解與結(jié)果由以上擬合優(yōu)

9、度的2 檢驗(yàn)知，該系統(tǒng)符合排隊(duì)論中的M/M/C/ / /FCFS 型情形的排隊(duì)模型，應(yīng)用其計(jì)算公式得各項(xiàng)指標(biāo)：=0.0958 ； =0.0523 ； C=3。服務(wù)強(qiáng)度：空閑概率：等待檢查的平均患者人數(shù)：系統(tǒng)中平均逗留患者數(shù)：患者平均等待時(shí)間：患者平均逗留時(shí)間：患者到達(dá)后必須等待的概率，也稱(chēng)超員率系統(tǒng)滿員率：( 即系統(tǒng)中患者數(shù)已有時(shí) ) ：3 人，各服務(wù)臺(tái)沒(méi)有空閑四、結(jié)論與系統(tǒng)最優(yōu)化( 一 ) 根據(jù)以上結(jié)果知，該服務(wù)機(jī)構(gòu)平均利用率61%，空閑概率 14%，滿員率14%，說(shuō)明儀器的充分利用與2、 4、5 臺(tái) B 超儀的情形 ( 見(jiàn)表 5) 相比最好的，患者平均等待時(shí)間6 分鐘，在 B超室平均逗留2

10、5 分鐘，有 50%以上患者到達(dá)后需等待，系統(tǒng)較為忙碌，難以保證服務(wù)質(zhì)量，特別是系統(tǒng)發(fā)生意外( 如某臺(tái)設(shè)備故障 ) 時(shí)，需長(zhǎng)時(shí)間排隊(duì)( 見(jiàn)表 5) 。將設(shè)備增加至5 臺(tái)，各項(xiàng)指標(biāo)雖有明顯改善，但設(shè)備利用率僅36.6%，顯然造成一定浪費(fèi)。綜上所述，4 臺(tái) B 超儀是該系統(tǒng)的最優(yōu)選擇。表 5 不同服務(wù)臺(tái)數(shù)下各臺(tái)的運(yùn)行值臺(tái)服務(wù)空閑等待逗留等待逗留滿員率強(qiáng)度概率人數(shù)人數(shù)時(shí)間時(shí)間數(shù)P(n=C)P0LqLsWqWs20.91590.04399.532711.364099.5060118.6300.073730.61060.14010.57762.40946.029725.1500.143540.45790

11、.15630.11421.94601.192520.3130.073350.36630.15940.02501.85670.260919.3810.0274一、旬天氣情況氣溫：八月中旬平均氣溫市南北山區(qū)及南丹、金秀等地24.4 26.5 ，賀州、貴港三市全部，、兩市大部、兩市局部及防港、等地28.6 31.0 ，我區(qū)其余地區(qū)為26.6 28.5 ；與常年同期相比，崇左、兩市局部及等地正常到偏低0.5 ，其余大部地區(qū)偏高0.1 3.4 ，其部、兩市局部及象州等地偏高2.0 以上。旬極端最高氣溫全區(qū)30.0 37.2 ，大部地區(qū)出現(xiàn)在11 日、 15 日或 19 日，局部出現(xiàn)在13 14 日或 1

12、6 日。降雨：八月中旬降雨量、崇左四市大部，、賀州、五市局部及永福、來(lái)賓、貴港等地為50 202.4 毫米，其中、合浦、東興、防城、貴港、等站旬降雨量超過(guò)100毫米，我區(qū)其余地區(qū)0.1 49.9 毫米；與常年同期相比，崇左、三市局部及永福、來(lái)賓、鐘山、貴港、等地正常到偏多6 成，其中鐘山、貴港兩地旬降雨量偏多6 成以上，我區(qū)其余地區(qū)偏少1 10 成。旬降雨日數(shù)我區(qū)桂東北大部地區(qū)為3 4 天，其余大部地區(qū)為68 天；與常年同期相比，大部地區(qū)正常到偏少2 天。日照：八月中旬日照時(shí)數(shù)全區(qū)37 105 小時(shí)，與常年同期相比，全區(qū)大部偏多2 3成。二、監(jiān)測(cè)結(jié)論根據(jù) 2010 年 8 月中旬的MODIS 衛(wèi)星數(shù)據(jù)制作本旬歸一化植被指數(shù)（NDVI ）遙感監(jiān)測(cè)圖像（見(jiàn)圖 1）。本旬歸一化植被指數(shù)值主要分布在33 68（放大 100 倍，以下同） 圍，空間分布特征：NDVI 值在 45 56 之間的區(qū)域占全區(qū)面積最大，其次為33 44 之間的區(qū)域。在各類(lèi)地物中，林區(qū)NDVI 值最高，一般大于57，裸地和城鎮(zhèn)用地的NDVI 值較低，一般在 33 以下。受云影響， 甘蔗產(chǎn)區(qū)的植被指數(shù)無(wú)法監(jiān)測(cè)。本旬我區(qū)各市歸一化植被指數(shù)（ NDVI ）分段統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1 。表 12010 年 8 月中旬廣西各市歸一化植被指數(shù)（ND