數(shù)值分析期末考試復(fù)習(xí)題及其答案

1、數(shù)值分析期末考試復(fù)習(xí)題及其答案1.已知X； =325413,x； =0.325413都有6位有效數(shù)字，求絕對誤差限。（4 分）解：由已知可知,n=61X；* =0.325413“06,k =6,k n =0,絕對誤差限呂；=©"0° =0.5； 分1X； =0.325413 10°,k=0,k-n =-6,絕對誤差限；102分21 0 02.已知A =024求1A1,A-0-2 4:,A2（6分）解:Amax：1,4,8f = 8,A -一=max16,6 ；=6.A 2 =寸'-max（A A ）10衛(wèi)-24002-201 -1440【

2、6;0 1032maxS A）max 1,8,32 .；= 32分分分分分精選資料，歡迎下載A c = 32 =42解：Newt on迭代格式為:Xk 1 = xkf（Xk）f'（Xk）=Xk（X： - a）36Xk（x： - a）25x a66xk3.設(shè) f （x）二（x2 - a）3（6 分）寫出f（x）=0 解的Newton迭代格式當(dāng) a 為何值時，xk j - （xk） （k=0,1 -）產(chǎn)生的序列 % f收斂于 2'（x）6x2,當(dāng)半'(J2°蟲| J,即一 2 * a *22時迭代收斂12 |4.給定線性方程組Ax=b ,其中：A = 3 J用迭代

3、公式x（k+）= x（k） +a（b - Ax（k） （ k=°,1 ）求解Ax=b，問取什么實數(shù)a，可使迭代收斂（8分）解：一13a 2a 1所給迭代公式的迭代矩陣為B=l-aA=|2分-a 1 - 2a.丸一（1 -3t）2a其特征方程為XI - B =1 丿=02分a扎 _（1 _2。）即，解得，r = 1 -，2 = 1 _ 42分12-25.設(shè)方程Ax=b，其中A =111M21 一斂性，并建立Gauss-Seidel迭代格式解：A 二 L D U51b= 6試討論解此方程的 Jacobi迭代法的收（9分）要使其滿足題意，須使：?（B） : 1，當(dāng)且僅當(dāng)° ：:

4、: ：: 0.52分0-22 1Bj=-D 址 +U)=_ 10-13分-2-20 _陽-Bjn 3c T=扎=0,妬=九2=Z3 =02分即(Bj) =0 ：1,由此可知Jacobi迭代收斂1Gauss-Seidel 迭代格式：xT =5-2x2"+2x3“儀宀=6-x1宀-x3k)(k=°,1,2,3 )3x3宀=7-2x1宀-2x)k+)AXi = bi (i=1,2,3 )其中6.用Doolittle 分解計算下列3個線性代數(shù)方程組:112P解：b2 =論，b3 二 x2（12 分）Ax1=b|221【2Xi】2A=0200Ly=b1,Ux1=y, Ax2 = b2

5、22們1 =LU21 1 0y=7得y=31 1 11 i9i20即11_201【2x2=3得x1 =1i i1411 x1 =由 Ly=b2=x1 ,由Ux2=y，即200 Ax3 二 b3_221【2x3=1 1 0y=1得y=0J 1 1 一i i1_i i0 一101 _11110即11一0.5x2=00_i得 x2= 00 一0.51010 0050.51 1 0y=0得y=-0.51 1一1 i0i i0由 Ly=b3=x2，即7.已知函數(shù)y=f(x)有關(guān)數(shù)據(jù)如下:ziT01-101« J yi匚o2 1 10.5 10.375 1由Ux3=y，即0 2 1x3=-0.5

6、得x3=-0.250 0 2 一i i0 一ii0 一要求一次數(shù)不超過 3的H插值多項式，使H3(Xi) = yi, H3(xi) = y1(6分)ixif (xi)0r -i-11r 20r i100021_ 1F iF 1 2 |作重點的差分表，如下:解:分-X°)(X - Xi)2分H3(x) = f XofXo,Xi(X Xo)fXo,Xi,Xi(X Xo)(X -Xi)f X°, Xi,Xi,X2】(X=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)c3丄2(7 分)=2x x3N3(x) = f° (xx。)f (x-X0)(x-Xi) ,2f0

7、1!h22!h2(x-x°)(x-xi)(x-x2).3f3!h3xi0i23f&i)r ar §r ioL 25 J8.有如下函數(shù)表:試計算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項式解：由已知條件可作差分表,sif(xi)0r o41r i9r 52r 216r 723325g匚20xi = x0ih二i ( i=0,1,2,3 )為等距插值節(jié)點，則Newton向前插值公式為:留小數(shù)點后三位)(8 分)Xf(x)=4/(l+x"2)6 0004. 0000.1253. 9380. 2503. 7650. 3753. S070. 50

8、03. 2000. 6252. 8760. 7502. 5600. 8752. 2651.0002. 000=4+5x+x(x-1)x2 4x 49.求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多項式P2(x)，并求出平方誤差解：2令 P2 (x) = a0a/ a2x2(8 分)分取 m=1, n=x, k= x2,計算得：(m,m)=1Jdx =0(m, n)=1xdx=1(m,k)=1 2x2dx=0j(n,k)=1x3dx =0.5 (k,k)=二x4dx =0(m,y)= A1xdx=1-1(n ,y)=1x2-二dx=0(k,y)=x3dx =0.53得方程組：a1a00.5a2

9、= 00.5a0.53解之得ac,a1,a-2c (c為任意實數(shù)，且不為零)2即二次最佳平方逼近多項式 P2(x) =c x 2cx122222平方誤差：卜2二 f -p2 2二 f 2 a(Jy)二彳2i =0310.已知如下數(shù)據(jù)：用復(fù)合梯形公式,復(fù)合Simpson公式計算二dx的近似值(保解：用復(fù)合梯形公式:11131537T8 =f(o)2fq)七) f$)飛)fq f(gf(。=3.1394分用復(fù)合Simpson公式：S4 =£f(0) 4f(8)f(|) f(8) f(8) 2f(1) f(£) f£) f(1) =3.1424分J111計算積分I2si

10、nxdx，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過一10,，問區(qū)間、020,要分為多少等分？若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間0,；應(yīng)分為多少等分？( 10分)解： 由 Simpson 公式余項及 f(x)二s in x,f(4)(x)=s inx 得2 兀4I I 兀 兀4 1 4 1_5Rn&蓋硏maxf (x)卜贏a (n)虧10 即 n4 _665, n _ 5.08，取 n=6即區(qū)間0-分為12等分可使誤差不超過1 10*1對梯形公式同樣maxf''(x)蘭1，由余項公式得0或証2Rn(f)蘭即 n _ 254.2,取n =255即區(qū)間。，寸分為510等分

11、可使誤差不超過舟10-12.用改進(jìn)Euler格式求解初值問題:v - v 囂 v sin x = 0要求取步長h為0.1，計算yV（1）二 1（1.1 ）的近似值（保留小數(shù)點后三位）提示：sin 1=0.84,sin1.1=0.89（ 6分）解：改進(jìn)Euler格式為：yn+ = yn +hf (Xn, yn)h-丫計=yn 十? f (Xn, yn) + f (XH, yn + )于是有(n=0,1,2 )2 分yn 1 = yn -0.1(yny； sinXn)2 2= yn _0.05(yn +yn s in Xn +yn 卅+yn 卑 Sin Xn*)由y（1）= V0=1，計算得=1 0.1(1 +12si n1) =0.816 y(1.1)= 0.838即y(1.1)的近似值為0.83813.設(shè) f (x) C a,b, x0 (a, b),定義：fx0,x0 lim fx,x0,證明：fx0,x0 = f x0XSX°(4分)證明：f'x° = limfx -fX°x - X。故可證出 fX0,X。 = f'x。14.證明：設(shè)AE 護(hù),| |