專題6：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1、專題6：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之 后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多 解題新途徑，拓寬了高考對函數(shù)問題的命題空間. 所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事 情，對函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次 函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對 研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單 調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性等，而是把高次 多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對數(shù)型函數(shù)， 以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題 的對象，試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式, 方程等知識于一體，通過演繹證明，運(yùn)算推理等 理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方 程的根，

2、參數(shù)的范圍等問題，這類題難度并不大, 但綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考 命題的豐富寶藏.導(dǎo)數(shù)綜合試題，主要有以下幾方面的內(nèi)容：1. 函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式綜合在一起，解決單調(diào)性，參數(shù)的范圍等問題，這類問題涉及到含參 數(shù)的不等式，不等式的恒成立，能成立，恰成立的 求解；2. 函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式綜合在一起，解決極值，最值等問題，這類問題涉及到求極值和 極值點(diǎn)，求最值，有時需要借助于方程的理論解決 問題；3. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，解決與切線方程有關(guān)的問題；4. 通過構(gòu)造函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具，證明不等式.5. 導(dǎo)數(shù)與其他方面的知識的綜合1函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式綜合在一起,解決單調(diào)性，

3、參數(shù)的范圍等問題，這類問題涉及 到含參數(shù)的不等式，不等式的恒成立，能成立，恰 成立的求解;【例1 (2005年高考全國卷II 理22)已知 a > 0,函數(shù)/Q)二(x2 - 2ax)ex.(I)當(dāng)X為何值時，于(0取得最小值?證明你的結(jié)論;(II)設(shè)加在-L 1±是單調(diào)函數(shù)，求耳的取值范圍【分析及解】(D對函數(shù)介)求導(dǎo)數(shù)，得fx) = (x2- 2ax)ex + (2x - 2a)ex = x2 + 2(1 - a)x 一 2d八/ r(x) = 0 ,+2(-a)x-2aes = 0 ,從而疋+2(1-加-2“ = 0,解A = °-1 - J1+/ , x2 =

4、 a- + J1 + / 9 其中召 < X?當(dāng)兀變化時，的變化情況如下表:7 XI ooz#(J/92 XJ/4-009 a/+O-o+/(極大值E極小值增當(dāng)“在r處取到極大值，在X處取到極小LEL o當(dāng)心0時,Xj<-1, x2>0f /(x)在(召宀)上為減函數(shù), 在也,七)上為增函數(shù)，而當(dāng)XVO時， f (x) = x(x-2a)ex > 0 ； 當(dāng)*0時， /Cv) = O. 所以當(dāng)X = d - 1 + J1 + /時9 /(X)取得最小值。(II)當(dāng)心0時，/在上為單調(diào)函數(shù)的充 要條件是丫2 hl，即 a- + j + a2 > 1 f 解得

5、6;»汽4綜上，)在十上為單調(diào)函數(shù)的充要條件3(I > O4即。的取值范圍是”十解法由(I)知，當(dāng)dO時9 Xi<-lf x2>0f f(x) 在Z)上為減函數(shù)，因此，要使/(X)在1, 1上是 單調(diào)函數(shù)，只能使M)在1,1上是單調(diào)減函數(shù),即廣(x)<0在1, 1上恒成立，亦即 fix) = / + 2(1 一 a)x - 2aex v 0 在一 1, 1上恒成立設(shè)的= x2+2(l-n)x-2n則又等價于 g(x) = x1+2(l-a)x-2a<0 在1 , 1上恒成立，從而等價于“）如為此解舊二:鑒解得 服的取值范圍是2. 函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程，不等式

6、綜合在一起，解決極值，最值等問題，這類問題涉及到求極值和極值點(diǎn)，求最值，有時需要借助于方程的理論解決問題;【例1】（2005年，重慶卷，理19） 已知血尺，討論函數(shù)/ =ex（x2 +ax + a +1） 的極值點(diǎn) 的個數(shù).【分析及解】f '(X)= ex (x2 + ax + a + ) + ex (2x + a) =exx2 + (a + 2)x + (2a +1),令廣(x) = 0 得 F +(a + 2)x + (2g +1) = O(1) 當(dāng)4 = (' + 2)2-4(2" + 1) = "2-4" = 0(°-4)>

7、0. 即a < 0或d > 繃土方程x? + (d + 2)x + (la +1) = 0 有兩個不同的實根山,吃,不妨設(shè)山2， 于是廣(X)="(入一“)匕一*2),從而有下表：XXI(X")/'(-V)+00+fM極大值減極小值r X >增即此時心有兩個極值點(diǎn)(2) 當(dāng) = 0即 a = 0或a = 41 時,方程，+ (a + 2)x + (2a +1) = 0 有兩 個相同的實根X. = x2，于是廣(x) = K d )2 故當(dāng)X V旺時，廣(X)> 0;當(dāng)x >心時/> 0,因此/'(X)無極值.(3) 當(dāng) v

8、0,即0 v a v41 時,x2+(a + 2)x + (2a +1) > 0,/V) = e ' lx2 + (a + 2)x + (2a +1) > 0,故/為增函數(shù)，【例2】(2004年，湖北卷，文22)已知b > 一 l,c >0 ,函數(shù) f(x) = x + b 的圖象與函數(shù) g(x) = x2 +bx + c的圖象的相切.(I )求b與C的關(guān)系式(用C表示J；(D)設(shè)函數(shù)*) =fMg(X)在(YO,P) 內(nèi)有極值點(diǎn)， 求C的取值范圍.此時4)無極值因此當(dāng)a > 4或a < 0tN/(A)有2個極值點(diǎn)，當(dāng)0 <6/<繃寸,/

9、(x) 無極值點(diǎn).【分析及解】 (I )依題意，令1 _hfx) = g3,得 2x + b = 1J如= 厶由于/(字)=g(¥人得9+1>2=處b > -l,c > 0,. h = 一1 + 2&(II)F(x) = /(x)g(x) = x' + 2bx2 + (b + c)x + be. Fx) = 3x2 + 4bx + b2 +c.令 F'(x) = 0,艮卩3*2 +4bx + b2 +c = 0.貝仏=16方 2 _12(滬 +c) = 4(，-3c).若厶=0,則F(x) = 0有一個實根兒，且F'(x)的變化如下:

10、XXo(x°，SF3+0+于是"X。不是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn).若A > 0,則F(x) = 0有兩個不相等的實根X, x2(A-, <花)且F(x) 的變化如 下：XXi(西,孔)(X2，F(xiàn))F(x)+00+由此， X =冊是函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn),x =七是函數(shù)F(x) 的極小值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng) > 0時，函數(shù)F(x)在(yo,p)上有極值點(diǎn). 由厶=4(Z?2 - 3c) > 0得b < -莎或b > 辰.* b = -1 + 2,-yfc t-1 + 2.yc v J3c或i -1 + Q.yfc > J3c.解之Wo

11、 vc v7-4館或c >7 + 4上.故所求c的取值范圉是(0,7 - 4巧)57 + 4 Q,+s).【例1】(2005年，湖南卷,文19)設(shè)心。，點(diǎn)PG0)是函數(shù)) fW =+ 俶與 g(x) = bx2 + c的圖象的一個公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處 有相同的切線.(I )用/表亦 a, b, c；(II)若函數(shù) y = f(x)-g(x) 在(一1, 3)上單 調(diào)遞減，求f的取值范圍.3. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，解決 與切線方程有關(guān)的問題；【分析及解】(D因為函數(shù)/(»能)的圖象 都過點(diǎn)S 0),所以/(o = o,即t' +川=0.因為心0,所以a

12、 = -t-.g（/） = 0,即仞'+c = 0,所以 e = ab.又因為 f（x） , g（x） 在點(diǎn)G,0）處有相同的切線, 所以而rw =3a2 + a, g'（x） = 2處,所以3尸 + a = 2bt.將代入上式得歸.因此c*bj.故 J,(II)y = /(x)_g(x) = » -rx-a-2 +r yf = 3x2 -2tx-L = (3x + t)(x-t)因為函數(shù) y = / W - gW 在(一1, 3)上單調(diào)遞減,日亠 yf = (3x + f)(x-1) 是(-1,3）上的拋物線,所以<0.y" lv=3 - °

13、;(_3 + f)(_l_f)5 0(9 + /)(3 /)S0 所以f的取值范圍為（Y, 9u3,S【例2】（2004年,浙江卷，理20） 設(shè)曲線y十（兀$0）在點(diǎn)“（”）處的切線/與x軸y軸所圍成的三角形面積為s（»（I）求切線/的方程;（H）求s （J的最大值.【分析及解】（I）因為廠（r所以切 線/的斜率為-廠，故 切線/的 方程為y-e-1 =-et(x-t).ex + y-e'1 (f+ 1) = 0.(II)令 y=0 得 x=t+i, 又令x=0得=心+ 1) 所以 S (t)=扣+1)廠(/ + 1) 弓(,+k 從而 5,(r) = l,(l-r)(l +

14、 r).厶當(dāng)蟲(0, 1)時，s®>0, 當(dāng)蟲(1，+8)時，s“v0， 所以S(t)的最大值為S(l)=|4. 通過構(gòu)造函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具，證明不等 式【例1 （2004年，全國卷II,理.22）已知函數(shù)/(x)=ln(l + x)_x, g(x) = xln x,求函數(shù)念）的最大值°vg)+g()-2g(U )設(shè)Osvb,證明【分析及解】（I）函數(shù)心）的定義域為（7+杯如丄九令解得Z- < x < Otl'J,廣（x） > 0,當(dāng);v >時,廣<0. 又/（0） = 0,故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，心）取得最大值，最大 值為0.(II

15、)g(x) = a* In x,gf(x) = In x +1 0C F(a) = g(a) + g(x) 一 2g()，(x > a).貝！IF'(x) = gx) - 2g()' = lnx-ln-當(dāng)a- > d時,F(x) > 0,因此F(x)在(心o)上為增函數(shù). 因為 F(a) = 0, b > 所以 F(b) >F(«) = 0, 即0 v g + g(b) - 2g(筈°).則當(dāng)因即G(x) = F(x) 一 (x - a) In 2,Gf(x) = In x - In Cl- - - In 2 = In x -

16、ln(a + a).2x>o時 Gg<a因此g)在(0，S上為減函數(shù).G(a) = 0、b> a,所以 G(b) < G(a) = 0,g+ g(0) - 2g(<(b- a) In 2.5. 導(dǎo)數(shù)與其他方面的知識的綜合【例1】(2004年，全國卷HL理22)已知函數(shù) f (x) = ex (cos x + sin x),將滿足/ '(x) = 0 的所有 正數(shù)x從小到大排成數(shù)列©(I)證明數(shù)列川”為等比數(shù)列；(D)記是數(shù)列XnfXn的前"項和,求 亦 3+S2 +S”HT30J?【分析及解】(I)fx) = -£'(

17、cosx + sin x) + f7(-sinx + cosx) = -2ex sinx. 由廣(力=0,得 2ex sill x = 0.解出 X = H7tJl 為整數(shù)，從而xtl = HTt.n = 1,2,3,/(心)=(一1) 嚴(yán).竺=_廠./(心)所以數(shù)列 是公比。一嚴(yán)的等比數(shù)列，且首項/3)=彳(II) Sn =Xlf(Xi) + X2f(X2)+" + Xnf(Xn)=7tq( + 2g F nq'), qSn =mj(q + 2q2 +" + nqn)y S”-gS” =兩(1 + 2/+. + 嚴(yán)l-"1”= 7(i-g從而s”二嚴(yán)(工

18、-燈).1 -q _gl 斗 丁(i+g+廣)-一(i+2g+"?"*)(1 一 q) n(-qY"(1 一 ？)_ mi昭'I" 吋('_q“ 一 呵)(l_q)(l_q) 1 -q /?(1 -qY l_q= (1_宀)+旦_(l-q) n( - qY7(l-q)因為I代 <?-T <1. lim qn =0,n>w所以，lim W=二Un(l-q)_(”+l)【例2】(2004年，廣東卷，21)設(shè)函數(shù)fx)-X-ln (才E 9 其中常數(shù)口為整數(shù).(I) 當(dāng)m為何值時,(II) 定理：若函數(shù)gG)在J b 上連續(xù),且gG)與異號，則至少存在一點(diǎn)x o 丘(a, b),使 g (x °) =0試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)時，方程/Q二0,在宀叱7內(nèi)有兩個實根.【分析及解】(I)解:函f(x)=x-ln(x+/n),x G (-/,+ <«)連續(xù)，且/(X)= 1!,令f (x) = 0,得x =