(完整word)北師大版八年級下冊數(shù)學第一章《證明(二)》知識點及習題,推薦文檔

1、1 / 101 等腰三角形知識點 1 等腰三角形的性質定理等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡述為等邊對等角)1 1 所示，在 ABC 中，TAB= AC,：/ B =ZC 定理的證明：取 BC 的中點 D，連接 ADAB AC(已知),/ BD CD(中點定義), ABDN ACD(SSS).AD AD(公共邊),/ B=/ C(全等三角形的對應角相等 ).定理的作用：證明同一個三角形中的兩個內角相等.拓展等腰三角形還具有其他性質.(1)等腰直角三角形的兩個底角相等，都等于45(2) 等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角.K(3) 等腰三角

2、形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為 b,則va.2(4) 等腰三角形的三角關系：設頂角為/A，底角為/ B，/ C，則/ A= 180/ B / C = 180 180 2 / C .知識點 2 等腰三角形的性質定理的推論推論 1:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱“三線合一”(1) 用符號語言表示為：如圖1 3 所示，1在 ABC 中，TAB = AC，/ 1 = / 2， AD 丄 BC . BD = DC ;2在 ABC 中，TAB = AC，AD 丄 BC，/ 1 = / 2，BD = DC ;3在 ABC 中，TAB = AC，BD = DC，/ 1 =

3、/ 2，AD 丄 BC .(2) 推論 1 的證明.1在 ABC 中，TAB = AC，/ 1 = / 2，AD = AD， ABDACD(SAS).BD = DC，/ ADB =/ ADC = 90.： AD 丄 BC.2在 ABC 中，TAD 丄 BC，：/ ADB =/ ADC = 90.用符號語言表).2 / 10/ AB= AC,： / B =ZC .又 AD = ADRt ADB 也 Rt ADC(AAS)./ 1 = / 2, BD = CD .3在 ABC 中，TAB = AC, AD = AD, BD = CD , ABDACD(SSS)/ 1 = / 2,/ ADB = /

4、 ADC = 90,. AD 丄 BC.推論 1 的作用：證明角相等、線段相等或垂直91 12推論 2:等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60 .(1) 用符號語言表示為：如圖1 -4 所示，在厶 ABC 中，TAB= BC = AC，/ A=/ B =/ C = 60.(2) 推論 2 的證明：/AB= AC， / B = / C ./AB= BC，/ A =/ C . / A=/ B=/ C.又/ A+ / B+ / C= 180。，即卩 3/ A= 180 , / A=/ B=/ C= 60.知識點 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(

5、簡述為等角對等邊).用符號語言表示為：如圖 1-6 所示，在 ABC 中， / B=/ C,：AB= AC判定定理的證明：如圖 1-6 所示.圈1 -(!過 A 作 AD 丄 BC 于 D，則/ ADB = / ADC = 90/ B=/ C, AD = AD, ABDACD(AAS), AB= AC.判定定理的作用：證明同一個三角形中的邊相等.3 / 10拓展 如圖 1-6 所示，在 ABC 中，4 / 10(1)如果 AD 丄 BC,/ 1 =Z2，那么 AB = AC;(2)如果 AD 丄 BC, BD = DC,那么 AB = AC;如果/ 1 -/ 2, BD = DC,那么 AB=

6、 AC.知識點 4 等腰三角形的判定定理的推論推論 1.(1)推論 1 的內容：有一個角等于 60的等腰三角形是等邊三角形.(2)用符號語言表示為： 如圖 1 8 所示，在 ABC 中，TAB = AC, / A= 60 (或/ B = 60或/ C= 60 ),. AB = AC= BC.(3)推論 1 的證明：在厶 ABC 中，TAB= AC,. / B =/ C .B=/ C =18002A= 60. AB= AC = BC .(或/ B= 60,./ A = 180 2/ B= 60. AB = AC = BC .或T/C= 60，./ A = 180 2/ C = 60. AB= A

7、C= BC .)推論 2.(1)推論 2 的內容：三個角都相等的三角形是等邊三角形.(2)用符號語言表示為：如圖1 8 所示，在 ABC 中，/ A=/ B=/ C,. AB= AC= BC.(3)推論 2 的證明：在厶 ABC 中，/ A =/ B,. BC = AC(等角對等邊).又/ B =/ C,. AB = AC(等角對等邊). AB= AC = BC .(4)推論 1 和推論 2 的作用：證明一個三角形是等邊三角形.拓展判定一個三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：(1)根據(jù)等邊三角形的定義，證明三條邊相等；(2)根據(jù)推論 1,證明兩條邊相等，有一個角是60;(3)根據(jù)推論 2,證

8、明三個角都相等.推論 3.(1)推論 3 的內容：在直角三角形中，如果一個銳角等于 30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.5 / 10(2)用符號語言表示為：如圖1 9 所示，在 Rt ABC 中，/ C= 90,/ A= 30,二 BC=1AB.2(3)推論 3 的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2 倍.知識點 5 反證法圖 1 - 9先假設命題的結論不成立，然后從假設出發(fā)，推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而否定假設，證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法.拓展 反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是：(1) 假設命題不成立；(2) 從假

9、設出發(fā)推導出矛盾；(3) 否定假設，從而肯定命題的結論.規(guī)律方法小結1轉化思想：在等腰三角形的性質定理和判定定理的證明過程中，都是通過構造全等三角形，轉化為全等得以證明的.2類比思想：采用類比思想，把等腰三角形的性質和判定對照著學習.3.用反證法進行證明時，注意推理的規(guī)范性和邏輯的嚴密性，不能忽略任何一種可能的情況.探究交流想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質定理嗎？解析 有，作等腰三角形 ABC 的頂角平分線 AD，如圖 1 2 所示.AB AC(已 知),/ 12(角平分線定義),AD AD(公共邊),ABDACD(SAS)./ B=/ C(全等三角形的對應角相等)課堂檢測221、如圖

10、 1 10 所示，在 ABC 中，AB = AC, AD = AC, AE = AB .求證 BD = CE.ffl 1 - 2334 / 10ffl 1 - to8 / 102、如圖 1 12 所示，已知點 D , E 在厶 ABC 的邊 BC 上，AB = AC, AD = AE .求證 BD = CE .3、如圖 1 13 所示，已知/ CAE是厶ABC 的一個外角，/ 1 =Z2, AD / BC, 求證 ABC 是等腰三角形.4、下面是數(shù)學課堂的一個學習片段，閱讀后，回答問題.學習等腰三角形的有關內容后，張老師請同學們交流討論這樣一個問題：已知等腰三角形ABC 的/A等于 30 ,求

11、其余兩角.同學們經過片刻的思考與交流后，李明同學舉手說：“其余兩角是 30和 120?！蓖跞A同學說：“其余兩角是 75和 75.”還有一些同學也提出了不同的看法假如你也在課堂上，你的意見如何？為什么？5、已知等邊三角形 ABC 和點 P,設點 P 到厶 ABC 三邊 AB, AC, BC 的距離分別是 h1, h2, h3,AABC 的高為 h，若點 P 在邊 BC 上，如圖 1 17(1)所示，此時 h3= 0,可得結論：h1+h2+h3= h.請直接應用上述信息解決下列問題：點 P 在厶 ABC 內，如圖 1 17(2)所示.點 P 在厶 ABC 外，如圖 1 17(3)所示，這兩種情況時

12、，上述結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，h1, h2, h3與 h 之間又有怎樣的關系？請寫出你的猜想，不需證明.Affi 1 - 179 / 10體驗中考1 已知等腰三角形 ABC 的周長為 10.若設腰長為 x，則 x 的取值范圍是 _2、如圖 1 - 20 所示，在 ABC 和厶 DEF 中，AB = DE , BE= CF，/ B=Z1 .求證 AC= DF （要求：寫出證明過程中的重要依據(jù) ）.2直角三角形概覽圖廣勾股定理：a2+b2= c2（a, b 為直角邊長，c 為斜邊長）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這直角三角形 Y個三角形是直角三

13、角形互逆命題與互逆定理直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊定理（HL）10 / 10知識點1勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即c2=a2+b2（c為斜邊長）.V勾股定理的作用.（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊.已知直角三角形的一條邊，求另外兩條邊的數(shù)量關系.（3）用于證明平方關系的問題.（4）利用勾股定理作出長為的線段.勾股定理的各種表達形式.在RtAABC中，/C=90,/A,/B,ZC的對邊長分別為a,b,c,貝Ua2=c2b2,b2=c2a2,c2=a2+b2,c=a2b2,a=、c2b2,b=.c2a2.勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等

14、于第三邊的平方， 那么這個三角形是直角 三角形.勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形.勾股定理是直角三角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理. 直角三角形的判定.(1)首先確定最大邊(如c).(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關系.若c2=a2+b2，則ABC是直角三角形；若c2工a2+b2，則ABC不是直角三角形.勾股數(shù).(1)能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù).稱為勾股數(shù)或勾股弦數(shù).(2)勾股數(shù)必須是正整數(shù).如3,4,5;5,12,13等.拓展 應用勾股定理時，必須是在同一直角三角形中；應用勾股定理的逆定理判定一個三 角形是直角11 / 10三角形

15、時，一定是最長邊所對的角是直角，其他兩邊所對的角是銳角.知識點2互逆命題與互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.拓展 每個命題都有逆命題.原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題. 原命題和 逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真.12 / 10如果一個定理的逆命題經過證明是真命題. 那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定 理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.拓展每個命題都有逆命題.但不是所有的定理都有逆定理知識點3直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理

16、： 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示.V定理的作用：判定兩個直角三角形全等.V定理的證明：如圖130所示，已知RtAABC,RtAABC，/C=ZC =90AB=AB ,AC=AC，求證RtABCRtAABC證明：在ABC和厶ABC中，/C=ZC =90 AB=AB ，AC=AC，二BC=BC RtAABCRtAABC(SSS).知識拓展“HL”是直角三角形所獨有的判定定理，對于一般三角形不成立.判定兩個直角三角形全等時，這兩個直角三角形已經有一對直角相等的條件，只需找出另外兩個條件即可，而這兩個條件中必須有一個是邊對應相等.與一般三角形全等一樣，只有三個角相等的兩個直角三角形不一定全等.課堂檢測1、寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題，并判斷真假. BC=AB2AC2，BC=AB2AC213 / 102、如圖131所示，在RtAABC中，/ACB=90,AB=50,13、在正方形ABCD中，如圖132所示，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且EC=1BC,4求證/EFA=904、試判斷三邊長分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形.5、如圖1-38所示，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得/MAD=30,貨輪以每小時20海里的速度航行，1