北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點及例題相結(jié)合

1、數(shù)學(xué)九年級上冊知識點總結(jié)第一章 證明（二）一、全等三角形（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（2）兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。（3）兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）。（4）全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。推論：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。等腰三角形的其他性質(zhì)：等腰直

2、角三角形的兩個底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為A，底角為B、C，則A=180-2B，B=C=2、等腰三角形的判定(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.例 下列兩個三角形中，一定全等的是（ ）（A）有一個角是40°，腰相等的兩個等腰三角形；（B）兩個等邊三角形；（C）有一個角是100°，底相等的兩個等腰三角形；（D）有一條邊相等，有一

3、個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形.三、等邊三角形性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。（2）三線合一判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形例 已知：如圖，在等邊三角形的邊上取中點，的延長線上取一點，使 求證：.四、直角三角形（一）直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個銳角互余2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即其它性質(zhì)：1、直角三角形

4、斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。2、常用關(guān)系式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積（二）直角三角形的判定 1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。（三）直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）例 兩個直角三角形全等的條件是（ ）（A）一銳角對應(yīng)相等； （B）兩銳

5、角對應(yīng)相等；（C）一條邊對應(yīng)相等； （D）兩條邊對應(yīng)相等.五、角的平分線及其性質(zhì)與判定1、角的平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。2、角的平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。3、角的平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。例 在中，90°，平分交于，于，若，則的周長是 .六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定1、線段的垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。線段垂直平分線的性質(zhì)定

6、理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。例 到的三個頂點距離相等的點是的（ ）.（A）三邊垂直平分線的交點； （B）三條角平分線的交點；（C）三條高的交點； （D）三邊中線的交點.七、反證法八、互逆命題、互逆定理1、在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。2、如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆

7、定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。例 方程是一元二次方程，則.二、一元二次方程的解法 1、直接開平方法直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時，；當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。例 第二象限內(nèi)一點A（x1，x22），關(guān)于x軸的對稱點為B，且AB=6，則x=_2、配方法一般步驟：（

8、1） 方程兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.（2） 將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。（3） 所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方（4） 配方，化成（5）開方，當(dāng)時，；當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。例 若方程有解，則的取值范圍是（）ABC D無法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：例 已知x24x2=0，那么3x212x2012的值為 4、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。例 已知一個三角形的兩邊長是方程x2-8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是（ ）

9、Ay<8 B3<y<5 c2<y<8 D無法確定補充：一元二次方程根的判別式 根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)0時，方程沒有實數(shù)根。例 若關(guān)于x 的方程x2 2 (a 1 )x = (b+2)2有兩個相等的實根，則a2013+b5的值為 .例 若關(guān)于x的方程x2 2x(k-x)+6=0無實根，則k可取的最小整數(shù)為（ ）（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2補充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。第三

10、章 證明（三）一、平行四邊形 1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。相關(guān)結(jié)論：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等

11、的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底×高=ah例 如圖1，ABCD的周長是28cm，ABC的周長是22cm，則AC的長為（ ）（A）6cm （B）12cm （C）4cm （D）8cm例 平行四邊形的兩鄰邊分別為3、4，那么其對角線必（ ）（A） 大于1（B） 小于7 （C） 大于1且小于7 （D） 小于7或大于1二、矩形 1、矩形的定義有一個角是

12、直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab例 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形

13、，并說明你的結(jié)論。三、菱形 1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的鄰角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底×高=兩條對角線乘積的一半例 菱形的兩條對角線長分別為6cm、8cm，則它的面

14、積為（ ）（A）6 （B）12 （C）24 （D）48例 菱形的周長為20cm，兩鄰角的比為1：2，則較長的對角線長為（） A4.5 cm B4 cmC5 cm D4 cm四、正方形 1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種

15、：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=例 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點，已知CEBF，垂足為M，請找出和BE相等的線段，并說明你的結(jié)論。五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰

16、梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形例 下列語句中，正確的是（ ）（A）平行四邊形的對角線相等 （B）平行四邊形的對角線互相垂直平分（C）等腰梯形的對角線互相垂直 （D）矩形的對角線互相平分且相等例 在四邊形ABCD中，A、B、C、D的度數(shù)比為1223，則這個四邊形是（ ）（A）平行四邊形（B）等腰梯形（C）菱形（D）直角梯形例 如圖2，等腰梯形ABCD中，ABCD，ACBC，點E是AB的中點，且AD=AE，ECAD，則ABC等于（）（A）75° （B）70° （C）60° （D）30°六、三角形中的中位線1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做

17、三角形的中位線。2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。七、有關(guān)四邊形四邊中點問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所

18、得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；AEBFCGDH例 已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點。若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8第四章 視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。例 如圖

19、，一幾何體的三視圖如右：那么這個幾何體是 . 主視圖 左視圖 俯視圖 例 如果用表示1個立方體，用表示兩個立方體疊加，用表示三個立方體疊加，那么下面右圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是（ ）2、投影（1）投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。（2）平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。（3）中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。（4）區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。（5）從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光

20、線與投影垂直時的投影。點在一個平面上的投影仍是一個點；線段在一個面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。例 小明在操場上練習(xí)雙杠時，在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子（ ）A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 無法確定AEDCB例 小明希望測量出電線桿AB的高度，于是在陽光明媚的一天

21、，他在電線桿旁的點D處立一標(biāo)桿CD，使標(biāo)桿的影子DE與電線桿的影子BE部分重疊（即點E、C、A在一直線上），量得ED2米，DB4米，CD1.5米，則電線桿AB長 .3、視點、視線、盲區(qū)眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。例 當(dāng)你乘車沿一條平坦的大道向前行駛時，你會發(fā)現(xiàn)，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它們前面那些矮一些的建筑物后面去了，這是因為（ ）A 汽車開的很快 B盲區(qū)減小 C盲區(qū)增大 D 無法確定第五章 反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示為（k是常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解

22、析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。）2、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖象 y O x y O x性質(zhì)x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y

23、的取值范圍是y0；當(dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大。例 在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是 （ ）A B C D例 反比例函數(shù)，當(dāng)時，其圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi)。例 反比例函數(shù)的對稱軸有（ ）條（A）0 （B）1 （C）2 （D） 無數(shù)例 對于反比例函數(shù)()，下列說法不正確的是（ ）（A）它的圖象分布在第一、三象限 （B）點（，）在它的圖象上（C）它的圖象是中心對稱圖形 （D）隨的增大而增大例 已知反比例函數(shù)（k0）的圖象上有兩點A（），B（），且，則的值是（）（A）正數(shù)（B）負(fù)數(shù)（C）非正數(shù)（D）不能確定4、反比例函數(shù)解析式的確

24、定確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義過反比例函數(shù)圖像上任一點P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別是M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。ABOxy例 如圖，A為反比例函數(shù)圖象上一點，AB垂直軸于B點，若SAOB3，則的值為（ ）A、6 B、3C、D、不能確定 第六章 頻率與概率1、頻率（1）在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)；（2）每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：（3）在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻