《第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》全章復習與鞏固(提高)知識講解講義

1、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)全章復習與鞏固（提高）知識講解【學習目標】1. 了解平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱，探索它們的基本性質(zhì)；2. 能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次圖形變換后的圖形；3. 利用平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱及其組合進行圖案設(shè)計；4. 認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用. 【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、平移變換1.平移的概念： 在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小要點詮釋：（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移

2、有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的形狀和大小2平移的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，對應(yīng)點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等要點詮釋：（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)3. 平移與坐標變換：(1) 點的平移點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點(x ，

3、y) 向右 ( 或左 ) 平移a 個單位長度，可以得到對應(yīng)點(x+a ，y)( 或(x-a ，y) ；將點 (x ，y) 向上 ( 或下 ) 平移b 個單位長度，可以得到對應(yīng)點 (x ，y+b)( 或(x ， y-b)要點詮釋： 上述結(jié)論反之亦成立，即點的坐標的變化引起的點相應(yīng)的平移變換 (2) 圖形的平移平移是圖形的整體運動在平面直角坐標系內(nèi)，一個圖形進行了平移變化，則它上面的所有點的坐標都發(fā)生了同樣的變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”要點詮釋：（1）上述結(jié)論反之亦成立，即如果把一個圖形各個點的橫坐標都加( 或減去 ) 一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右( 或

4、向左 ) 平移 a 個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加( 或減去 )一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上( 或向下 ) 平移 a 個單位長度（2）一個圖形依次沿x 軸方向、 y 軸方向平移后所得圖形，可以看成是由原來的圖形經(jīng)過一次平移得到的要點二、旋轉(zhuǎn)變換1旋轉(zhuǎn)概念：在平面內(nèi)，將 一個圖形繞一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn) . 這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角. 要點詮釋：（1）旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的形狀、大小都相同，但形狀、大小都相同的兩個圖形不一定能通過旋轉(zhuǎn)得到 . （2）旋轉(zhuǎn)的角度一般小于360.（3）旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)方向（即

5、順時針或逆時針方向）旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等. 旋轉(zhuǎn)作圖步驟：分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角. 分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點. 沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段, 從而作出圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點 . 按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點. 要點三、中心對稱與圖案設(shè)計1中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心，這兩個圖形稱為成中心對稱的要點詮

6、釋： 中心對稱的性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分2. 中心對稱圖形：把一個圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心. 要點詮釋： 中心對稱作圖步驟： 連結(jié)決定已知圖形的形狀、大小的各關(guān)鍵點與對稱中心，并且延長至2 倍，得到各點的對稱點 . 按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形. 3. 圖形變換與圖案設(shè)計的基本步驟確定圖案的設(shè)計主題及要求；分析設(shè)計圖案所給定的基本圖案；利用平移、 旋轉(zhuǎn)、 軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；對圖案進行修飾，完成

7、圖案. 4. 平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種變換的關(guān)系：圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱的變換后，雖然對應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的【典型例題】類型一、平移變換1. 閱讀理解題（1）兩條直線a， b相交于一點o，如圖，有兩對不同的對頂角；（2）三條直線a，b，c 相交于點o，如圖，則把直線平移成如圖所示的圖形，可數(shù)出6 對不同的對頂角；（3）四條直線a，b，c，d 相交于一點o ，如圖， 用（2）的方法把直線c 平移，可數(shù)出對不同的對頂角；（4）n 條直線相交于一點o，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角；（5） 2013 條直線相交于一點o ， 用同樣的方法把直線平移后，有

8、對不同的對頂角【思路點撥】（3）畫出圖形，根據(jù)圖形得出即可；（4）根據(jù)以上能得出規(guī)律，有n（ n-1）對不同的對頂角；（5）把 n=2013 代入求出即可【答案與解析】解： （ 3）如圖有 12 對不同的對頂角，故答案為： 12（ 4）有 n（n-1 ）對不同的對頂角，故答案為： n（n-1 ） ；（5）把 n=2013 代入得： 2013（ 2013-1 ） =4050156，故答案為： 4050156【總結(jié)升華】 本題考查了平移與對頂角的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律舉一反三：【變式】 （2019莒縣模擬） 如圖，abc的面積為2，將 abc沿 ac方向平移至 dfe ，且 ac=cd ，

9、則四邊形aefb的面積為（） a6 b8 c10 d 12 【答案】 c2 （2015 春?召陵區(qū)期中）如圖，將線段a1a2向右平移1 個單位到b1b2，得到封閉圖形a1a2b2b1（ 即陰影部分），在圖中， 將折線 a1a2a3向右平移1 個單位到 b1b2b3，得到封閉圖形a1a2a3b3b2b1（即陰影部分） （1）在圖中，請你類似地畫一條有兩個折點的折線，同樣向右平移1 個單位，從而得到一個封閉圖形，并用陰影表示；（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積（設(shè)長方形水平方向長均為a，豎直方向長均為b） ：s1= ，s2= ，s3= ；（3）如圖，在一塊長方形草地上，有

10、一條彎曲的小路（小路任何地方的水平寬度都是2 個單位） ，請你求出空白部分表示的草地面積是多少？（4）如圖，若在（ 3）中的草地又有一條橫向的彎曲小路（小路任何地方的度都是1 個單位），請你求出空白部分表示的草地的面積是多少？【思路點撥】（ 1）根據(jù)題意，直接畫圖即可，注意答案不唯一，只要畫一條有兩個折點的折線，得到一個封閉圖形即可（2）結(jié)合圖形，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，中陰影部分的面積都可看作是以a 1 為長， b 為寬的長方形的面積（3）結(jié)合圖形，通過平移，陰影部分可平移為以a 2 米為長， b 米為寬的長方形，根據(jù)長方形的面積可得小路部分所占的面積（4）結(jié)合圖形可知，小路部分所占的面積=a

11、米為長， b 米為寬的長方形的面積a 米為長， 1米為寬的長方形的面積2 米為長， b 米為寬的長方形的面積+2 米為長， 1 米為寬的長方形的面積【答案與解析】解： （1）畫圖如下：（2）s1=abb，s=abb， s2=abb，s3=abb 猜想：依據(jù)前面的有關(guān)計算，可以猜想草地的面積仍然是abb 方案： 1、將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去”；2、將左側(cè)的草地向右平移一個單位；3、得到一個新的矩形理由：在新得到的矩形中，其縱向?qū)捜匀皇莃其水平方向的長變成了a1，所以草地的面積就是：b（a1） =abb（3）小路任何地方的水平寬度都是2 個單位，空白部分表示的草地面積是（a2）b；（4）小

12、路任何地方的寬度都是1 個單位，空白部分表示的草地面積是aba2b+2【總結(jié)升華】 本題主要考查了利用平移設(shè)計圖案，用到的知識點是矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，能利用平移的性質(zhì)把不規(guī)則的圖形拆分或拼湊為簡單圖形來計算草地的面積是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，面積為12cm2的 abc沿 bc方向平移至 def的位置，平移距離是邊bc長的兩倍，則圖中四邊形aced 的面積為（） a24cm2 b36cm2 c48cm2 d無法確定【答案】 b. 四邊形 abed是平行四邊形且s四邊形 abed=s四邊形 acfd，而 s四邊形 aced=s四邊形 abed-sabc類型二、旋轉(zhuǎn)變換3正方形 abc

13、d 中對角線ac 、bd相交于點 o，e是 ac上一點， f 是 ob上一點，且oe=of ，回答下列問題：（1）在圖中1，可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折中的哪一種方法，使oaf變到 obe的位置請說出其變化過程（2）指出圖（ 1）中 af和 be之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）若點 e、f 分別運動到ob 、oc的延長線上，且oe=of （如圖 2） ，則（ 2）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明你的理由【思路點撥】（1）根據(jù)圖形特點即可得到答案；（2） 延長 af交 be于 m ， 根據(jù)正方形性質(zhì)求出ab=bc ， aob= boc ， 證 aof boe ， 推出 a

14、f=be ，fao= ebo ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證出即可；（3）延長 eb交 af于 n，根據(jù)正方形性質(zhì)推出abd= acb=45 ， ab=bc ，得到 abf= bce ，同法可證 abf bce ，推出 af=be ，f=e，fab= ebc ，得到 e+fab+ bao=90 即可【答案與解析】解：（ 1）旋轉(zhuǎn)，以點o為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90 度（2）圖（ 1）中 af和 be之間的關(guān)系：af=be ；af be 證明：延長af交 be于 m ，正方形abcd ，ac bd ，oa=ob ， aob= boc=90 ，在 aof和 boe中 aof boe （sas ），af=b

15、e ， fao= ebo ， ebo+ oeb=90 ， fao+ oeb=90 ，ame=90 ，af be ，即 af=be ，afbe （3）成立；證明：延長eb交 af于 n，正方形abcd ， abd= acb=45 ， ab=bc ， abf+abd=180 ， bce+ acb=180 ， abf=bce ，ab=bc ，bf=ce ， abf bce ，af=be ， f=e， fab= ebc ， f+fab= abd=45 ， e+fab=45 ， e+fab+ bao=45 +45=90，ane=180 - 90=90，af be ，即 af=be ，afbe 【總結(jié)升華

16、】 本題主要考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵4. 如圖 1，o為正方形abcd 的中心，分別延長oa 、od到點 f、e，使 of 2oa ，oe 2od ，連接ef將 eof繞點 o逆時針旋轉(zhuǎn)角得到e1of1( 如圖 2) (1) 探究 ae1與 bf1的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2) 當30時，求證： aoe1為直角三角形【思路點撥】 (1) 要證 ae1bf1，就要首先考慮它們是全等三角形的對應(yīng)邊； (2)要證 aoe1為直角三角形，就要考慮證e1ao 90 .【答案與解析】解： (1)a

17、e1bf1，證明如下：o 為正方形 abcd的中心， oa ob od.oe of . e1of1是eof繞點 o逆時針旋轉(zhuǎn)角得到， oe1of1. aob eof 900， e1oa 900f1oa f1ob. 在e1oa和f1ob中，1111oeofe oafoboaob，e1oa f1ob （sas ）. ae1bf1. (2) 取 oe1中點 g，連接 ag. aod 900，30， e1oa 90060 . oe12oa ，oa og ， e1oa ago oag 60 . ag ge1， gae1ge1a30 . e1ao 90 . aoe1為直角三角形. 【總結(jié)升華】 正方形的性

18、質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定. 舉一反三：【變式】在等邊三角形abc中有一點p ，已知 pc 2, pa 4，pb 2 3，則 apb .【答案】 90類型三、中心對稱與圖形設(shè)計5. 如圖，方格紙中四邊形abcd的四個頂點均在格點上，將四邊形abcd向右平移 5 格得到四邊形 a1b1c1d1再將四邊形a1b1c1d1，繞點 a逆時針旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形a1b2c2d2（1）在方格紙中畫出四邊形a1b1c1d1和四邊形 a1b2c2d2（2）四邊形abcd 與四邊形a1b2c2d2是否成中心對稱？若成中心對稱，請畫出對稱中心；若不成中心對稱，請說明理由【思路點撥】（1）首先把各個頂點平移，以及作出對稱點，然