2019-2020學(xué)年蘇教版必修42弧度制學(xué)案

1、3掌握弧長(zhǎng)公式和1. 1.2 弧度制1了解弧度制的意義.2能正確的將弧度與角度互化.扇形面積公式.2a(a為扇形圓心角的弧度數(shù)).迫M自畫(huà)»1.角度制1規(guī)定周角的土;為1度的角，記作1°.用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.3602. 弧度制（1）長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作 1rad .用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制.（2）弧度數(shù) 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)仝角的弧度數(shù)是0. 角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值*（其中I是以角a作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的弧長(zhǎng)，r為圓半徑）.3. 角度與弧度之間的互化及關(guān)系（1）度化弧度：360°

2、= 2nrad, 180° = nrad, 1 °=面 rad0.017 45 rad.180° .（2）弧度化度：2 nrad= 360°, nrad= 180°, 1 rad = 57.30 .n4. 扇形的弧長(zhǎng)及面積公式（1）弧長(zhǎng)公式：l = a，（r為圓半徑，a為圓心角的弧度數(shù)），兩個(gè)變形：a=*，r =吉1 1 2面積公式：S扇形=2I - r（r為扇形半徑，I為扇形的弧長(zhǎng)），兩個(gè)變形：S扇形=21 a - r2,1.判斷（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）1弧度指的是1度的角.（）弧長(zhǎng)為n半徑為2的扇形的圓心角是直角.（）解析：

3、（1）錯(cuò)誤.1弧度指的是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角.n（2）正確.若弧長(zhǎng)為 n,半徑為2,則| a|= 2，故其圓心角是直角.答案：(1)X (2) V2¥弧度化為角度是()答案：(1)in (2)54探究點(diǎn)1* I(1)將下列各角度化成弧度： 1 080 °,750 ° ;角度與弧度的互化(2)將下列各弧度化成角度:_512.n【解】 1 080° 勻 080x rad = 6 nrad. -75°°一50 x 孟ad 255 詞7n rad 子 180 = 140°即ad =存他=互角度制與弧度制的互化原則(1)角度

4、與弧度的換算關(guān)系式是角度與弧度互化的重要依據(jù),其中應(yīng)記住關(guān)系式:冗=A. 278°B. 280C. 288°D. 318答案：C3半徑為n2，圓心角為3的扇形的面積是()4 nA. 43-B. n2 nC.亍nD. 3答案：C4. (1)18 °3=rad ; n=180°它能夠幫助我們更快、更準(zhǔn)確地進(jìn)行運(yùn)算.(2)如果角度以度、分、秒的形式給出時(shí)，應(yīng)先將它化為度，再轉(zhuǎn)化為弧度；如果弧度給出的是實(shí)數(shù)，如2弧度，化為度應(yīng)是2X180n360 °n1將下列角度與弧度進(jìn)行互化.20°= 一15°=11 一三n=5解析：nn 20&

5、#176;= 180= 9.= -15X 孟=一15nV2'1111180° 匚 n= gnX = 396 .55 n答案：n - 1n 396 °探究點(diǎn)2 終邊相同的角和區(qū)域角的弧度制表示EE (1)設(shè)角a= 570°, a= 750 °,將a, a用弧度制表示出來(lái)，并指出它們各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判斷一屮是不是第二象限角.【解】(1)因?yàn)?70° = 4 n+ 5n，6 6o 25 nn750°- = 4 卄；.66所以a1在第二象限，a在第一象限.n(2) 在 0 , 2n范圍內(nèi)，第二象限

6、角aG ，n.所以終邊落在第二象限的所有角可表示為na 2k n+ 2< a<2k n+ n, k Z ,廠 10 n2 nn.而一 3 = 4 n- 3 G 4 n- 2, 4 n+ n ,所以一13是第二象限角.熟練掌握角度與弧度的互化，準(zhǔn)確判斷角所在的象限是學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)的必備基本功若需要在某一指定范圍內(nèi)求具有某種特性的角時(shí),通常轉(zhuǎn)化為解不等式去求對(duì)應(yīng)的k值.注意用弧度制表示角時(shí)，不能與角度制混用，如3= 2k n 60°k Z）這種寫(xiě)法是不正 確的.2.（1）在區(qū)間（°，2冗內(nèi)，與普終邊相同的角是（）2n5 6 n5把1 480°寫(xiě)成a+ 2

7、knk Z）的形式，其中2 n0< aV 2n;在0 , 4 n中找出與角 終邊相同的角.解：選D.因?yàn)?4n= 8 n+ 6n，55則一345與 終邊相同，選d .n因?yàn)橐? 480°=1 480 x 面 rad廠 7416又一n= 10 n+ § n,16 16其中 a=6n,所以一1 480 ° =9 n 10 n2 n2 n終邊與5角相同的角為 9= "5 + 2knk Z）,當(dāng) k = 0 時(shí),e= 2n；當(dāng)k =1時(shí)，e=咯所以在0 , 4 n中與角終邊相同的角為 罕 于探究點(diǎn)3 弧長(zhǎng)與扇形面積公式的應(yīng)用例U）已知一扇形的圓心角是a,半

8、徑是r.（1）若a= 60°, r = 10 cm，求扇形的弧所在的弓形面積；若扇形的周長(zhǎng)是一定值 C（C>0），則當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形的面積最大?【解】（1）設(shè)弧長(zhǎng)為I,弓形的面積為S 弓.n因?yàn)閍= 60°=3，r = 10 cm,3所以10 ,、I = ar "3 n Cm),所以S 弓=S扇SA=罟 nX 10-102 =50 扌一三3 (cm2).c I由已知2r + I = c,所以r =廠(l<c),1 1 c I 1所以 s= qri = 2= Jci I2)-41 - 2 + C6,所以當(dāng)1 =c. ,Smax = 16，cI 2

9、此時(shí) a= _= 2,r c 'c 22c2所以當(dāng)扇形圓心角為 2弧度時(shí)，扇形的面積有最大值花.方i去歸（1）求扇形的弧長(zhǎng)和面積1 1 記公式：弧度制下扇形的面積公式是S= -Ir = -«r2（其中I是扇形的弧長(zhǎng)，a是扇形圓心角的弧度數(shù),0 v av 2 n.） 找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量 ，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程（組）求解.扇形周長(zhǎng)及面積的最值問(wèn)題當(dāng)扇形周長(zhǎng)一定時(shí)，扇形的面積有最大值.其求法是把面積S轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的二次函0v I v 2 nr.數(shù)，但要注意r的取值范圍特別注

10、意一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)必須滿足當(dāng)扇形面積一定時(shí)，扇形的周長(zhǎng)有最小值，其求法是把周長(zhǎng)C轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的函數(shù)， 用基本不等式可求得扇形周長(zhǎng)的最小值特別注意一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)必須滿足o v | v 2 n.18 cm,求該弧所對(duì)的圓3. (1)在半徑為12 cm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是心角的弧度數(shù)和該扇形的面積.(2)已知一扇形的周長(zhǎng)為 40 cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：(1)設(shè)該弧所對(duì)的圓心角為a則l 18311a= = 12 = (rad)，該扇形面積為 S= 2=2X 18x 12= 108(cm2).(2)設(shè)扇形的圓心角為0,半徑為r,弧長(zhǎng)為I,面積為S,

11、則 | + 2r = 40,所以 | = 40- 2r,1 1所以 S= 2lr = 2x (40 2r)r = - (r 10)2 + 100.所以當(dāng)半徑r = 10 cm時(shí)，扇形的面積最大，這個(gè)最大值為100 cm2,這時(shí)e=r=40 - 2X 1010=2 rad.«素養(yǎng)提升>規(guī)律呈現(xiàn)度”與“弧度”的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別(1) 定義不同(2) 單位不同.弧度制是以“弧度”為單位，單位可以省略，而角度制是以“度”為單 位，單位不能省略弧度制疋十進(jìn)制，而角度制疋八十進(jìn)制聯(lián)系(1) 不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無(wú)關(guān)的 值，僅和半徑與所含的弧這兩者的

12、比值有關(guān)(2) “弧度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化范疋門 已知扇形的周長(zhǎng)為 10 cm,面積為4 cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).【解】設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為00< 0<2n )弧長(zhǎng)為I,半徑為r,依題意有i尹=4,代入得r2- 5r + 4= 0, 解得 ri= 1, r2 = 4.當(dāng) r = 1 cm 時(shí)，I = 8 cm,此時(shí) 0= 8 rad>2 n rad（舍去）;當(dāng) r = 4 cm 時(shí)，I = 2 cm,2 1 此時(shí) 0= 4= 2（rad）.有關(guān)扇形的弧長(zhǎng)I ,圓心角a,面積S的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的1 1關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用I = I ar ,S

13、= 2lr =ar2兩組公式，采用消元思想或二次函數(shù)思想加以解決.1. 1 920°轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（）1632A .亍B. 7C.163237t解析：選D .因?yàn)?°=京，所以 1 920 °= 92018032 n2. 在半徑為8 cm的圓中，53的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）3B. 20 ncm400D.ncma 40A. 3 ncm200C.ncm解析：選A .根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得l=晉>< 8=（cm）.3. 一鐘表的分針長(zhǎng)為 5 cm,經(jīng)過(guò)40分鐘后，分針外端點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是 cm.解析：經(jīng)過(guò)40分鐘，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角是a=- 4X n=- 3 n則l =

14、|a|r = 5 X 3 n=晉冗如）.答案:2037t鞏固提升學(xué)生用書(shū)P79(單獨(dú)成冊(cè))A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)詳寸應(yīng)的角度為()A. 75°C. 135 °B. 125 °D. 155 °解析：選C .由于1,180 rad=-n所以3n=汀號(hào)勻35°,故選C.2用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為()5 nA. 3 3=- "6 + 2k n k Z5 nB. 3 3=+ k 360° , k Z62 n_廠-»C. 3 3= 3 + 2kn k ZD. 3 3= 5n+ 2kn k Z解析：選D .

15、150 ° =150 X-n= n，故與150 °角終邊相同的角的集合為180 65 n3 3= 6 + 2kn k Z .3. 一段圓弧的長(zhǎng)度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角為 ( )nA. 2C. 2a的圓解析：選C.設(shè)圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為 a,則該圓的直徑為 2a,所以弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角a=故選C.14Tn4. 鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為(143 n77C 低 nD 18n解析：選B 顯然分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了 3周，轉(zhuǎn)過(guò)的弧度714為_(kāi) 3X 2 n=兀5扇形的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 2倍，而弧長(zhǎng)也增

16、加到原來(lái)的2倍，則()A.扇形的圓心角大小不變B扇形的圓心角增大到原來(lái)的2倍C.扇形的圓心角增大到原來(lái)的4倍D扇形的圓心角減小到原來(lái)的一半解析：選A .設(shè)扇形原來(lái)的半徑為r,弧長(zhǎng)為I,圓心角為a,則變化后半徑為 2r,弧I 2I I長(zhǎng)為2I,圓心角為3,所以a= ，3=齊= a，即扇形的圓心角大小不變.6.在 ABC中，若A : B : C= 3 : 5 : 7,則角A, B, C的弧度數(shù)分別為解析：A + B+ C = n 又 A： B : C= 3 : 5 : 7,所以A =3 n n3+5+7=5n C = 7n3= 15.答案：n n 7 n5, 3, 155 n3 + 5 + 77.

17、火車站鐘樓上有座大鐘，這座大鐘的分針20 min所走的圓弧長(zhǎng)是3 m，則這座大鐘分針的長(zhǎng)度為m.2 n解析：因?yàn)榉轴?0 min轉(zhuǎn)過(guò)的角為一 ,所以由l=|a|r,3nI 3 得r = = = 0.5(m),即這座大鐘分針的長(zhǎng)度為0.5 m.|a 33答案：0.5& 一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形圓弧的半徑為2 km , 一列火車用30 km/h的速度通過(guò),10 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度為.101解析：10 s內(nèi)列車轉(zhuǎn)過(guò)的圓形弧長(zhǎng)為X 30= (km).3 60012' '112 1轉(zhuǎn)過(guò)的角a= = 24（弧度）答案：249一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng)，那么扇形

18、的圓心角是多少弧度？扇形面積是多少？解：設(shè)弧長(zhǎng)為I，所對(duì)圓心角為 a，則I + 2r = n,即 I = ( n- 2)r.因?yàn)?| a=r = n 2,所以a的弧度數(shù)是n 2, 1 1 2 從而 S 扇形=qlr = 2( 2)r .% %10.設(shè)集合 A= x kL4w xw kn+ 4，k Z ,B= x|/w 36，試求集合 A n B.解：由集合A=x " xW "+ n，kC Z，可知A = .u3n4n n4，47jt4，集合分別作出如圖.U.由 B = xlx2 w36,可得B= x|-6wx< 6,在數(shù)軸上將兩個(gè)6 .可得集合-6,7n7 u111&

19、#39;-5£ ?7T Sti【L44hr打n 擊3tt5if7ir9tt14444447nu 7，B 能力提升1. 設(shè)角a的終邊為射線 OP，射線OP1與OP關(guān)于y軸對(duì)稱，射線 OP2與OP1關(guān)于直線y= x對(duì)稱，則以0P2為終邊的角的集合是()A . 日 A k 2n a, k ZB . 日 3= (2 k+ 1) Hn a, k ZnC. 3 3= k 2去2+ a, k Z3D . 3 = k 2-2 n+ a, k Z解析：選C.依題意，射線OP 1所對(duì)應(yīng)的角丫滿足a+ y= ki 2 n+ n, ki Z, 射線nOP2所對(duì)應(yīng)的角3滿足 汁3= k2 2 n 2， k2 Z,一得 3 a= (k2 ki) 2n3 n 即 3= k 22 + a k 乙P按逆時(shí)針Ak2. 如圖，動(dòng)點(diǎn) P, Q從點(diǎn)A(4, 0)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) 方向每秒鐘轉(zhuǎn)n弧度，點(diǎn)q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)n弧度，則3 6(1)P, Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間為 .(2)P, Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)為解析：設(shè)P, Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間是 t秒,則 t 3+1 6 = 2 n解得t= 4.所以第一次相遇時(shí)所用