2018-2019學(xué)年北師大版必修3教學(xué)案：復(fù)習(xí)課三概率版含解析

1、數(shù)學(xué)此類問(wèn)題主要考查古典概型的求法,題型既有選擇題、填空題，也有解答題且常與統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題綜合考查.1.互斥事件與對(duì)立事件的概率考點(diǎn)精要復(fù)習(xí)課(三)概率古典概型(1) 互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外， 還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生. 因此對(duì)立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是對(duì)立事件, 對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況.(2) 當(dāng)事件 A與B互斥時(shí)，P(A+ B)= P(A) + P(B),當(dāng)事件 A與B對(duì)立時(shí)，P(A + B)= P(A) + P(B) = 1,即即 P(A)= 1 P(B).(3) 求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此

2、互斥的事件的和; 二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A) = 1 P(瓜)求解.2.古典概型的求法對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清基本事件的總數(shù)n與事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m,有時(shí)需用列舉法把基本事件一一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)=罟求出事件發(fā)生的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某種順序，以保證不重復(fù)、不遺漏.典例柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，試求下列事件的概率：(1) 取出的鞋不成雙；取出的鞋都是左腳的；(3) 取出的鞋都是同一只腳的；(4) 取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙.解用A1, A2； B1, B2； C1, C2分別表示3雙不

3、同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳，則從6只鞋中取2只所有的取法有：A1A2, A1B1, A1B2, A1C1, A1C2,A2B1 , A2B2, A2C1 , A2C2,B1B2, B1C1, B1C2 ,B2C1 , B2C2,C1C2，共 15 種.(1) 取出的鞋不成雙的所有取法有：A1B1 , A1B2, A1C1 , A1C2,A2B1, A2B2, A2C1, A2C2,BiCi, B1C2, B2C1 , B2C2,共 12 種.124其概率為Pi = = 5.(2) 取出的鞋都是左腳的所有取法有：A1B1, Bi Ci，A1C1，共 3 種.31其概率為P

4、2=135= 5.（3）取出的鞋都是同一只腳的所有取法有：A1B1, Bi Ci, A1C1 , A2B2, A2C2, B2C2,共 6 種.其概率為卩3 =昱=2.155（4）取出的鞋一只左腳的，一只右腳的但不成雙的所有取法有:A1B2, A1C2, A2B1, A2C1, B1C2, B2C1,共 6 種.其概率為P4 =詈5.類題通法在古典概型中，計(jì)算概率的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到基本事件的數(shù)目，這就需要我們能夠熟練運(yùn)用圖表和樹狀圖，把基本事件一一列出.而有許多試驗(yàn)，它們的可能結(jié)果非常多，以至于我們不可能將所有結(jié)果全部列出，這時(shí)我們不妨找找其規(guī)律，算出基本事件的數(shù)目.題組訓(xùn)練1. 如果3個(gè)正整數(shù)

5、可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為 （）解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不冋的數(shù)共有如下 10個(gè)不冋的結(jié)果：（1,2,3） ,（1,2,4）,A.3_10B.J1 1(1,2,5), (1,3,4) , (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5),1所以概率為士.故選C.2某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)8

6、5未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)Ai, A2, A3, A4,A5,3名女同學(xué)Bi，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1人，求Ai被選中且 Bi未被選中的概率.解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45 30= 15(人),所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為p=拾(2) 從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1 , B1 , A1 , B2

7、, A1, B3 , A2, B1 , A2, B2 , A2, B3 , A3, B1 , A3 , B2, A3 , B3, A4 , B1, A4 , B2 , A4 , B3 , A5 , B1 , A5 , B2, A5 , B3,共 15 個(gè).根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：A1 , B2 , A1 , B3,共 2 個(gè).2?？键c(diǎn)二因此A1被選中且B1未被選中的概率為 P =.幾何概型此類問(wèn)題多以選擇題、填空題的形式考查幾何概型、概率的求法，屬于低檔題.考點(diǎn)精要1.幾何概型的基本特征：基本事件的無(wú)限性、每個(gè)事件發(fā)生的等可能

8、性.2. 幾何概型的概率計(jì)算公式：構(gòu)成事件 A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)P(A)=試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積.典例(1)在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)， 連成一條弦，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角 形的邊長(zhǎng)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)，過(guò)一條直徑上任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接 等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率.(3) 以半徑為1的圓內(nèi)任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率.解(1)記事件A = 弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng),取圓內(nèi)接等邊 BCD的頂點(diǎn)B為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，|BE|>|BC| ,而劣弧CD的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的3,所以由幾何概

9、率公式得 P(A) = 1.33記事件A= 弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng),如圖所示,不妨B在過(guò)等邊厶BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦， 顯然當(dāng)弦為CD時(shí)就是邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于|CD|長(zhǎng)的條件是圓心 0到弦的距離小于|0F|,由幾何概率公式得P(A) =1-X 22212.1=°即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是記事件A= 弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng) ，如圖所示，作等邊 三角形的內(nèi)切圓，當(dāng)以小圓上任一點(diǎn)為切點(diǎn)作弦時(shí)，弦長(zhǎng)等于等邊三角形的邊長(zhǎng)，所以弦長(zhǎng)超過(guò)內(nèi)接三角形邊長(zhǎng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi)，小圓、/、1,、 nX g)-半徑為J所以由幾何概率公式得 P(

10、A)=廠=1.即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊2nX 14三角形的邊長(zhǎng)的概率是1.類題通法三個(gè)題目都是在圓內(nèi)任意作弦使得弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)，但三個(gè)題目中由于“等可能”的含義不同，得到的概率不同.因而在解決幾何概率問(wèn)題時(shí)， 必須找準(zhǔn)觀察角 度，明確隨機(jī)選取的含義，判斷好基本事件的等可能性.題組訓(xùn)練1.在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) x,則事件“K log* x+* < 1”發(fā)生的概率為()32B.31 1eqd.4解析：選A 不等式1 < log2 x+ f三1可化為log22< log* x+十< log£，即x+gw 2，解得Ow xw 2，故由幾何概型的概率

11、公式得i- o p=34.2.如圖，矩形 ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)x+ 1, x>0,且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=1x+ 1, x<0ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()B.；C.31D.1x + 1, x> 0,解析：選B 因?yàn)閒（x） =1B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）, D-2X+ 1, x<0,點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,2）, A點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,0），故矩形ABCD的面積為2 X 3 = 6,陰影部分的面積為31 32 1X 3 X 1 =，故卩=一=一2 26 4'13在區(qū)間0,1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) x, y,記p1為事件“ x

12、+ y>”的概率，P2為事件“ |x1 1-y|w 1 ”的概率，P3為事件“ xyw的概率，則（）A . P1< P2< P3B . P2< P3< P1C. P3< P1< P2D . P3< P2< P1解析：選B滿足條件的x, y構(gòu)成的點(diǎn)（x, y）在正方形OBCA及其邊界上.事件 “x + y>2”對(duì)應(yīng)的圖形為圖所示的陰影部分；事件“x-y|w 1 ”對(duì)應(yīng)的圖形為圖所示的陰影1部分；事件“xyw扌”對(duì)應(yīng)的圖形為圖所示的陰影部分.對(duì)三者的面積進(jìn)行比較，可得P2< P3< P1.Bid.5解析：選B所有的基本事件為：（