指數(shù)函數(shù)知識點總結

1、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)騫的運算a (a0)a (a0)1 .根式的概念：一般地，如果 xn a ,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且nCN 負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作n/0 0。當n是奇數(shù)時，Van a ,當n是偶數(shù)時，Van | a |2 .分數(shù)指數(shù)哥正數(shù)的分數(shù)指數(shù)哥的意義，規(guī)定:ma n n a m (a 0, m, n N ,n 1)：11*a = n m-(a 0, m,n N ,n 1) na0的正分數(shù)指數(shù)哥等于3.實數(shù)指數(shù)哥的運算性質r r r s(1) a a ar s rs(a ) ar r s(ab) a a(二)指數(shù)函數(shù)及其性質0, 0的負分

2、數(shù)指數(shù)哥沒有意義(a 0, r,s R);(a 0,r,s R)；(a 0,r,s R).1)叫做指數(shù)函1.1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) y ax(a 0,且a數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a>10<a<16.54321 11A、"010定義域R定義域R值域y>0值域y>0在R上單 調遞增在R上單 調遞減非奇非偶 函數(shù)非奇非偶 函數(shù)函數(shù)圖象 都過定點 (0, 1)函學 都i(0攵圖象 立定點 ,1)注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：(1)在a,b上，f(x)a

3、x(a0且 a 1)值域是f (a),f(b)或f(b),f(a)(2)若x 0,則f(x) 1； f(x)取遍所有正數(shù)當且僅當x R；(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x) ax(a 0且a1)，總有f(1) a；指數(shù)函數(shù)例題解析【例1】求下列函數(shù)的定義域與值域：1(1)y = 3石(2)y =，2""1(3)y =，3 3x 1解定義域為x £ R且x w 2 .值域y > 0且y w 1 .(2)由 2x+2-1>0,得定義域x|x 2,值域為 y>0. 0W3 3x1v3,(3)由 33x-1 >0,得定義域是x|x <2值域是0Wy&l

4、t; J3.42 .練習： y 2x4；(2) y(-)|x1;3則它們的圖象是y=dx的圖像如圖2. 6 2所示,例2指數(shù)函數(shù)y=ax, y=bx, y=cx則a、b、c、d、1之間的大小關系是A. avb1vcvdB. avbv1vdvcC. b v av 1 v dv cD. cvdv1vavb解 選(c),在x軸上任取一點(x , 0), 則得 bv av 1 v d v c.練習：指數(shù)函數(shù)川耿力士亦 滿足)().【例3】比較大小:（i）J2、V2、5，;4、8;8、9彳6的大小關系是:3(2)4(2)0.6 5(3)4.5 4-1 3.7 3.611234解(1)2222,V223,

5、V42,8'82。91162© ,函數(shù)y=2x, 2>1,該函數(shù)在(一°°, +oo)上是增函數(shù)，又1<3<2<4<1,72V <8< V4< Vi6< J2.38592,3 1解（3）借助數(shù)4.5 3.61>(萬)2,打橋，利用指數(shù)函數(shù)的單調性，4.5 4.1 >4.53.6 ,作函數(shù)y1 = 4.5 x, y2 = 3.7x 的圖像如圖 2. 6-3,取 x=3.6,得 4.5 3.6 > 3.7 3.64.5 4.1 >3.7 3.60.10.2(2 ) 0.8 與 0.8

6、說明 如何比較兩個哥的大?。喝舨煌紫然癁橥椎母纾倮弥笖?shù)函數(shù) 的單調性進行比較，如例 2中的（1）.若是兩個不同底且指數(shù)也不同的哥比較大小 時，有兩個技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的（2）.其二構造一個新的哥作橋梁，這個新的哥具有與4.5 4.1同底與3.7 3.6同指數(shù)的特點，即為 4.5 3.6 （或3.7 4.1 ),如例 2 中的(3).練習：(1) 1.72.5 與 1 .73(3 ) 1. 70.3 與 0. 93.12.12.0(4)3.5 和2.7【例4】比較大小Ran與;/OL(a>0且A1, n>1).n 1 二 n1解aEnan 1r1當 0V a&l

7、t; 1, ' n>1, - >0,n(n 1)1 n(n 1)n 1 n j n n 1- a < 1,xa < va1 當a> 1時，n>1, >0,n(n 1)1 n(n 1)n 1 n 、n n 1- a >1, Va > Va 【例5】作出下列函數(shù)的圖像：1,x 1x(1)y = (2)(2)y=2 2,(3)y =2|x-1|(4)y =|1 3x|1 、，解（1）y = （-）x1的圖像（如圖2.一 1 一64),過點(0,-)及(1, 1).23a8a41 一一一，*是把函數(shù)y=（；）x的圖像向左平移1個單位得到的.

8、解（2）y =2x2的圖像（如圖2. 65）是把函數(shù)y = 2x的圖像向下平移 2個單位得到的.解（3）利用翻折變換，先作y=2|x|的圖像，再把y=2|x|的圖像向右平移1個單位，就得y=2|x-1|的圖像（如圖2. 6-6）.解（4）作函數(shù)y=3x的圖像關于x軸的對稱圖像得 y = 3x的圖像，再把y=3x的圖像向上平移1個單位，保留其在 x軸及x軸上方部分不變，把 x軸下方的圖像以x軸為對稱軸翻折到 x軸上方而得到.(如圖2. 67)ax 1 .【例8】 已知f(x) = r(a>1) (1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域； a 1證明f(x)在區(qū)間(一8, +OO

9、)上是增函數(shù).解(1)定義域是R.x a f( x) = x aax 1二 -3，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).1、A、2、 ax 1函數(shù)尸F(xiàn)T yW1, . .有 ax=y y 1即f(x)的值域為(一1,1).(3)設任意取兩個值_ axl 1ax2 1 _一 x. 1 xo 1 一a l a 2y 1->01 yTVy<1,x1、x26(一 oo)+ oo )且 x1x2. f(x 1) -f(x 2)-a> 1, (axl 1)(ax21)1(ax2 + 1)>0, f(x1)<f(x2),故f(x)在R上為增函數(shù).單元測試題、選擇題:(本題共12小題，每小題5分

10、,60分)化簡Vya916a13212 1611 2萬1<ax2, (ax1 + 1)132B、113212 3212 323、1,b0,且abb 2灰，則aba b的值等于（,64、函數(shù)f(x)5、卜列函數(shù)式中，滿足A、6、卜列f（x）(1奇函數(shù)7、已知b, ab在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是f(x 1)x、2a )中、偶函數(shù)0,下列不等式2fa ,2（x）的是（）、2x(1)、非奇非偶函數(shù)D、既奇且偶函數(shù)2b;(4)113b3 ；中恒成立的有（8、函數(shù)奇函數(shù)9、函數(shù)yB1 2x、偶函數(shù)-的值域是（1、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù),1,00,1,、（,1）U0,10、已知01,b1,

11、則函數(shù)xa b的圖像必定不經過（a第一象限、第三象限D 、第四象限11、F(x)2 2xf (x)(x0）是偶函數(shù)，且f（x）不恒等于零，則 f（x）（A是奇函數(shù)C是偶函數(shù)、可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)、不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)12、批設備價值的價值為（a萬元, ）由于使用磨損，每年比上一年價值降低b% ,則n年后這批設備A na(1 b%)B 、a(1 nb%) C 、a1 (b%)n d 、a(1 b%)n二、填空題：（本題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案填寫在答題紙上）13、若 10x 3,10y 4,則 10xy2x2 8x 1一 114、函數(shù)y -( 3< x<

12、1)的值域是。215、函數(shù)y 32的單調遞減區(qū)間是 。16、若 f(52x1) x 2,則 f(125) 。三、解答題：(本題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)2217、設0 a 1,解關于x的不等式a2x 3x2 a2x 2x 3。1118、已知x 3,2 ,求f(x) 1的最小值與最大值。4219、設 a R, f(x)a 2x2(x R),試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)。20、已知函數(shù)y2x 5,求其單調區(qū)間及值域。21、若函數(shù)y 4x 3g2x 3的值域為1,7，試確定x的取值范圍。X22、已知函數(shù)f(x)a(a 1) (1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函

13、數(shù)的值域；(3)證明a 1f(x)是R上的增函數(shù)。指數(shù)與指數(shù)函數(shù)同步練習參考答案題號123456789101112答案ACCDDBCADAAD13、919 人2214、 一 ，3,令U 2x 8x 12(x 2)9 , 3< x< 1,9< U < 9,31,，一一又二 y 1 為減函數(shù),315、 0,2，令y 3U,U 2 3x2, y 3為增函數(shù)，y 32的單調遞減區(qū)間為0,(3)設 x1,x2 R,且 x1x2 ，16、f (125)f(53)f(52 21) 2 2 017、ax在上為減函數(shù)，:222x2 3x 2 2x2 2x 3a2x23x2 2x2 2x18、一、11 -f (x) 4x 27 12x x28.則當1 ,即x 1時,2f(x)有最小值8,即x3時,f(x)有最大值57。19、要使f(x)為奇函數(shù)，:R,，需f(x) f(x) 0, f(x)2a 2x 1,f(x)2x12x 12x 10 ,得2x 12a2(2x 1)2x1。20、令2x5,則y是關于U的減函數(shù),上的減函數(shù),1,上的增函數(shù)，1 x232x 5在,1上是增函數(shù)，而在1,上是減函數(shù)，又丁U x2 2x 5(x1)22x 5的值域為0,21、 y4x 3 2x 3 22x 3 2x(2x)(2x)由函數(shù)3 2x3 2x3< 71<