[指導]倒立擺系統(tǒng)的控制器設計

1、自動控制理論課程設計倒立擺系統(tǒng)的控制器設計學生姓名:指導教師:班 級:二0二年十二月課程設計指導教師評定成績表項目分 值優(yōu)秀 (100>x$ 90)良好 (90>xn80)屮等(80>x70)及格(70>x260)不及格(x<60)評 分參考標準參考標準參考標準參考標準參考標準7習 態(tài)度15學習態(tài)度認 真，科學作風 嚴謹，嚴格保 證設計時間并 按任務書屮規(guī) 定的進度開展 各項丄作學習態(tài)度比較 認真，科學作 風良好，能按 期圓滿完成任 務書規(guī)定的任 務7習態(tài)度 尚好，遵守 組織紀律， 基本保證 設計時間， 按期完成 各項工作學習態(tài)度尚 可，能遵守組 織紀律，能按 期

2、完成任務學習馬虎, 紀律渙散， 工作作風 不嚴謹，不 能保證設 計時間和 進度技術 水平 與實 際能力25設計合理、理 論分析與計算 正確，實驗數(shù) 據(jù)準確，冇很 強的實際動手 能力、經(jīng)濟分 析能力和計算 機應用能力， 文獻查閱能力 強、引用合理、 調(diào)査調(diào)研非常 卜理、可信設計合理、理 論分析與計算 確，實驗數(shù) 據(jù)比較準確, 有較強的實際 動手能力、經(jīng) 濟分析能力和 計算機應用能 力，文獻引用、 調(diào)查調(diào)研比較 合理、可信設計合理， 理論分析 與計算基 本正確,實 驗數(shù)據(jù)比 較準確，有 一定的實 際動手能 力，主要文 獻引用、調(diào) 査調(diào)研比 較可信設計基本合 理，理論分析 與計算無大 錯，實驗數(shù)據(jù)

3、無大錯設計不合 理，理論分 析與計算 冇原則錯 誤，實驗數(shù) 據(jù)不可靠， 實際動手 能力差，文 獻引川、調(diào) 查調(diào)研有 較大的問 題創(chuàng)新10有重人改進或 獨特見解，有 一定實用價值有較人改進或 新穎的見解， 實用性尚可有一定改 進或新的 見解有一定見解觀念陳舊結構嚴謹，邏結構合理，符結構合理，結構基本合內(nèi)容空泛，論文輯性強，層次合邏輯，文章層次較為理，邏輯基本結構混亂，（計清晰，語言準層次分明，語分明，文理清塑，文字尚文字表達算確，文字流暢，言準確,文字通順，基本通順，勉強達不清，錯別書、完全符合規(guī)范流暢，符合規(guī)達到規(guī)范到規(guī)范化要字較多，達圖50化要求，書寫范化要求，15化要求，書求；圖紙比較不到

4、規(guī)范紙）工整或川計算寫工整或川計寫比較工工整化要求；圖撰寫機打印成文；算機打印成整；圖紙比紙不工整質(zhì)量圖紙非常工文；圖紙工整、較工整、清或不清晰整、清晰清晰晰指導教師評定成績:指導教師簽名：年 月 日重慶大學本科學生課程設計任務書課程設計題目倒立擺系統(tǒng)的控制器設計學院自動化學院專業(yè)自動化年級2010 級1、已知參數(shù)和設計要求：m：小車質(zhì)量1.096kgm：擺桿質(zhì)量0.109kgb：小車摩擦系數(shù)0.1n/scci：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.25m i：擺桿慣量0.0034kgm2建立以小車加速度為系統(tǒng)輸入，以擺桿角度為系統(tǒng)輸出的被控對象數(shù)學模型。 分別用根軌跡法、頻率特性法設計控制器使閉環(huán)

5、系統(tǒng)滿足要求的性能指標；調(diào)整 pid控制器參數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足耍求的性能指標。2、利用根軌跡法設計控制器，使得校止后系統(tǒng)的性能指標滿足： 調(diào)整時間卩=0.55(2%誤差帶)最大超調(diào)量a;,%<10%3、利用頻率特性法設計控制器，使得校正后系統(tǒng)的性能指標滿足:(1) 系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10；(2) 相位裕量為50°；(3) 增益裕量等于或大于10db。4、設計或調(diào)整pid控制器參數(shù)，使得校正后系統(tǒng)的性能指標滿足: 調(diào)整時間.=2$(2%誤差帶)最大超調(diào)量a/?%<15%學生應完成的工作：1、利用設計指示書屮的實際參數(shù)，通過機理推導，建立倒立擺系統(tǒng)的實際數(shù) 學模型。2、

6、進行開環(huán)系統(tǒng)的時域分析。3、利用根軌跡法設計控制器，進行閉壞系統(tǒng)的仿真分析。4、利用頻域法設計控制器，進行閉環(huán)系統(tǒng)的仿真分析。5、設計或調(diào)整pid控制器參數(shù)，進行閉環(huán)系統(tǒng)的仿真分析。6、將所設計的控制器在倒立擺系統(tǒng)上進行實時控制實驗。7、完成課程設計報告。參考資料：1、固高科技有限公司.直線倒立擺安裝與使用手冊r1.0, 20052、固高科技有限公司.固高matlab實吋控制軟件用戶手冊，20053、matlab/simulink 相關資料4、謝昭莉，李良筑，楊欣.口動控制原理.北京：機械工業(yè)出版社，20125、胡壽松.自動控制原理（第五版）.北京：科學岀版社，20076、katsuhiko

7、ogata.現(xiàn)代控制工程.北京：電子工業(yè)出版社，2003課程設計的工作計劃：1、布置課程設計任務；消化課程設計內(nèi)容，查閱并參考相關資料，進行初步 設計（3天）;2、按課程設計的要求進行詳細設計（3犬）；3、進行實時控制實驗，并按課程設計的規(guī)范要求撰寫設計報告（3天）；4、課程設計答辯,實時控制驗證（1天）。任務下達日期2012年12月24日完成日期2013年1月6 h指導教師（簽名）學生 （簽名）目錄摘要11 引 言21.1 問題的提出21.2 直線一級倒立擺21.3 問題分析22小車倒立擺實際數(shù)學模型的建立32小車倒立擺物理模型的建立32.2 小車倒立擺實際數(shù)學模型的建立63開環(huán)響應分析64

8、根軌跡法設計94 未校正系統(tǒng)根軌跡分析94.2 根軌跡校正及仿真94.2.1 根軌跡校正94.2.2 超前校正設計104.2.3 校正參數(shù)計算104.2.4 matlab 計算和仿真124.3 改進優(yōu)化設計134.4 設計吋遇到的問題分析155頻域法控制器設計155頻威法分析155.1.1未校正頻域法bode圖與奈奎斯特分析155.2 頻域法校正175.2.1 控制目標說明175.2.2校正方式選擇與具體步驟175.3 用matlab進行階躍響應仿真205.4 控制器改進236 pid控制器266pid簡介266.1 pid控制設計分析266.3 pid控制器的參數(shù)測定276.3.1 控制目標

9、說明276.3.2 控制器的參數(shù)測定277課程設計總結2930參考文獻摘 要支點在下，重心在上，恒不穩(wěn)定的系統(tǒng)或裝置的叫倒立擺。相反，支點在上而重 心在下的則稱為順擺。在日常生活屮，擺以不同的形式存在著。倒立擺的種類：懸掛 式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。一級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。由倒立 擺和其它元件組成的元件稱為倒立擺系統(tǒng)。倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、 非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系 統(tǒng)的研究能有效的反映控制屮的許多典型問題：如菲線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問 題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是

10、否有 較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。倒立擺系統(tǒng)中最基本、經(jīng)典的是平面直線一級倒立擺，它是在直線運動模塊上裝 有擺休組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載 一級擺體組件。倒立擺系統(tǒng)是理想的自動控制教學實驗設備，使用它能全方位的滿足 自動控制教學的要求。許多抽象的控制概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性，可控性，系統(tǒng)收斂速度和 系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以通過倒立擺直觀的表現(xiàn)岀來。從時域角度著手，分析直線一級倒立擺的開環(huán)單位階躍響應和單位脈沖響應，得 出該系統(tǒng)的開環(huán)響應是發(fā)散的這一結論。利用根軌跡分析法，頻域分析法，pid控制，并借助matlab -級其中的simulink 仿真系統(tǒng)

11、輔助分析，通過加入超前校正、滯后超前校正環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的校正后的開 環(huán)傳遞函數(shù)。同樣，利用頻域分析法也得到校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。對倒立擺進行有目 的的控制，從而達到預期的效果。1. 1 冋題的提出倒立擺是機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機結合, 其被控系統(tǒng)木身又是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，可以 作為一個典型的控制對象對其進行研究。通過倒立擺這樣一個典型的控制對彖，檢驗 新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中 找擊最優(yōu)秀的控制方法。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究屮的一 種比較理想的實驗手段, 為自動控制理論的教學、實

12、驗和科研構建一個良好的實驗平臺，以用來檢驗某種控制 理論或方法的典型方案。由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、 機器人控制技術、人工智能、導彈攔截控制系統(tǒng)、航空對接控制技術、火箭發(fā)射屮的 垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。 平面倒立擺可以比較真實的模擬火箭的飛行控制和步行機器人的穩(wěn)定控制等方面的研 究。1.2 直線一級倒立擺直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一。 該系統(tǒng)相對其他倒立擺較為簡單，但能體現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)控制的基本思想，故這里主要 針對直線一級倒立擺進行設計。倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一

13、個平衡位置，并ii使之沒有大的振蕩 和過大的角度和速度。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的 位置。此為倒立擺控制器的設計目標。倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移（即位置）和 擺桿的傾斜角度期望值，計算機在每一個采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的 實際位置信號，與期望值進行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動 直流屯機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。直流屯機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動， 擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂宜的平面上自由地擺動。作 用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿 著水平鐵軌運動。當沒有作用力時，

14、擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為 了使桿子擺動或者達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往 前或朝后拉動。1.3 問題分析倒立擺的控制目標：倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置， 并且使z沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能 克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。倒立擺控制系統(tǒng)輸出為擺桿角度和小車位置，通過對控制對彖設計合適的校 止環(huán)節(jié)使得擺桿起擺后保持穩(wěn)擺，設計方式有根軌跡法、頻域法、pid法，串聯(lián) 校正方式又有超前校正、滯后校正、滯后超前校正。根據(jù)不同分析方式的特點選取合適的校正方法，設計合適的控制器，使系統(tǒng)滿足相應的指標。2小車

15、倒立擺實際數(shù)學模型的建立2.1 小車倒立擺物理模型的建立鑒于小車倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。因此，本文通 過機理建模方法建立小車倒立擺的實際數(shù)學模型。根據(jù)微分方程求解傳遞函數(shù)的方法 建模如下：若忽略了空氣阻力和各種摩擦，則可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿 組成的系統(tǒng)，如圖2.1所示。圖2.1各符號的含義及在木系統(tǒng)屮實際的數(shù)值見表1。圖2. 1直線一級倒立擺模型1倒立擺系統(tǒng)參數(shù)符號意義數(shù)值單位m小車質(zhì)量1.096kgm擺桿質(zhì)量0.109kgb摩擦系數(shù)0.1n/m/sec1轉(zhuǎn)軸到擺桿質(zhì)心的長度0.25mi擺桿轉(zhuǎn)動慣量0.0034kg*m *mx小車位罟朋標m0擺桿與垂

16、直向卜方向的夾角rad4)擺桿與垂直向上方向的夾角radf施加在小車上的力n圖2.2是系統(tǒng)屮小車和擺桿受力分析圖。其屮n和p為小車與擺桿相互作用力的水平和垂宜方向的分量。圖示方向為矢量正方向。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:mx = f-bx-n由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到如下等式:d2 (x + zsinp)即：n = mx + mlocos0-m!02 sin。(3)把這個等式代入式1中，就得到系統(tǒng)的水平方向運動方程:（m + m） x + mid cos 0 - mid2 sin & = f對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到：d （/cos p - m

17、g = mdr即：p-mg = -mlsin0-cos。 drdt(4)(5)(6)bx圖2.2小車隔離受力圖圖2.3擺桿隔離受力圖 力矩平衡方程如下：-pl sin 0-nl cos & = 2合并式（6）和（7）消去p和“得到第二個運動方程:(l + ml2)0+ mgl sin 0 = -mix cos 0(8)設。十0,假設0與1 （單位均是曲）相比很小，即0«1,則可以進行如下近似:cos& = -l,sin = -0,(9)用u來代表被控對象的輸入力f,線性化后兩個運動方程如下:(/ + ml2= mix(m +mx + bx-ml = u(10)假設0、

18、兀和它們的各階導數(shù)的初始值均為零。對上式進行拉普拉斯變換，得到:(/ + ；7?/2)-mg/o(5)= mlx ($疋(m +/n)x(s)+ 方x(s)s_ 加(s)¥ =/(s)(11)由于角度0為輸出量，求解方程組的第一個方程，可以得到擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù):（八加）豊ml s2nj/ ($) _ mis2x ($)(/ + m/2)52 -mgl(13)如果令u =戈，則擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為:($)_mlv ($)(/ + 加廠 ”2 - mgl(14)把上式代入方程組的第二個方程，得到:(m + m)也e ®2+b2"+"

19、;")+鳥 <d(5)5-ah/<d(5)52 =u(s)ml整理后得到傳遞函數(shù)：mis2(s)二qu(5)4 , b(i + ml2) 3 (m + m)mgl 影 bmgl °s +sss(15)qqq其屮 g = (m +m)(i + m/2)-7?72/2可以得到如下結論：擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù):($) _mis1x(s) (/ + m/2)52 - mgl擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：($) _mlv(5)(/ +ml2)s2 - mgl擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：ml 2g)二qj_u(5)4 b(i +m卩)3 (a/ +

20、m)mgl 2 bmgls i _s s sqqq其中 g = (m +)(/2.2 小車倒立擺實際數(shù)學模型的建立木系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的 實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：0(5)_0.0272552x(5) 0.01021252 -0.26705(16)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：0(5)_0.02725v(5)_ 0.0102125?-0.26705(17)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：($) _2.35655s一 h + 0.0883167/ 27.9169$ 2.30942(18)3開環(huán)響應分析在上述推到過程中，

21、我們已經(jīng)得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。據(jù)此，我們將針對當輸入 為小車加速度時，擺桿角度與小車位置的脈沖響應和階躍響應。由式(216)、(2-17) 或者物理公式均可得到小車位移和小車加速度的傳遞函數(shù)：xg)= 1 y($)_ 護(3-1)當輸入為小車加速度時擺桿角度的單位階躍響應已知擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)為：器=0.027250.0102125?-0.26705在matlab屮建立m文件oloopl.m 內(nèi)容如下:m=0.02725;n=0.0102125 0-0.26705;t=0:0.1:20;step(m,n,t)axis(o 4 0 100)階躍響應曲線：m figure 110090

22、80step responsefile ldrt view insert tools desktop window help70time (sice)系統(tǒng)階躍響應曲線上升的斜率幾乎趨近丁無窮，且持續(xù)上升不能達到穩(wěn)定狀態(tài), 因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當輸入為小車加速度時擺桿角度的單位脈沖響應 _0.02725已知傳遞函數(shù)為：卩0.0102125?-0.26705在matlab屮建立m文件命名為oloop2.m 內(nèi)容如下:m=0.02725;n=0.0102125 0-0.26705;t=0:0:20;impulse(in,n,t)axis(0 4 0 100)impulse response 100m

23、 figure 1dossfile £dit view insert iools qesktop window fcjelp* u q tn % s e ©e 與單位階躍響應同理，系統(tǒng)的單位脈沖響應也不能達到穩(wěn)定，其曲線和單位階躍 響應曲線有相似的趨勢。無論是單位階躍響應還是單位脈沖響應，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。隨后，利用matlab中的simulink仿真工貝進行仿真，擺桿角度的階躍響應和脈沖 響應分別如圖3.1、3.2所示。圖3.1擺桿角度的階躍響圖3.2擺桿角度的脈沖響應根據(jù)上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，利用matlab繪制出階躍響應曲線如圖3.3(l3061(cmbo 31

24、圖3.3系統(tǒng)狀態(tài)方程的階躍響丿應111!線由圖3. 3可以看岀，在單位階躍響應作用下，擺桿角度是發(fā)散的。4 根軌跡法設計4. 1未校正系統(tǒng)根軌跡分析本系統(tǒng)米用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應，此前已經(jīng)得 出的傳遞函數(shù)，即式（2-17）。編程求解其開環(huán)零極點，由結果可知該系統(tǒng)不存在開環(huán)零點，僅有兩個絕對值相 等的開環(huán)實極點p二±51136 ,分布情況如圖4。建立m文件，命名為rootlocus.mnum=0.02725;den=0.0102125 0-0.26705;rlocus（num,den）（s） _0.02725從而得到傳遞函數(shù)心）0 0102125? -

25、76;26705對應的根軌跡661 1 11 1-40real axis246root locus4 2 0 2圖4.1原系統(tǒng)跟軌跡曲線圖由根軌跡圖像可知，閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡 起始于該極點，并沿著實軸向左到位于原點處，系統(tǒng)有兩個極點"=±51136,有一極 點為正，根軌跡從兩極點開始，經(jīng)實軸在原點會合，并分離到正負虛軸上，并月沿著 虛軸延伸到無窮遠處，因此無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即直 線一級倒立擺系統(tǒng)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4. 2根軌跡校正及仿真4. 2. 1根軌跡校正對于以上不穩(wěn)定的情況，需要設計控制器滿足如下條件: 調(diào)

26、整時間：辦（2%）；最大超調(diào)量：%-10% 根軌跡法控制器設計步驟：a確定系統(tǒng)的希望閉環(huán)主導極點曲公式勺一"<10%得到:可取 < = 0.591155 ,可取：=0.6圖4.2期望極點與超調(diào)量的關系b.由： = cos&,結合圖4.2可以得到：0= 0.938306 (弧度)，其中0為位于第二象限 的極點和o點的連線與實軸負方向的夾角。又由(4-2)4 < 0.55(2% im 差帶)3對調(diào)節(jié)時間留有一定余量，取其為0.2s,可以得到：叫=13.5328,再由式必可以得 到期望閉環(huán)極點。s = ©(cosy+jsin0)ox代入數(shù)據(jù)后，可得期望的

27、閉環(huán)主導極點5i,2=-8.120±j 10.8264. 2. 2超前校正設計未校正系統(tǒng)的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉壞期望極點，因此需耍對系統(tǒng)進 行超前校正，設控制器為：k(s) = a 75 + 1 = (a < 1)刃 + 1 s + pc(4.4)4. 2.3校正參數(shù)計算計算超前校正裝置應提供的相角，已知期望的閉環(huán)主導極點和系統(tǒng)原來的極點的 相角和為：2g(») = _st=-4.27676舊(4-5)因此，校正裝置提供的相角為:(4-6) = -3.14-(-4.27676) = 1.13517乂己知0= 0.938306,對于最大的”值的廠角度可曲下式計

28、算得到:廠=丄(龍_&_0)0.534058(4-7)圖4. 3求解校正裝置零極點原理圖按最佳確定法作圖規(guī)則，畫岀相應的直線，求出超前校止裝置的零點和極點，分別為: (勺=一26.296476.91454、0.02725kg + 6.91454)5$) =:校正后系統(tǒng)的開壞傳遞函數(shù)為：0.0102125 -0.26705 $ + 26.29647由幅值條件并設反饋為單位反饋，所以有k = 1134562174系統(tǒng)的超前校正控制器：小 / 、113.4562174(5 + 6.91454)八$ + 26.29647或通過計算出需要補償超前角a計算出需要補償?shù)某敖谴a償超前角的計算公式為

29、段=-0-18°要使主導極點在根軌跡上，需要在加入補償超前角后其滿足相角條件甲=工厶-4-2厶一 pl可得如下關系：r曰了 =丄3_0_化.)b.廠的值可以由公式2求得作出校正裝置參數(shù)4和代與點s1在s平面上的幾何關系，可由止弦定理得到如下公 式：sin(似+ 了)_ sinq一0-叭一y) i pc®同樣解得4和以 市2（.加）丹（溝）|=1,并設反饋為單位負反饋，反饋系數(shù)k可由如下公式計算:k j®+px|s|_5.114|x|s+514| 2.6683x|s+z，解得 k4. 2. 4 mat i ab計算和仿真編寫m文件命名為rlocus.m進行階躍響應分

30、析 num=3.09168 21.23027;den=0.0102125 0.268553 -0.26705 -7.022472; sys=tfi(num,den);sys2=feedback(sys, 1);t=0:0.01:20;step(sys2,t)axis(0 1 0 2)得到輸出曲線如下：rm figure 1pf* 曠 rfile edit viewmbinsert tools desktop window 旦 elp10qdl d -ka-毀謠氓 s 口通過matlab編程作圖，得到校正后系統(tǒng)的跟軌跡 編寫m文件命名為root.m進行階躍響應分析 num=3.09168 21.

31、23027;den=0.0102125 0.268553 -0.26705 -7.022472; rlocus(num,dcn)加入超前校正后系統(tǒng)根軌跡從圖中可看出，系統(tǒng)的三條根軌跡都有位于左半平面的部分，選取適當?shù)膋就能 穩(wěn)定系統(tǒng)。從階躍相應圖中可以看出由圖可知，調(diào)節(jié)時間ts=0.552不滿足條件，最大 超調(diào)量op%=23.8%不滿足，系統(tǒng)仍存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，故需要調(diào)節(jié)增益的人小向要 求的條件逼近。4. 3 改進優(yōu)化設計上述校止方法超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間都接近要求，穩(wěn)態(tài)誤差較大，如果采用siso design tool來改進零極點以及系統(tǒng)增益的話，可以得到更好的效果。在上述控制器的基礎上，通過調(diào)

32、節(jié)增益k,極點與零點的人小，對校正函數(shù)進行 最優(yōu)化。增人增益k的值，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，使極點越遠離虛軸，便可減小超調(diào)量, 但會延長調(diào)節(jié)時間；使零點越遠離虛軸，便增大了超調(diào)量。基于以上原則 在s1s0工具箱的主窗口調(diào)節(jié)使得其調(diào)整時間：_=05£（2%誤差帶），最人超調(diào)量:<7% <10%匚arvogrtcw zroh/oproz«ii(ro/4/oor*矯正后根軌跡圖通過編寫m文件rlocus.m如下num=30.96185739 200.2390011;den=0.0102125 1.021119791 -0.26705 -26.70159511; sys=tf

33、(num,den);sys2=fccdback(sys, 1);t=0:0.01:20;step(sys2,t)axis(0 1 0 2)m figure 1j f僑正示階躍響應1111線可以看出超調(diào)量較小,超調(diào)量為5.88%,響應時間為0.297s,滿足要求，穩(wěn)態(tài)誤差也較小，通過調(diào)整，最終確定k=1136.21495, zc=6.46728,pc=200.239001。，超前校 正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)確定為：1136.21495x(s + 6.46728)s+ 99.987254.4設計時遇到的問題分析在根軌跡法設計控制器的過程中，首先遇到的問題就是如果按超調(diào)量10%和調(diào)節(jié) 時間0.5秒來計算的話

34、，設計出來的系統(tǒng)超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間是不滿足要求的，rti此需 要為其留有一定余量。其次，滿足了調(diào)節(jié)吋間和超調(diào)量，但是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差較大， 單純地增大增益表現(xiàn)并不是很好，只增大增益穩(wěn)態(tài)誤差的確減小了，但系統(tǒng)穩(wěn)定性變 差，振蕩次數(shù)增加，超調(diào)量改變，采取進一步減小初始計算時取的超調(diào)量值和調(diào)節(jié)吋 間值來改善。再其次，為了獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，采取了在原來由計算設計出來的傳 遞函數(shù)上再添加一個零極點的方法來實現(xiàn)。5頻域法控制器設計5.1 頻域法分析5. 1. 1未校正頻域法bode圖與奈奎斯特分析 _0.02725由前血的計算可以得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：v")0.0102125?-0.26705編寫

35、m文件bodetu.m繪制bode圖: num=0.02725;dcn=0.0102125 0-0.26705; bode(num,den)gridfile edit view insert tools desktopwindow help必© 目| 口x10frequency (rad/sec)10開環(huán)函數(shù)bode圖編寫m文件nyquisttu.m繪制奈奎斯特圖: num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;file edit view insert tools desktop window help已41nyquist diagrams2xvnyqu

36、ist(num,den)-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-02-0.10real axis直線i級倒立擺的奈奎斯特圖在matlab中輸入如卜語句： num=0.02725;den=0.0102125 0-0.26705; z=roots(num) p=roots(den) 得到結果為：z =empty matrix: 0-by-l ； p =5.1136, -5.1136可見，系統(tǒng)沒有零點，但有兩個極點分別位于s平面的左右從圖屮得到，系統(tǒng)沒 有零點，但存在兩個極點，其屮一個極點位于右半s平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)， 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當3從-8到+ 8變化時，開環(huán)傳遞函數(shù)g

37、( jo) 沿逆時針方向包圍1點p圈，其屮p為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)的極點數(shù)。對于 直線一級倒立擺，市圖52我們可以看出，開壞傳遞函數(shù)在s右半平面有一個極點， 因此g(js)需要沿逆時針方向包圍1點一圈?？梢钥闯觯到y(tǒng)的奈奎斯特圖并沒有逆 時針繞1點一圈，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設計控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：當從到變化吋，g(j(o)h(jco)曲線逆時針包圍gh平面上(l,jo) 點的次數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)右極點的個數(shù)。在倒立擺系統(tǒng)中，由于右極點的個數(shù)為1, g(jco)h(j(d)曲線逆時針包圍gh平面上(l,j0)點的次數(shù)應該為1次，但是奈奎斯特圖屮 并不滿足此要求，故系統(tǒng)部穩(wěn)定

38、需要控制器來穩(wěn)定系統(tǒng)。5. 2 頻域法校正g（；）g）二0.02725系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：vg） 0.0102125* -0.26705 5.2.1控制目標說明利用頻率特性法設計控制器，使得校止后系統(tǒng)的性能指標滿足：（1）系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10；（2）相位裕量為50°；（3）增益裕量等于或人于10分貝。5.2.2校正方式選擇與具體步驟具體設計步驟如下：a. 給系統(tǒng)加一個超前校止就可以滿足設計要求，如果為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以 使用滯后超前校止方法。由此初步確立使用超詢校止裝置，改善穩(wěn)態(tài)性能吋可以使用 滯后超前裝置或者在原來的超前校正裝置的基礎上使用s1so工具添加一對零極點

39、來 改善性能。選擇超詢校止裝置為系統(tǒng)控制器控制器傳遞函數(shù)為:g(s)二 k1 +atsl + ts滯后超前校正裝置為:gf) = k<(s + r + / i則有校正后開環(huán)傳遞函數(shù)為：q（s）°（s）為了補償超前網(wǎng)絡產(chǎn)生的增益衰減，需要在傳遞函數(shù)中將增益提高kca倍，故叮以得 到如下傳遞函數(shù)。g,(s) = k ag(s)- 設0.02725&k<0.0102125?-0.26705b. 根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差確定增益k設上式屮二ts + 1 k嚴 limgoghms 'sto$to0.027256zt5 + 1 0.0102125?-0.26705解得kca 二

40、k = 98于是弘)-kgs) 0.02725x980.0102125?-0.26705c. 為了進一步分析，需耍畫gg）的伯徳圖和奈奎斯特圖matlab語句如下：奈奎斯特圖 num=2.6705; den=0.0102125 0-0.26705; nyquist(num,den) axis(-5 5 -5 5);gridfile edit view insert tools desktop window helpmmmbohbsib|mbwomm已pdl，電臥礬渥xt凰丨日目丨口nyquist diagram2dbs_xvdeu_6ee-orb4db2db4db/* c、r 、'、:

41、卬:燈豐丁 k-; 、mar 一-1real axismatlab語句如卜:bode圖 num=2.6705;den=0.0102125 0-0.26705; bode(num,den)gridfile edit view insert tools desktop window helpd已兇& fe &%竊凰謠復匡1 也20o o1(8p) opwuges40-179-179.5-180-180.5o101frequency (rad/sec)10(6bp) asetd10d. rflbode圖和奈奎斯特圖確定q的值由上圖可以看到，系統(tǒng)的和角裕量為0。，而系統(tǒng)要求的和角裕量為

42、50° 最大超前角的計算公式為:札嚴丫 -宀 其屮£ = 5。12。 設0，”=5亍sin 0 =上£ a = 0.099413326則rti公式得到 "1+&即 i+sig“1 1/cd = co =最大超前相位角血岀現(xiàn)在兩個轉(zhuǎn)角頻率t和 at的幾何屮心上，1 1于是有，在"處超前校正與原系統(tǒng)的幅值互為相反數(shù)，才可能出現(xiàn)1 +丿刃i _| j巫|_ 因此有:1 + jacot14- jaa1 _ 1二 10.026 ldb則有 | gg 1=10.026 mb_101ga = 20 lg= -101ogl0.02610.02725x9

43、80.0102125q2+0.26705解得 0 = 28.3423sd / s丄=yacor = 9.44741at04oc85.0269f.確定校正裝置傳遞函數(shù)c ( 、“7 + 1$ + 9.4474g(s) = ka= kcc"龍ts + 1= +85.0269k£.= = 882.0327a校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:gg($) =0.02725汛 «$ +9.44740.0102125?-0.26705 x "$ + 85.0269其中 at( = = 882.0327 a5. 3 用mat i ab進行階躍響應仿真編寫m文件pinyu.m如

44、下：num=0.02725*882.0327 0.02725*882.0327*9.4474; dcnl=0.0102125 0 -0.26705;den2=l 85.0269;den=conv(den 1 ,den2);sys=tfnum,den);sys2=feedback(sys, 1);t=0:0.01:20;step(sys2,t)axis(0 1 0 2)file edit view insert tools desktop window help、tja fe可瓦西跟謠戛 s . tq28£28 o.2o.6 o.3pnu dujv畫校止后系統(tǒng)的bode圖和奈奎斯特圖，

45、驗證系統(tǒng)穩(wěn)定性: bode圖m文件編寫如卜：num=0.02725*882.0327 0.02725*882.0327*9.4474;deni =0.0102125 0 -0.26705;den2=l 85.0269;den=conv(den 1 ,den2);sys=tfi(num,den);bode(sys)gridure 1x 一file edit yiew insert tools resktop window 旦elp曰除 鬢q的迎凰匡1|回00201 dbode diagram(8p) s10° 101102 103frequency (rad/sec)sodi80矯正后

46、系統(tǒng)bode圖 奈奎斯特圖m文件編寫如下：num=0.02725*882.0327 0.02725*882.0327*9.4474; deni =0.0102125 0 -0.26705;den2=l 85.0269; den=conv(den 1 ,den2); sys=tf(num,den);nyquist(sys)grid從bode圖中可以看出，系統(tǒng)具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈魁斯特圖中可 以看出，曲線繞1點逆時針一圈，因此校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定。5. 4 控制器改進從上圖可知，超前校正后系統(tǒng)仍然存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，可以考慮采用滯后超前 校正，設滯后超前控制器為：gd(計(計根據(jù)滯后超前

47、控制器思想，利用matlab編程求得結果如下：num=0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(den);za=z;-9.4474;pa=p;-85.0269;k=882.0327*98*0.02725;sys=zpk(za,pa，k);bode(sys)figurenyquist(sys)figuresysc=sys/(l+sys);t=0:0.005:5;impulsc(sysc,t)figure最優(yōu)校正方案的串聯(lián)滯后超前校正環(huán)節(jié)的極點為:z=2；最優(yōu)校正方案的串聯(lián)滯 后超前校正壞節(jié)的零點為：p =0.1988og + #)

48、(s + #)($ + £)($ +詡882.0327 x最優(yōu)校正方案的滯后超前校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為：$ + 9.44745 + 2x 5 + 85.0269 5 + 0.1988由于2零點和-0.1988極點比較接近，所以該零點對相角裕度影響等不是很大，滯后 超前校正后的系統(tǒng)bode圖和nyquist圖分別如下圖所示：file edit view insert tools desktop window 旦elpj a d k 1? r 9 k 比豈 e3 口bode diagram501010io1io2frequency (rad/sec)10-10020mp)so4 (詈二1

49、0最優(yōu)校正后系統(tǒng)的bode圖nyquist diagramreal axis一 一 一 2 5 2 5-1 -1.-.2.q figure 2file edit viewmmmbmminsert tools desktop windowhelpd a j i® g目回最優(yōu)校正后系統(tǒng)的nyquist圖滯后超前單位脈沖響應曲線和單位階躍響應曲線如下圖所示:最優(yōu)校正后系統(tǒng)的單位階躍響應figure 7最優(yōu)校正后系統(tǒng)的單位脈沖響應可見，系統(tǒng)性能有了一定提高，基本較好滿足設計要求。6 pid控制器6. 1 pid簡介pid控制器又稱ptd調(diào)節(jié)器，是工業(yè)過程控制系統(tǒng)中常用的有源校正裝置，目前 應

50、用比較廣泛的主要有電子式pid控制器和氣動式pid控制器。在自控原理屮，經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設 計時一般需要有關被控對象的較精確模型。但是很多場合下，不能也沒有必要對控制 系統(tǒng)建立精確的數(shù)學模型，這種情況下pid控制器的優(yōu)勢得以顯現(xiàn)：結構簡單，容易 調(diào)節(jié)，且不需要對系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應用較廣。6.2 pid控制設計分析我們注意到，p1d控制器設計之初并不需要對被控系統(tǒng)進行精確的分析。為了突 出pid控制的這一優(yōu)勢，我們釆用實驗的方法對系統(tǒng)進行控制器參數(shù)的設置，即在 mat lab屮利用simulink仿真測試來確定pid控制器的參數(shù)。英系統(tǒng)結構框圖如

51、下所 示= v圖6. 1 p1d控制結構圖市于，為了方便查看我們將上圖進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換結果如下。圖6.2 pid控制等效結構圖該圖更加方便我們理解pid控制器的作用，系統(tǒng)的輸岀為num心)=91f(s) =如f(s) =曲"仏亦/q)f(s)'l + g(s)p/d(s)t (numpidxnum)(denpid)(den) + (numpid)(num)(denpid)(den)其中各個參數(shù)的含義如下:num :被控對象傳遞函數(shù)分子項 munpid : pid控制器傳遞函數(shù)分子項 幼：被控對彖傳遞函數(shù)分母項 denpid : pid控制器傳遞函數(shù)分母項通過分析上式便可以評價p1d控制器控制的效果，進而得出系統(tǒng)性能的相關指標。 主要依據(jù)圖像所反映出系統(tǒng)性能的欠缺進行有針對性的調(diào)節(jié)，英屮p反映誤差信號的瞬 時值人小，改變快速性；1反映誤差信號的累計值，改變準確性；d反映誤差信號的變 化趨勢，改變平穩(wěn)性。6.3 pid控制器的參數(shù)測定6.3.1控制目標說明利用pid控制器，使得校止后系統(tǒng)的性能指標滿足：（1）.調(diào)整時間ts = 2（2%誤差帶）（2）.最人超調(diào)量j % 5 15%6.3.2控制器的參數(shù)測定通過剛剛的分析，我們己經(jīng)得出了 pid控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（61）。(6-1)在simulink環(huán)境屮建立pid控制模型，z后可以根據(jù)6