2022年2022年勾股定理知識(shí)點(diǎn)梳理

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)勾股定理學(xué)問(wèn)點(diǎn)梳理21.直角三角型有哪些特別的性質(zhì); 角,直角三角型的兩銳角互余；邊,直角三角形兩直精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載角邊的平方和等于斜邊的平方,用符號(hào)表示：在rt abc中, a2b2運(yùn)算面積的方法；2. 如何判定一個(gè)三角形為直角三角形呢？c ； 面積,兩種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有一個(gè)內(nèi)角為直角的三角形為直角三角形；兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形為直角三角形；如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b果三角形的三邊長(zhǎng)為a.b.c 滿意 a2 22 ,那么這個(gè)三角形為直角三角形精品學(xué)習(xí)資料精選

2、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c3勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)分與聯(lián)系區(qū)分：勾股定理為直角三角形的性質(zhì)定理,而其逆定理為判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反,都與直角三角形有關(guān)；4互逆命題的概念假如一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別為另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè),這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題；假如把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題；2225. 勾股數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù),即正整數(shù)時(shí),稱a , b , c 為一組勾股數(shù)abc 中, a , b , c 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載記住常見(jiàn)的勾

3、股數(shù)可以提高解題速度,如3、4、5 ； 6、8、10 ； 5、12、13 ； 7、24、25 , 8、15、17；9、40、41 等6.勾股定理的證明d勾股定理的證明方法許多,常見(jiàn)的為拼圖的方法c用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路為h圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后,只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有間隙,面積不會(huì)轉(zhuǎn)變e依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導(dǎo)出勾股定理fg精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載常見(jiàn)方法如下：方法一： 4 sss, 41 ab2ba2c ,化簡(jiǎn)可證baacb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法二：正方形 efgh正方形 abcd2baacbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

4、料 - - - 歡迎下載四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積bc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為s41 abc 2222abcca22a aab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載大正方形面積為saba2abbd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222所以 abccb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法三： s1 ab ab , s2ss2 1 ab1 c 2 ,化簡(jiǎn)得證ce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梯形梯形2adeabe22abbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

5、- - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)一典型例題類型一：勾股定理的直接用法1.在 rtabc中, c=90°1 已知 a=6, c=10,求 b, 2已知 a=40, b=9,求 c； 3已知 c=25,b=15,求 a.思路點(diǎn)撥 : 寫(xiě)解的過(guò)程中,肯定要先寫(xiě)上在哪個(gè)直角三角形中,留意勾股定理的變形使用；舉一反三【變式】 :如圖 b= acd=90°、 ad=13、cd=12、 bc=3、就 ab 的長(zhǎng)為多少 .類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2.如圖,已知：在中,. 求： bc的長(zhǎng) .思路點(diǎn)撥 ：由條件,想到構(gòu)造含角的直角三角形,為此作于 d,就有,再由勾股定理運(yùn)算出ad.dc 的

6、長(zhǎng),進(jìn)而求出 bc的長(zhǎng) .舉一反三 【變式1】如圖,已知：,于p.求證：.【變式 2】已知：如圖,b= d=90°, a=60°, ab=4, cd=2；求：四邊形abcd的面積；類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題3.如下列圖,在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中,小明從營(yíng)地a 點(diǎn)動(dòng)身,沿北偏東60°方 向走了到達(dá) b 點(diǎn),然后再沿北偏西30°方向走了500m 到達(dá)目的地c 點(diǎn)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)（ 1）求 a.c 兩點(diǎn)之間的距離；（ 2）確定目的地c 在營(yíng)地 a 的什么方向；舉一反三【變式】一輛裝

7、滿貨物的卡車,其外形高2.5 米,寬 1.6 米,要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)外形如圖的某工廠,問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門(mén).【答案】 由于廠門(mén)寬度為否足夠卡車通過(guò),只要看當(dāng)卡車位于廠門(mén)正中間時(shí)其高度為否小于 ch如下列圖,點(diǎn)d 在離廠門(mén)中線0.8 米處,且cd,與地面交于h（二）用勾股定理求最短問(wèn)題4.國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀,目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng) 改造,某地有四個(gè)村莊a.b.c.d,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),現(xiàn)方案在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案,如圖實(shí)線部分 請(qǐng)你幫忙運(yùn)算一下,哪種架設(shè)方案最省電線思路點(diǎn)撥 ：解答此題的思路為：最省電線就為線路長(zhǎng)最短,通

8、過(guò)利用勾股定理運(yùn)算線路長(zhǎng),然后進(jìn)行比較,得出結(jié)論舉一反三【變式】如圖,一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高為4cm,為上底面的直徑一 只螞蟻從點(diǎn)a 動(dòng)身,沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)c,試求出爬行的最短路程解：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)如圖,在rt中,底面周長(zhǎng)的一半cm, 依據(jù)勾股定理得（提問(wèn)：勾股定理） ac（cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm 類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段5.作長(zhǎng)為.的線段；思路點(diǎn)撥： 由勾股定理得,直角邊為1 的等腰直角三角形,斜邊長(zhǎng)就等于,直角邊為和 1 的直角三角形斜邊長(zhǎng)就為,類似地可作；舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)；解析：

9、可以把看作為直角三角形的斜邊,為了有利于畫(huà)圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù),而 10 又為 9 和 1 這兩個(gè)完全平方數(shù)的和,得另外兩邊分別為3 和 1 ；作法 ：如下列圖在數(shù)軸上找到a 點(diǎn),使 oa=3,作 acoa 且截取 ac=1,以 oc 為半徑,以 o 為圓心做弧,弧與數(shù)軸的交點(diǎn)b 即為；類型五：逆命題與勾股定理逆定理6.寫(xiě)出以下原命題的逆命題并判定為否正確1原命題：貓有四只腳（正確）2原命題：對(duì)頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn),到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn),到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確）思路點(diǎn)撥： 把握原命題與逆命題的關(guān)系；解析： 1. 逆命題：有四只

10、腳的為貓（不正確）2. 逆命題：相等的角為對(duì)頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上（正確）總結(jié)升華： 此題為為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做預(yù)備；7.假如 abc的三邊分別為a.b.c,且滿意 a2+b2+c2 +50=6a+8b+10c,判定 abc 的外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)升華 ：勾股定理的逆定理為通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)討論圖形的位置關(guān)系的、在證明中也常要用到；舉一反三 【變式 1】四邊形abcd中, b=90°, ab=3, bc=4, c

11、d=12, ad=13,求四邊形 abcd的面積；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 n22【變式 2 】已知 : abc的三邊分別為m、2mn、m22+n m、n為正整數(shù) 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 m n、判定 abc 為否為直角三角形.分析 :此題為利用勾股定理的的逆定理,只要證明 : a2+b2=c2 即可證明：所以 abc為直角三角形.【變式 3 】如圖正方形abcd, e 為 bc中點(diǎn), f 為 ab 上一點(diǎn),且bf=ab；請(qǐng)問(wèn) fe與 de為否垂直 .請(qǐng)說(shuō)明；經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1.如直角三角形兩直角邊的比為3： 4

12、,斜邊長(zhǎng)為20,求此直角三角形的面積；思路點(diǎn)撥： 在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度,求面積, 可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù),再依據(jù)勾股定理列出方程,求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積；總結(jié)升華： 直角三角形邊的有關(guān)運(yùn)算中,經(jīng)常要設(shè)未知數(shù), 然后用勾股定理列方程（組）求解；舉一反三【變式 1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積；【變式 2】直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積；【變式 3】如直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為n+1, n+2, n+3,求 n； 思路點(diǎn)撥： 第一要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3,然后利用勾股定理列方程求解；【變式 4】以以下各組數(shù)為邊長(zhǎng),能組成直角三角形的為（

13、）a.8, 15, 17b.4, 5, 6c.5, 8, 10d.8, 39,40解析： 此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判定,【變式 5】四邊形abcd中, b=90°, ab=3,bc=4, cd=12,ad=13,求四邊形abcd的面積；類型二：勾股定理的應(yīng)用2.如圖,大路mn 和大路 pq 在點(diǎn) p 處交匯,且 qpn 30°,點(diǎn) a 處有一所中學(xué), ap 160m；假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí),四周100m 以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響,那么拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛時(shí),學(xué)校為否會(huì)受到噪精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由,

14、假如受影響,已知拖拉機(jī)的速度為18km/h ,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：（ 1）要判定拖拉機(jī)的噪音為否影響學(xué)校a,實(shí)質(zhì)上為看a 到大路的距離為否小 于 100m、小于 100m 就受影響, 大于 100m 就不受影響, 故作垂線段ab 并運(yùn)算其長(zhǎng)度；（ 2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間,實(shí)質(zhì)為要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校a 的影響所行駛的路程；因此必需找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)頭影響學(xué)校,行至哪一點(diǎn)后終止影響學(xué)校；同理,拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)d 處學(xué)校開(kāi)頭脫離影響,那么,ad100m ,bd60m、 cd 120m ；拖拉機(jī)行駛的速度為: 18km/h 5m/s t 120m ÷5m/s 24s；答

15、： 拖拉機(jī)在大路mn 上沿 pn 方向行駛時(shí), 學(xué)校會(huì)受到噪聲影響,學(xué)校受影響的時(shí)間為24 秒；總結(jié)升華 :勾股定理為求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法、如圖形缺少直角條件、 就可以通過(guò)作幫助垂線的方法、構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理；舉一反三【變式 1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園,有極少數(shù)人為了躲開(kāi)拐角而走“捷徑”,在花園內(nèi)走出了一條“路”；他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2 步為 1m）,卻踩傷了 花草；解析：他們?cè)茸叩穆窞?+4 7m設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm,就故少走的路長(zhǎng)為7 5 2m又由于 2 步為 1m,所以他們僅僅少走了4 步路；【答案】 4【 變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格

16、,它的每一個(gè)小三角形都為邊長(zhǎng)為1 的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形；（ 1）直接寫(xiě)出單位正三角形的高與面積；（ 2）圖中的平行四邊形abcd 含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形abcd 的面積為多少？（ 3）求出圖中線段ac 的長(zhǎng)（可作幫助線） ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問(wèn)點(diǎn)類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?或進(jìn)行推理論證時(shí),經(jīng)常作垂線,構(gòu)造直角三角形,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決3.如下列圖,abc為等腰直角三角形,ab=ac,d 為斜邊 bc 的中點(diǎn), e.f 分別為 ab.ac 邊上的點(diǎn),且de df,如 be=12, cf=5求線段 ef 的長(zhǎng)；思路點(diǎn)撥： 現(xiàn)已知 be.cf,要求 ef,但這三條線段不在同一三角形中,所以關(guān)鍵為線段的轉(zhuǎn)化,依據(jù)直角三角形的特點(diǎn),三角形的中線有特別的性質(zhì),不妨先連接ad總結(jié)升華 ：此題考查了等腰直角三角形的