差分方程模型

1、差分方程模型數(shù)學(xué)建模講座一、關(guān)于差分方程模型簡單的例子1. 血流中地高辛的衰減地高辛用于心臟病。 考慮地高辛在血流中的衰減問題以開出能使地高辛保持在可接受 ( 安全而有效 ) 的水平上的劑量處方。 假定開了每日0.1毫克的劑量處方，且知道在每個劑量周期 (每日 )末還剩留一半地高辛，則可建立模型如下：設(shè)某病人第n天后血流中地高辛剩余量為na， 則1.05.01+=+nnaa( 一階非齊次線性差分方程)nnnnaaaa5 .01-=-=?+2. 養(yǎng)老金問題對現(xiàn)有存款付給 利息且允許每月有固定數(shù)額的提款， 直到提盡為止。月利息 為1，月提 款額為1000元，則可建模型如下：設(shè)第n月的存款 額為na

2、，則100001. 11-=+nnaa ( 一階非齊次線性差分方程) 2008-4-27 11:50:10 共 8 頁 第 1 頁pdf 文件使用 pdffactory pro 試用版本創(chuàng)建3. 兔子問題 （fibonacci數(shù)）設(shè)第一 月初有雌雄各 一的一對 小兔，假定兩月后長成成兔 ，同時( 即第三個月) 開始, 每月初產(chǎn)雌雄各 一的一對 小兔， 新增小兔也按此規(guī)律繁殖 ，設(shè)第n月末共有nf對兔子 ，則建模如下：=+=-12121fffffnnn ( 二階線性差分方程 初值 問題) 34232143212211ffffffffff+=+注意上月新生 的小兔不產(chǎn)兔( 因第 n 月末的兔子包括

3、兩部 分, 一部分上月留下的為1-nf， 另一部分為當(dāng)月新生 的，而 新生的小兔數(shù) =前月末的兔數(shù)) 4車出租問題a，b 兩地均為旅游城市 ，游客可在一個 城市租車 而在 另一個城市還車。 a， b 兩汽車公司需 考慮 置放足夠 的車輛滿足 用車需要，以便估算成本 。分析歷史記錄數(shù)據(jù)得 出：nx： 第 n 天營業(yè)結(jié)束時 a公司的車輛數(shù)ny：第 n 天營業(yè)結(jié)束時 b公司的車輛數(shù)則+=+=+nnnnnnyxyyxx7 .04.03 .06 .011 (一階線性差分方程 組) ( 問題模型可 進(jìn)一步推廣 ) 2008-4-27 11:50:11 共 8 頁 第 2 頁pdf 文件使用 pdffact

4、ory pro 試用版本創(chuàng)建二 差分方程的解法類比: 差分方程是數(shù)列間關(guān)系 ; 微分方程是函數(shù)間關(guān)系定義 1. 形如02211=+-knknnnabababal的差分方程， 稱為na的 k 階常系數(shù)線性齊次差分方程， 其中ib為常數(shù)，0kb且kn . 02211=+-kkkkbxbxbxl稱為差分方程的特征 方程，其根稱 為特征根 。定理 1（單根情形 ）若特征 方程 恰有 k 個 相異 的特征根kxxx,21l， 則差分方程的 通解為nkknnnxcxcxca+=l2211. 例 1 求解兔子問題=+=-12121fffffnnn解：差分方程的 特征方程為012=- xx特征根251,251

5、21-=+=xx通解為nnnccf-+=25125121, 由初始條件121= ff得: =-+=-+)2(1251251)1(1251251222121cccc解得-=515121cc故-+=nnnf251215512008-4-27 11:50:14 共 8 頁 第 3 頁pdf 文件使用 pdffactory pro 試用版本創(chuàng)建定理 2 ( 重根情形 ) 若特征 方程的 相異特征根 為12,txxxl, 重數(shù)依次為tmmm,21l, 其中kmmmt=+l21, 則差分方程的 通解為：121211111211212222()()mmnnnmmacc ncnxcc ncnx-=+ll112

6、()ttmntttmtcc ncnx-+ll( 定理 1 包含在定理 2 之中) 定理 3 若差分方程的 特征 方程的 特征根 出現(xiàn)一對 共軛虛根 ，-=+=ivuxivux21和相異 的2-k個根kxx,3l, 則差分方程的 通解為：nkknnnnxcxcncnca+=l3321sincos. 定義 2 形如)(2211nfabababaknknnn=+-l(kbbb,21l為常數(shù)，0kb,0)(nf,kn ) 的差分方程為 k 階常系數(shù)線性非齊次差分方程。 稱011=+-knknnababal為其對應(yīng)的齊次方程。定理 4 非齊次差分方程的 通解等 于對 應(yīng)齊次差分方程的 通解加上非齊次方程

7、的 特解, 即nnnaaa+=*, 其中*na為通解, na為特解. 2008-4-27 11:50:15 共 8 頁 第 4 頁pdf 文件使用 pdffactory pro 試用版本創(chuàng)建例 2(地高辛問題 ) 解1.05.01+=+nnaa齊次 特征 方程05.0=-, 齊次方程 通解nnca)5.0(*=. 設(shè)特解為dan=, 代入1.05.0+=dd得0.2d =， 于是所求通解為2.0)5.0(+=nnca例 3 ( 養(yǎng)老金問題 ) 解法 1100001.11-=+nnaa齊次特征方程001.1=-, 齊次方程 通解nnca)01.1 (*=. 設(shè)特解為dan=, 代入代入原 方程得

8、100000=d. 通解為100000)01.1(+=nnca. 解法 2( 化齊)100001. 11-=-+nnaa,100001.11-=-nnaa. 相減得001.101.211=+-+nnnaaa, 特征方程001.101.22=+-. 0) 1)(01.1(=-, 通解 為1(1.01)nnacc=+，代入原 方程得1000)01. 1(01.101.11111-=-?+ccccnn, 1100000c =. 故100000)01.1(+=nnca. 例 4 求非齊次差分方程nnnnaaa24421=+-的通解 . 解法 1齊次 特征方程0442=+-, 二重根2=, 對應(yīng)齊次方程

9、的 通解為nnnncca2221*?+=. 因nnf2)(=中, 2 是 2 重根, 故設(shè)特解為nnnaa22?=代入得1 2a =, 故通解 為1221222-?+?+=nnnnnncca方法 2( 化齊)nnnnaaa24421=+-,132122)44(2-?=+-nnnnaaa相減得12361280nnnnaaaa-+-=, 特征方程0812623=-+-特征根2=為三重根, 通解為nnnnncncca2222321?+?+=. 代入原 方程得31 2c =, 故1221222-?+?+=nnnnnncca2008-4-27 11:50:16 共 8 頁 第 5 頁pdf 文件使用 p

10、dffactory pro 試用版本創(chuàng)建三 差分方程的平衡點及穩(wěn)定性1. 一階線性方程baaann=+- 1的平衡點及穩(wěn) 定性平衡點可由bxax=+解得abx+=10( 相當(dāng)于0,xann=?的那種點 ). 當(dāng)初始 條件00 xa =, 則0,xann=?. 若對任何初始 條件， 都有n 時，0 xan， 則稱平衡點0 x是穩(wěn)定的， 否則稱為不穩(wěn)定的。一階方程的 通解abacann+-=1)(, 因此1|則na +若5010 ,0,ac則na - 2. 二階方程的平 衡點及穩(wěn) 定性只須討論 齊次方程021=+-nnnbaaaa; 對非齊次方程dbaaaannn=+-21(d 為常數(shù)) 可作線性

11、 變換eabnn-=化成齊次方程， 穩(wěn)定性 相同. 齊次方程 通解nnnxcxca2211+=，平衡點為 0, 21,xx是互異特征根( 或重根 ) ，當(dāng)n僅當(dāng)1|, 1|21xx才是穩(wěn) 定的。2008-4-27 11:50:17 共 8 頁 第 6 頁pdf 文件使用 pdffactory pro 試用版本創(chuàng)建3. n 階齊次次方程 組平衡點 o的穩(wěn)定性. )(na為 n 維列向 量, a為nn陣。齊次線性差分方程組0)1()(=-+nana， 平衡點 o穩(wěn)定的條件是 a的所有特征根| 1i 。4. 求解 n 階齊次線性差分方程 組方法: 仿照線性 微分方程 組解的法, 注意二 者的區(qū)別1t

12、nnnndxxxcedtaaac-=. 汽車出租問題全類完似 的問題： 選民下一次 選舉的投票趨勢110.60.30.40.7nnnnnnxxyyxy+=+=+nnxx=+7.04. 03 .06. 010.60.30.40.7a =汽車出租問題解法 1 20.60.3|(0.6)(0.7) 0.121.30.3 00.40.7ae-=-=-+=-3 .0, 121=特征根互異對11=, 設(shè)=babaxnn1 , 由0)(1=-baea得03.04 .0=+-ba2008-4-27 11:50:17 共 8 頁 第 7 頁pdf 文件使用 pdffactory pro 試用版本創(chuàng)建取=4. 0

13、3.0ba, =4.03.0nx對3.01=, 設(shè)=baxnn3.0由0)(2=-baea得03. 03 .0=+ba取-=11ba, -=113.0nnx于是-=213 . 04 .03.03 .0ccxnnn通解為-=+=nnnnccyccx3. 04. 03.03.02121汽車出租問題解法 2(理論解法 ) +=+=+nnnnnnyxyyxx7. 04.03.06.011=7. 04. 03. 06. 0a，batt=-3.00011, 1-= tbta, 1110nnnxtbtxtb tx-=令tbat =. 即=3 .00017. 04.03 .06.021212121即=+2121221122113 .03 .07. 04. 07. 04. 03