2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧省初賽試題及參考答案及評分標準

1、2013年全國高中數(shù)學聯(lián)賽遼寧省初賽試題及參考答案及評分標準說明： 1評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準，選擇題和填空題只設5分和0分兩檔，其它各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分。 2如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，評卷時可參照本評分標準適當劃分檔次評分，可以5分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次。一選擇題（本題滿分30分，每小題5分）1已知集合當時，實數(shù)的取值范圍是（ ）(a) . (b). 或 (c). (d)或1. (b). 2過原點的直線l交雙曲線于p、q兩點，其中點p在第二象限，將下半平面沿x軸折起使之與上半平面成直二面角，線段pq的最短長度是（ ）

2、(a) . (b). (c). (d)42. (d)3設均為非零復數(shù)，令，若，則的值為（ ）(a) . 1 (b). (c). (d)3. (c). 4設是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意，都有若是方程的一個解，且，則的值為（ ）(a) . 1 (b). 2 (c). 3 (d)44. (b) 5內(nèi)直徑為，高為20的圓柱形容器中最多可以放入直徑為2的小球的個數(shù)是（ ）(a) . 30 (b). 33 (c). 36 (d)395. (c) 6已知實數(shù)滿足則的最大值是（ ）(a) . 7 (b). (c). (d)3 6. (a) . 二填空題（本題滿分30分，每小題5分）7若，則的最大值是 7. . 8

3、長方體中，則異面直線與的距離為 8. . 9橢圓的離心率為，斜率為1且過點的直線與橢圓交于a、b兩點設o為坐標原點，若，則該橢圓的方程是 9. . 10將11個完全一樣的小球放入6個不相同的盒子中，使得至多有3個空盒子的放法有 種10. . 11已知函數(shù)設方程在區(qū)間內(nèi)所有實根的和為，則數(shù)列的前項和= 11. . 12數(shù)列中，則此數(shù)列的通項公式= 12. . 三解答題13設關(guān)于的方程有兩個實根，函數(shù).（1）求的值；（2）判斷在區(qū)間的單調(diào)性，并加以證明；（3）若均為正實數(shù)，證明：.13. 解: ()是方程的兩個根， ， ，同理可得 ， （5分）（），當時，在上單調(diào)遞增 （10分）（）， 由（）可知

4、，同理， ， （15分）由（）可知， （20分）14.已知數(shù)列滿足為實數(shù)）（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若=-2，求證：14. 解: ()當時，由得，即時，. （5分）下面證明當時，.當時，成立；設當時，成立；則當時，故對所有，成立.當時，成立， 故對所有，成立.綜上，的取值范圍是. （10分）（）當時， （），（）， （15分）. （20分）15如圖，銳角abc中，ab<ac,且點d和e在邊bc上，滿足bd=ce.若在abc內(nèi)存在點p滿足pd|ae且pab=eac，證明: pba=pca.15.證明:如圖,作平行四邊形和平行四邊形，則，又， 故， （5分），所以，又，則、三點共線. （10分）因此，,故、四點共圓，又由于,故，（20分）故. （25分）16.設點p為圓上的動點，過點p作x軸的垂線，垂足為q.點滿足.（1）求點m的軌跡的方程；（2）過直線上的點t作圓c2的兩條切線，設切點分別為a、b，若直線ab與（1）中的曲線c2交于兩點c、d，求的取值范圍. 16.解：()設點，由，得， 由于點在上，所以，即的軌跡方程為. （5分） （）設點，則，的方程為，又點 在、上，則有：， （10分）由、知的方程為：，設點，則圓心到