2015年遼寧文科數(shù)學(xué)高考試題及答案

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)一選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）（1） 已知集合，,則 ab=（ ）。（a）-1,0 （b）0,1 （c）-1,0,1 （d）0，1，2（2）若為實(shí)數(shù)且,則=（ ）。（a）-4 （b）-3 （c）3 （d）4（3）根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是（ ）。（a） 逐年比較，2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著；（b） 2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)（c） 2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢（d）

2、2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)（4）設(shè)，則（ ）（a）-1 （b）0 （c）1 （d）2（5）設(shè)是等差數(shù)列的前，若 ，則（ ）。（a）5 （b）7 （c）9 （d）11（6）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的與剩余部分體積的比值為（ ）。 （a） （b） （c） （d）（7）過三點(diǎn)，外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（ ）。（a） （b） （c） （d）（8）右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入 分別為 14,18，則輸出的=（ ）。（a）0 （b）2 （c）4 （d）14（

3、9）已知等比數(shù)列滿足，則（ ）。（a）2 （b）1 （c） （d）(10)已知a，b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob=90o,c為球面上的動點(diǎn)。若三棱錐o-abc體積的最大值為36 ，則球o的表面積為（ ）。（a） （b） （c） （d）(11) 如圖，長方形abcd的邊 ab=2，bc=1，o 是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p沿著邊 bc，cd與da運(yùn)動，bop=x。將動點(diǎn) p 到 a，b 兩點(diǎn)距離之和表示為 x 的函數(shù)，則的圖像大致為( ).（ （a） （b） （c） （d），（12）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）（a） （b） （c） （d）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分（13）已知函數(shù)的圖

4、象過點(diǎn)（-1,4），則 。（14）若滿足約束條件，則的最大值為 。（15）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。（16）已知曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線相切，則 。 三、解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）中，是上的點(diǎn)，平分，。（）求； （）若，求。（18）（本小題滿分12分） 某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從a,b兩底分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到a地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率表。a地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率表滿意度評分分組頻數(shù)

5、2814106（）在答題卡上作出b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）a地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖（）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由。（19）（本小題滿分12分）如圖，長方體 abcd-a1b1c1d1 中 ab=16，bc=10，aa1=8，點(diǎn) e，f 分別在 a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4。過點(diǎn) e，f 的平面 與此長方體的面相交，交線

6、圍成一個正方形。（）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值。（20）（本小題滿分12分） 已知橢圓c：的離心率為，點(diǎn)在c上。（）求c的方程；（）不過原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，與c有兩個交點(diǎn)a，b，線段ab的中點(diǎn)為m。證明：直線om的斜率與直線的斜率的乘積為定值。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（）討論的單調(diào)性；（）當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍。 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做第一題記分，做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，o為等腰三角形abc內(nèi)一點(diǎn)，o與ab

7、c的底邊交于m,n兩點(diǎn)，與底邊上的高ad交于點(diǎn)g，且與ab，ac分別相切于e,f兩點(diǎn)。（）證明：；（）若ag等于o的半徑，且，求四邊形ebcf的面積。（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線(為參數(shù)，)，其中。在以o為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，曲線。（）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； （）若與相交于點(diǎn)a，與相交于點(diǎn)b，求|ab|的最大值。（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（）若，則；（）是的充要條件。2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：題號123456789101112答案addba

8、cbbccba【詳細(xì)解析】1因?yàn)椋?，所以。2. 試題分析：由 ，故選d.3.試題分析：2006年以來，我國二氧化碳排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選d4.，所以。5.試題解析：，.6.試題分析：截去部分是正方體的一個角，其體積是正方體體積的7. 圓心在直線bc的垂直平分線上。設(shè)圓心，由得，解得。圓心到原點(diǎn)的距離。8. 試題分析：輸出的a是18,14的最大公約數(shù)29試題分析：，所以 ，故 。10. 設(shè)球的半徑為r，則面積為，三棱錐體積最大時，c到平面aob的最大距離為。此時，解得。球的表面積為。11. ，所以。排除c，d。當(dāng)時，可排除a。12.是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，所以 . 二、填空題：13. 14.

9、 15. 3 16.【詳細(xì)解析】13.試題分析：由 .14. 不等式表示的可行域是以（1，1），（2,3），（3,2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，的最大值在頂點(diǎn)處取得。經(jīng)驗(yàn)算，時，。15. 試題分析：根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為 ，把代入得.16. 試題分析：曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，故切線方程為，與 聯(lián)立得，顯然，所以由 。三、解答題：（17）解：（）平分，由根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，。根據(jù)正弦定理得。又由于，所以。（）因?yàn)?，所以，即，解得。所以。?8）（）解：b地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖 從兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出b地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于a

10、地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；b地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，a地區(qū)用戶滿意度評分比較分散。（）解：a,b兩地區(qū)評分等級概率如下表：設(shè)事件a表示“a地區(qū)的滿意度等級為不滿意”，則；設(shè)事件b表示“b地區(qū)的滿意度評分等級為不滿意”，則。因?yàn)?，所以用戶的滿意度等級為不滿意的概率大。 (19)解:()交線圍成的正方形如右圖：過e點(diǎn)作emab,在ab上取mh=6，則eh=10，即eh=ef。作hgad,交cd于點(diǎn)g。連結(jié)fg。四邊形efgh即為所求作的正方形。（）如圖，作fncd，連結(jié)mn，則；。于是的體積：；的體積：。所以。（20）（）解：因?yàn)椋?，。因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)在c上，所以。解得，所以，。橢圓c的

11、方程為。（）設(shè)，則。兩式兩端作差得，因式分解得。因?yàn)橹本€不過原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，所以，。兩端同時除以，并整理得，即。（21）（）解：因?yàn)椋?。定義域?yàn)椤?令，解得；令，解得。 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。.令，解得；令，解集為空集。 單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。若，則。當(dāng)時，。所以單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間。（）因?yàn)橛凶畲笾?，所以由（）知。?dāng)時，。因?yàn)?，所以。若，不成立。若，不成立。若，則，所以成立。 所以的取值范圍是。（22）（）證明：由于abc是等腰三角形，adbc,所以ad是cab的平分線。又因?yàn)榉謩e與ab，ac相切于點(diǎn)e,f，所以ae=af。于是adef。所以efbc。 （）由（）知，ae=af，adef，故ad是ef的垂直平分線。又ef為的弦，所以o在ad上。連結(jié)oe，om，則oeae。由ag等于的半徑得ao=2oe，所以。因此abc和aef為正三角形。因?yàn)?，所以，。因?yàn)?，所以。于是，?所以四邊形ebcf的面積為。（23）解：（）曲線的普通方程為，即