2016年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)卷（精編版）

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型：2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第卷(選擇題 )和第卷 (非選擇題 )兩部分 .第卷 1 至 3 頁(yè)，第卷3 至 5頁(yè).2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置.3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效.4. 考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.第卷一. 選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)集合s= sx p(x2)(x3)0 ,tx x0，則 sit=(a) 2 ，3(b) （ -， 2 u3,+）(c) 3,+）(d) （

2、 0， 2 u3,+）（2）若 z=1+2i ，則4izz1(a)1(b)-1(c) i(d)-i（3） 已知向量uuv ba12(,) 22uuuv, bc31,),22則abc=(a)30 0(b)450(c) 60 0(d)120 0（4） 某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖中a 點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為150c，b 點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為 50c。下面敘述不正確的是(a)各月的平均最低氣溫都在00c 以上(b)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(c) 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(d) 平均氣溫高于200c 的月份有

3、5 個(gè)（5）若 tan34，則 cos22sin 2(a)6425(b)4825(c)116(d)25（6）已知 a423 ， b344 ， c（a ） bac（ b） ab125 3 ，則c （c） bca （ d ） cab（7）執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的a=4， b=6，那么輸出的n=（a ） 3（b ） 4（c） 5（d ） 6（8） 在 abc 中， b =bc 邊上的高等于1 bc ,則 cos a=，43（ a ） 3 101010（ b）10（ c） -10 10（ d） -3 1010(9) 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表

4、面積為（a ） 18365（b ） 54185（c） 90（d ） 81(10) 在封閉的直三棱柱abc -a1b1c1 內(nèi)有一個(gè)體積為v 的球，若abbc， ab=6 ，bc=8，aa 1=3，則 v 的最大值是（a ） 4（ b） 9 232（ c） 6（ d）322（11） 已知 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， f 是橢圓 c： xy1(ab0) 的左焦點(diǎn)， a， b 分別為 ca2b2的左，右頂點(diǎn) .p 為 c 上一點(diǎn)，且pf x 軸 .過點(diǎn) a 的直線 l 與線段 pf 交于點(diǎn) m，與 y 軸交于點(diǎn) e.若直線 bm 經(jīng)過 oe 的中點(diǎn)，則c 的離心率為（a ） 13（ b） 12（ c） 23（

5、d ） 34（12） 定義 “規(guī)范 01 數(shù)列 ”an 如下： an 共有 2m 項(xiàng)，其中m 項(xiàng)為 0， m 項(xiàng)為 1，且對(duì)任意k2m ， a1 , a2 ,l , ak 中 0 的個(gè)數(shù)不少于1 的個(gè)數(shù) .若 m=4，則不同的“規(guī)范01 數(shù)列”共有（a ） 18 個(gè)（ b） 16 個(gè)（c） 14 個(gè)（ d） 12 個(gè)第 ii 卷本卷包括必考題和選考題兩部分. 第( 13) 題 第( 21) 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第( 22) 題第 ( 24) 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3 小題，每小題5 分（13） 若 x， y 滿足約束條件 x -y + 1 0 x -

6、2y? 0x + 2y -2? 0則 z=x+y 的最大值為 .（ 14）函數(shù) y =sin x -3 cos x 的圖像可由函數(shù)y = sin x + 3 cos x的圖像至少向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到。（15） 已知 f(x) 為偶函數(shù)，當(dāng)x < 0時(shí)， f( x) = ln ( -x ) + 3x，則曲線y=f(x) ，在帶你（ 1，-3） 處的切線方程是 。（16） 已知直線 l: mx + y + 3m -3 = 0與圓 x2 + y 2 = 12交于 a ，b 兩點(diǎn)，過 a ，b 分別做l 的垂線與x 軸交于 c， d 兩點(diǎn)，若 |ab | = 23，則 |cd| = .三.

7、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12 分）已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn = 1 + a，sn = 1 +an ，其中0（i）證明 an 是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式（ii ）若 s5 =3132，求（18）（本小題滿分12 分）下圖是我國(guó)2008 年至 2014 年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖（i）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y 與 t 的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（ii ）建立 y 關(guān)于 t 的回歸方程（系數(shù)精確到），預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量。（19）（本小題滿分12 分）如圖，四棱錐p-abcd 中， pa地面

8、abcd ， adbc， ab=ad=ac =3，pa=bc =4， m 為線段 ad 上一點(diǎn)， am= 2md ，n 為 pc 的中點(diǎn) .（i）證明 mn平面 pab;（ii ）求直線an 與平面 pmn 所成角的正弦值.（20）（本小題滿分12 分）已知拋物線c：y22x的焦點(diǎn)為f，平行于x 軸的兩條直線l , l 分別交 c 于 a， b 兩點(diǎn)，12交 c 的準(zhǔn)線于p， q 兩點(diǎn) .（i）若 f 在線段 ab 上， r 是 pq 的中點(diǎn)，證明ar fq ；（ii ）若 pqf 的面積是 abf 的面積的兩倍，求ab 中點(diǎn)的軌跡方程.（21）（本小題滿分12 分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ac

9、os2x+（ a-1）（cosx+1），其中 a 0，記|?（ ?）? | 的最大值為a.（）求f（ x）；（） 求 a；（）證明 |?（ ?） |2a.請(qǐng)考生在 22 、23 、24 題中任選一題作答。作答時(shí)用2b 鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.（本小題滿分10 分）選修4-1：幾何證明選講如圖， o 中 ?ab 的中點(diǎn)為p，弦 pc， pd 分別交 ab 于 e， f 兩點(diǎn) .（i）若 pfb=2 pcd ，求 pcd 的大?。唬╥i ）若 ec 的垂直平分線與fd 的垂直平分線交于點(diǎn)g，證明 ogcd .23.（本小題滿分10 分）選修4

10、-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy 中，曲線c1 的參數(shù)方程為x3 cos( ysin為參數(shù)) ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x 軸的正半軸為極軸， ，建立極坐標(biāo)系，曲線c2 的極坐標(biāo)方程為sin()22.4（i）寫出c1 的普通方程和c2 的直角坐標(biāo)方程；（ii ）設(shè)點(diǎn) p 在 c1 上，點(diǎn) q 在c2 上，求 |pq|的最小值及此時(shí)p 的直角坐標(biāo) .24.（本小題滿分10 分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f ( x)| 2xa |a（i）當(dāng) a=2 時(shí)，求不等式f ( x)6 的解集；（ii ）設(shè)函數(shù)g( x)| 2 x1|,當(dāng) xr 時(shí)， f（x） +g（ x） 3，求 a 的取值范圍

11、 .絕密啟封并使用完畢前試題類型：新課標(biāo)2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)正式答案第卷一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1） d（ 2） c（ 3） a（ 4）d（ 5） a（6） a（ 7）b（ 8） c（ 9） b（ 10） b（ 11） a（ 12） c第 ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題 第（ 21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第（ 22）題第（ 24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共3 小題，每小題 5 分（13） 32（14）3（15） y2x1（16） 4三、

12、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12 分）解：（）由題意得a1s11a11，故1， a11， a10 .由 sn1an ， sn 11an 1 得 an 1an 1an ，即an 1 (1)an . 由 a10 ，0得 an0 ，所以an 1.an1因此 an 是首項(xiàng)為1 ，公比為11的等比數(shù)列，于是an(11)n 1 1（）由（）得sn1() n ，由 s5131 得 1(32)531 ，即 (132) 51，132解得1 （18）（本小題滿分12 分）解：（）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t4 ，7(tii 1t )228 ，7( yii 1y)20.5

13、5 ，7(tit )( yiy)7ti yi7tyi40.1749.322.89 ，i 1i 1i 12.89r0.5522.6460.99 .因?yàn)?y 與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為，說明y 與 t 的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系 .（）由y9.321.331及（）得b?7(tii 17t)( yiy)2.890.103 ，a?yb?t71.3310.10340.92 .(tii 1t) 228所以， y 關(guān)于 t 的回歸方程為：y?0.920.10t .將 2016 年對(duì)應(yīng)的 t9 代入回歸方程得：y?0.920.1091.82 .所以預(yù)測(cè)2016 年我國(guó)生活垃

14、圾無(wú)害化處理量將約億噸.（19）（本小題滿分12 分）解：（）由已知得知 tn / bc ， tnam1 bc22 ad32 .2 ，取 bp的中點(diǎn) t ，連接at ,tn，由 n 為 pc 中點(diǎn)又 ad / bc ，故 tn 平行且等于am ，四邊形amnt 為平行四邊形，于是mn / at .因?yàn)?at平面 pab， mn平面 pab，所以 mn / 平面 pab.（）取bc 的中點(diǎn)e ，連結(jié)ae ，由abac 得 aebc ，從而aead ，且22aeabbeab2( bc )25 .2以 a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ae 的方向?yàn)閤 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz，由題意知，p(0,

15、0,4) ， m(0,2,0) ， c (5 ,2,0) ， n (5 ,1,2) ，2pm(0,2,4) ， pn(5 ,1,2) ， an2(5 ,1,2) .2設(shè) n(x, y, z) 為平面pmn 的法向量，則npmnpn002x，即52xn(0,2,1) ，于是 | cosn, an| nan | n | an |85.25（20）解：由題設(shè)f (1 ,0) . 設(shè) l: y21a,l2: yb ，則 ab0 ，且2a( a2,0), b(, b), p( 2b 21 , a), q(212, b), r(12,ab2) .記過 a, b 兩點(diǎn)的直線為l ，則 l 的方程為 2x(a

16、b) yab0 .3（）由于f 在線段 ab 上，故 1ab0 .記 ar的斜率為k1 ， fq 的斜率為k2 ，則k1a1ba2aa2b ab.51aababk .2所以 ar fq .分（）設(shè) l 與 x 軸的交點(diǎn)為d(x1 ,0) ，則 s abf12ba fd12ba x112, s pqfab.2由題設(shè)可得121ba x12ab2，所以x10 （舍去）， x11.4z0y2z，可取0分設(shè)滿足條件的ab 的中點(diǎn)為e ( x,y) .當(dāng) ab 與 x 軸不垂直時(shí)，由2k abkde 可得aby( x x11) .而 ab 2y ，所以 y2x1( x1) .當(dāng) ab 與 x 軸垂直時(shí)，e

17、 與 d 重合 . 所以，所求軌跡方程為（21）（本小題滿分12 分）y 2x1 .12分解：（）f ' (x)2a sin 2 x(a1)sin x （）當(dāng) a1 時(shí)，| f ' ( x) | | a sin 2 x(a1)(cos x1) |a2( a1)3a2f (0)因此， a3a2 4 分當(dāng) 0a1時(shí)，將f (x)變形為f ( x)2a cos2 x(a1)cos x1 令 g(t )2 at 2(a1)t1 ， 則a 是 | g(t) |在 1,1 上 的 最 大 值 ，g(1)a，g(1)3a2 ，且當(dāng)t1a時(shí)，g(t)取得極小值，極小值為4a22g(1a )(a

18、1)1a6 a14 a令11a8a1 ，解得 a8a1 （舍去）， a1 4a35（ ） 當(dāng) 0a1 時(shí) ， g(t)5在 (1,1) 內(nèi) 無(wú) 極 值 點(diǎn) ， | g(1) |a ， | g (1) |23a ，| g (1) | | g(1) |，所以 a123a 1a（）當(dāng)5a1 時(shí)，由g(1)g(1)2(1a)0 ，知g(1)g (1)g() 4 a1a(1a)(17a)1aa 26a1又 | g() | g(1) |0 ，所以 a| g() |4a8a23a,0a154a8a綜上， aa 26a8a 3a1 1,a52, a11 9 分（）由（）得1| f ' ( x) | |

19、2a sin 2x'(a1)sinx |2a| a1| .當(dāng) 0a時(shí)， | f 5(x) |1a24a2(23a)2 a .1a當(dāng)a1 時(shí)， a131 ，所以| f '(x) |1a2 a .588a4當(dāng) a1 時(shí)，| f '( x) |3a16a42 a ，所以| f '( x) |2 a .請(qǐng)考生在 22 、23 、24 題中任選一題作答。作答時(shí)用2b 鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. （本小題滿分10 分）選修4-1 ：幾何證明選講解：（）連結(jié)pb, bc ，則bfdpbabpd,pcdpcbbcd .因?yàn)?apbp ，所以pbapcb ，又bpdbcd ，所以bfdpcd .又pfdbfd180 ,pfb2pcd，所以3pcd180，