全國理數(shù)（精編版）

1、2016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷二）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第卷( 選擇題 ) 和第卷 ( 非選擇題 ) 兩部分 . 第卷 1 至 3 頁，第卷3 至 5 頁.2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置.3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效. 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.第卷一. 選擇題：本大題共12 小題，每小題 5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .（1）已知(3)(1)izmm在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是（a）( 31)，（ b）( 1 3)，（c）(1,)+（d）(3)

2、-，（2）已知集合1,a2,3，|(1)(2)0,bxxxxz，則abu（a）1（b）1 2，（c）01 2 3， ，（d） 1 01 2 3， ，（3）已知向量(1,)(3, 2)m ，=ab，且()a +bb，則 m=（a）8 （b）6 （c）6 （d）8（4）圓2228130 xyxy的圓心到直線10axy的距離為1，則 a=（a）43（b）34（c）3（d）2（5）如圖，小明從街道的e處出發(fā)，先到f 處與小紅會(huì)合，再一起到位于g處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（a）24 （ b）18 （c）12 （d）9（6）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視

3、圖，則該幾何體的表面積為（a）20（b）24（c）28（d ）32（7）若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移12個(gè)單位長度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為（a）x=k26 (k z) （b）x=k2+6 (k z) （c）x=k212 (k z) （d）x=k2+12 (k z)（8）中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖. 執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 x=2， n=2，依次輸入的a 為 2，2， 5，則輸出的s=（a）7 （b）12 （c ） 17 （d）34（9）若 cos(4 )= 35，則 sin 2 =（a）725（b）15（c ）15（d）725（10） 從區(qū)間0

4、,1隨機(jī)抽取2n 個(gè)數(shù)1x,2x， ，nx，1y，2y， ，ny， 構(gòu)成 n 個(gè)數(shù)對(duì)11,xy，22,xy，,nnxy，其中兩數(shù)的平方和小于1 的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（a）4nm（b）2nm（c）4mn（d）2mn（11）已知 f1，f2是雙曲線 e22221xyab的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)m在 e上，m f1與x軸垂直， sin2113mf f , 則 e的離心率為（a）2（b）32（c）3（d）2（ 12）已知函數(shù)( )()f x xr滿足()2( )fxf x，若函數(shù)1xyx與( )yf x圖像的交點(diǎn)為1122(,),(,),(,),mmxyxyxy則1()mi

5、iixy（a）0 （b）m （c）2m （d）4m第 ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分. 第(13) 題第(21) 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答. 第(22) 題第(24) 題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題：本大題共3 小題，每小題 5 分(13) abc 的內(nèi)角 a、 b、c的對(duì)邊分別為a、b、c，若 cos a=45，cos c=513，a=1，則 b= .(14) 、是兩個(gè)平面，m 、 n 是兩條直線，有下列四個(gè)命題：（1）如果 m n，m ， n，那么.（2）如果 m ， n，那么m n.（3）如果 ， m，那么m . ? （4）如果 m n，那么m與 所成的角和n

6、與 所成的角相等.其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號(hào)）（15）有三張卡片，分別寫有1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是。（16）若直線y=kx+b 是曲線 y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln （x+1）的切線，則b= 。三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17. （本題滿分12 分）ns為等差數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和，且7=128.nas，記= lgnnba， 其

7、中x表示不超過x 的最大整數(shù)，如0.9 =0lg99 =1，.（i ）求111101bbb，；（ii ）求數(shù)列nb的前 1 000 項(xiàng)和 .18. （本題滿分12 分）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0. 05（i ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（ii ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60% 的概率；（iii）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.19

8、. （本小題滿分12 分）如圖，菱形abcd的對(duì)角線 ac與 bd交于點(diǎn) o，ab=5，ac=6 ，點(diǎn) e,f 分別在 ad,cd上， ae=cf=54，ef交bd于點(diǎn) h.將 def沿 ef折到d ef的位置，10od.（i ）證明：d h平面 abcd ；（ii ）求二面角bd ac的正弦值 .20. （本小題滿分12 分）已知橢圓e:2213xyt的焦點(diǎn)在x軸上， a 是 e 的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0) 的直線交e 于 a,m 兩點(diǎn)，點(diǎn)n在 e上， ma na.（i ）當(dāng) t=4 ，aman時(shí)，求 amn 的面積；（ii ）當(dāng)2 aman時(shí)，求 k 的取值范圍 .（21）（本小題滿分12

9、 分）(i) 討論函數(shù)xx2f (x)x2e的單調(diào)性，并證明當(dāng)x 0 時(shí)，(2)20;xxex(ii)證明：當(dāng)0,1)a時(shí)，函數(shù)2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值 . 設(shè) g（x）的最小值為( )h a，求函數(shù)( )h a的值域 .請(qǐng)考生在22、23、 24 題中任選一題作答, 如果多做 , 則按所做的第一題計(jì)分, 做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)（22）（本小題滿分10 分）選修4-1 ：集合證明選講如圖，在正方形abcd ，e,g 分別在邊da,dc上（不與端點(diǎn)重合），且de=dg ，過 d點(diǎn)作 dfce ，垂足為f.(i) 證明： b,c,e,f 四點(diǎn)共圓；(ii)若 ab=1，e為 da的中

10、點(diǎn)，求四邊形bcgf 的面積. ?（23）（本小題滿分10 分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直線坐標(biāo)系xoy 中，圓 c的方程為（ x+6）2+y2=25. （i ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求 c的極坐標(biāo)方程；（ii ）直線l的參數(shù)方程是?=?cos?，?=?sin?，（t 為參數(shù)）,l與 c交于 a、b兩點(diǎn)， ab=10，求l的斜率。（24）（本小題滿分10 分），選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)= x-12+x+12， m為不等式f(x) 2 的解集 .（i ）求 m ；（ii ）證明：當(dāng)a,b m時(shí)， a+b 1+ab。2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

11、理科數(shù)學(xué)答案第卷一. 選擇題：（1） 【答案】 a （2） 【答案】 c （3） 【答案】 d （4） 【答案】 a （5）【答案】 b （6）【答案】 c （7）【答案】 b （8）【答案】 c （9）【答案】 d （10）【答案】 c （11） 【答案】 a （12） 【答案】 c 第卷二、填空題(13) 【答案】2113(14) 【答案】（15）【答案】 1 和 3 （16）【答案】1ln2三. 解答題17. （本題滿分12 分）【答案】（）10b，111b，1012b；（） 1893.【解析】試題分析：（）先求公差、通項(xiàng)na，再根據(jù)已知條件求111101bbb，；（）用分段函數(shù)表示nb

12、，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列nb的前 1 000 項(xiàng)和試題解析：（）設(shè)na的公差為d，據(jù)已知有72128d，解得1.d所以na的通項(xiàng)公式為.nan（）因?yàn)?,110,1,10100,2,1001000,3,1000.nnnbnn所以數(shù)列nb的前1000項(xiàng)和為19029003 11893.考點(diǎn)：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算. 【結(jié)束】18. （本題滿分12 分）【答案】（）根據(jù)互斥事件的概率公式求解；（）由條件概率公式求解；（）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為x，求x的分布列為，在根據(jù)期望公式求解.【解析】試題分析：試題解析：（）設(shè)a表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事

13、件a發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故( )0.20.20.10.050.55.p a（）設(shè)b表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件b發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故( )0.10.050.15.p b又()( )p abp b，故()( )0.153(|).( )( )0.5511p abp bp b ap ap a因此所求概率為3.11（）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為x，則x的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23考點(diǎn)：條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望. 【結(jié)束】19. （本小題滿分12 分）【答案】（）詳見解析；（）2 9525.【解析】試題

14、分析：（）證/ /acef，再證d hoh，最后證d habcd平面；（）用向量法求解.試題解析：（i ）由已知得acbd，adcd，又由aecf得aecfadcd，故/ /acef. 因此efhd，從而efd h. 由5ab,6ac得2204dobabao. 由/ /efac得14ohaedoad. 所以1oh，3d hdh. 于是1oh，22223110d hohd o，故d hoh. 又d hef，而ohefh，所以d habcd平面. （ii ）如圖，以h為坐標(biāo)原點(diǎn)，hfuuu r的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系hxyz，則0,0,0h，3, 2,0a，0, 5,0b，3, 1

15、,0c，0,0,3d，(3, 4,0)abuuu r，6,0,0acuuu r，3,1,3aduuuu r. 設(shè)111,mx y zu r是平面abd的法向量， 則00m abm adu r uuu ruuu u ru r， 即11111340330 xyxyz，所以可以取4,3, 5mu r. 設(shè)222,nxyzr是平面acd的法向量，則00n acn adr uu u ruu uu rr，即222260330 xxyz，所以可以取0, 3,1nr. 于是147 5cos,255010m nm nm nu r ru r ru r r，2 95sin,25m nu r r. 因此二面角bd a

16、c的正弦值是2 9525. 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角. 【結(jié)束】20. （本小題滿分12 分）【答案】（）14449；（）32, 2.【解析】試題分析 ： （）先求直線am的方程，再求點(diǎn)m的縱坐標(biāo)， 最后求amn的面積 ； （）設(shè)11,mx y， ，將直線am的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示1x，從而表示|am，同理用k表示|an，再由2 aman求k.試題解析： （i ）設(shè)11,mx y，則由題意知10y，當(dāng)4t時(shí)，e的方程為22143xy，2,0a. 由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線am的傾斜角為4. 因此直線am的方程為2yx. 將2xy代入22143xy得27120yy.

17、解得0y或127y，所以1127y. 因此amn的面積11212144227749. （ii ）由題意3t，0k，,0at. 將直線am的方程()yk xt代入2213xyt得222223230tkxttk xt kt. 由22123t kxttk得21233ttkxtk，故22126213tkamxtktk. 由題設(shè)，直線an的方程為1yxtk，故同理可得22613ktkankt，由2 aman得22233ktkkt，即32321ktkk. 當(dāng)32k時(shí)上式不成立，因此33212kktk.3t等價(jià)于232332132022kkkkkkk，即3202kk. 由此得32020kk，或32020kk

18、，解得322k. 因此k的取值范圍是32, 2. 考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【結(jié)束】（21）（本小題滿分12 分）【答案】（）詳見解析；（）21(,.24e.【解析】試題分析： （）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)(0,)x時(shí)，( )(0)f xf證明結(jié)論；（）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)( )g x的最值，在構(gòu)造新函數(shù)00h( )2xeax，又用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（）( )f x的定義域?yàn)?, 2)( 2,).且僅當(dāng)0 x時(shí)，( )0fx，所以( )f x在(, 2),(2,)單調(diào)遞增，因此當(dāng)(0,)x時(shí)，( )(0)1,fxf所以(2)(2),(2)20 xxxexxex（ii

19、 ）22(2)(2)2( )( ),xxea xxg xf xaxx由（ i ）知，( )f xa單調(diào)遞增，對(duì)任意0,1),(0)10,(2)0,afaafaa因此，存在唯一0(0,2,x使得0()0,f xa即0()0gx，當(dāng)00 xx時(shí)，( )0,( )0,( )f xagxg x單調(diào)遞減；當(dāng)0 xx時(shí)，( )0,( )0,( )f xagxg x單調(diào)遞增 .因此( )g x在0 xx處取得最小值，最小值為于是00h( )2xeax，由2(1)()0,2(2)2xxxexeexxx單調(diào)遞增所以，由0(0,2,x得002201( ).2022224xeeeeh ax因?yàn)?xex單調(diào)遞增，對(duì)任

20、意21(,24e存在唯一的0(0, 2,x0()0,1),af x使得( ),h a所以( )h a的值域是21(,24e綜上，當(dāng)0,1)a時(shí)，( )g x有( )h a，( )h a的值域是21(,.24e考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值. 【結(jié)束】請(qǐng)考生在22、23、 24 題中任選一題作答, 如果多做 , 則按所做的第一題計(jì)分, 做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)（22）（本小題滿分10 分） 選修 4-1 ：幾何證明選講【答案】（）詳見解析；（）12.【解析】試題分析：（）證,dgfcbf再證,b c g f四點(diǎn)共圓；（）證明,rt bcgrt bfg四邊形bcgf的面積s是gcb面積gcbs的 2 倍.試題解析：（i ）因?yàn)閐fec, 所以,defcdf則有,dfdedggdfdeffcbcfcdcb所以,dgfcbf由此可得,dgfcbf由此0180 ,cgfcbf所以,b c g f四點(diǎn)共圓 .（ii ）由,b c g f四點(diǎn)共圓，cgcb知fgfb，連結(jié)gb，由g為rt dfc斜邊cd的中點(diǎn)，知gfgc, 故,rtbcgrt bfg因此四邊形bcgf的面積s是gcb面積gcbs的 2 倍，即考點(diǎn)：三角形相似、