可口可樂易拉罐

1、可口可樂罐頭為什么是這種樣子可口可樂罐頭為什么是這種樣子 問題問題 可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐料罐(易拉罐易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少高之比為多少? 為什么為什么? 它們的形狀為什么它們的形狀為什么是這樣的是這樣的? 知識(shí)準(zhǔn)備 體積給定的圓柱體體積給定的圓柱體, 其表面積最小的尺寸其表面積最小的尺寸(半半徑和高徑和高)為多少為多少? 表面積用表面積用 S 表示表示, 體積用體積用 V 表示表示, 則有則有 ：22222( , )2 2 , / .S r hr hrrrrhVr h hVr3322223

2、333222220( )2 (2)(2), , 2448 22VVVS rrrrrrVVVVhrdrVV 它頂蓋的直徑和從頂它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高蓋到底部的高: 約為約為6厘米和厘米和12厘米厘米. 中間胖的部分的直徑中間胖的部分的直徑約為約為6.6厘米，胖的部厘米，胖的部分高約為分高約為10.2厘米厘米. 可口可樂飲料罐上標(biāo)可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為明凈含量為 355 毫升毫升(即即 355 立方厘米立方厘米). 簡(jiǎn)化模型簡(jiǎn)化模型分析和假設(shè)：分析和假設(shè)： 首先把飲料罐近似看成一個(gè)正圓柱是有一首先把飲料罐近似看成一個(gè)正圓柱是有一定合理性的定合理性的. 要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí)要求飲料罐

3、內(nèi)體積一定時(shí), 求求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比直徑和從頂蓋到底部的高之比. 實(shí)際上，飲料罐的形狀是繞其中軸線旋轉(zhuǎn)實(shí)際上，飲料罐的形狀是繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體圖形。而成的立體圖形。 用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬其他的材料要硬(厚厚, 因?yàn)橐箘爬驗(yàn)橐箘爬?, 假設(shè)除假設(shè)除易拉罐的頂蓋外易拉罐的頂蓋外, 罐的厚度相同罐的厚度相同, 記作記作 , 頂頂蓋的厚度為蓋的厚度為 . 想象一下想象一下, 硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上(有有人測(cè)量過人測(cè)

4、量過, 頂蓋厚度大約是其他部分的材料頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的厚度的 3 倍倍). 因此因此, 我們可以進(jìn)行如下的數(shù)我們可以進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)建模學(xué)建模. 這時(shí)必須考慮所用材料的體積這時(shí)必須考慮所用材料的體積. b b 設(shè)飲料罐的半徑為設(shè)飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為（因此，直徑為 d = 2r）, 罐的高為罐的高為 h. 罐內(nèi)罐內(nèi)體積為體積為 V. b 為除頂蓋為除頂蓋外的材料的厚度外的材料的厚度. 其中其中 r, h 是自變量是自變量, 所用材所用材料的體積料的體積 SV 是因變量是因變量, 而而 b 和和 V 是固定參數(shù)是固定參數(shù), 是待定參數(shù)是待定參數(shù). 飲料罐側(cè)面所用材料的體積

5、為飲料罐側(cè)面所用材料的體積為 222223( ()(1) )(2)(1) )22(1)(1)rbrhbrbbhbrhbrbh bb 飲料罐頂蓋所用材料的體積為飲料罐頂蓋所用材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV 和和 V 分別為分別為, 2b r 2b r22232( , )2(1)2(1)(1)( , )SV r hrhbrbrbh bbV r hr h 因?yàn)橐驗(yàn)閎r , 所以帶所以帶 的項(xiàng)可以忽略可以忽略 因此因此:23, bb2( , )( , )2(1)SV r hS r hrhbrb記記 2( , ) g r hr h V建立以下的數(shù)學(xué)模型：

6、建立以下的數(shù)學(xué)模型： 其中其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，是目標(biāo)函數(shù)， 是約束條件是約束條件, V 是已知的是已知的(即罐內(nèi)體積即罐內(nèi)體積一定一定), 即要在體積一即要在體積一定的條件下定的條件下, 求罐的體求罐的體積最小的積最小的 r, h 和和 使使得得 r, h 和測(cè)量結(jié)果吻合和測(cè)量結(jié)果吻合. 這是一個(gè)求條件極值這是一個(gè)求條件極值的問題的問題. 0, 0min( , ). . ( , )0rhS r hst g r h( , )0g r h 模型的求解：模型的求解： 一種解法一種解法(從約束中解出一個(gè)變量，化條件從約束中解出一個(gè)變量，化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題極值問題為求一元函數(shù)的

7、無條件極值問題) 從從 解解 ,代代入入 S, 使原問題化為：求使原問題化為：求 d : h 使使 S 最小最小, 即即, 求求 r 使使最小最小. 2( , )0g r hr h V2/ hVr22( , ( )(1) VS r h rbrr 求臨界點(diǎn)求臨界點(diǎn): 令其導(dǎo)數(shù)為零得令其導(dǎo)數(shù)為零得 解得臨界點(diǎn)為解得臨界點(diǎn)為 因此因此 32222 (1)(1)0.dSVbbrrVdrrr 3(1)Vr 2332(1)()2(1)()(1)(1) (1).2VVhVdr 測(cè)量數(shù)據(jù)為測(cè)量數(shù)據(jù)為 h/d=2, 即即 , 即頂即頂蓋的厚度是其他材料厚度的蓋的厚度是其他材料厚度的 3 倍倍. 為驗(yàn)證這個(gè)為驗(yàn)證

8、這個(gè) r 確實(shí)使確實(shí)使 S 達(dá)到極小。計(jì)算達(dá)到極小。計(jì)算 S 的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 所以所以, 這個(gè)這個(gè) r 確實(shí)使確實(shí)使 S 達(dá)到局部極小達(dá)到局部極小, 因?yàn)橐驗(yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè)臨界點(diǎn)只有一個(gè), 因此也是全局極小因此也是全局極小. 41, =3 324 2 (1)0, 0.VSbrr 驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析：驗(yàn)證和進(jìn)一步的分析： 有人測(cè)量過頂蓋的厚度確實(shí)為其他材料厚有人測(cè)量過頂蓋的厚度確實(shí)為其他材料厚度的度的 3 倍倍. 如果易拉罐的半徑為如果易拉罐的半徑為3厘米厘米, 則其體積為則其體積為 即裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對(duì)即裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對(duì)不對(duì)不對(duì)? 2 612339.3

9、355V 按照按照 , V = 365立方厘米立方厘米, 可以算得可以算得 r = 3.074 厘米厘米. 3 4Vr一種可能的考慮一種可能的考慮. 粗略的計(jì)算粗略的計(jì)算, 可以把飲料罐的體積看成兩部可以把飲料罐的體積看成兩部分分,一是上底半徑為一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為厘米，下底半徑為 3.3 厘米厘米, 高為高為 1 厘米的錐臺(tái)厘米的錐臺(tái), 二是半徑為二是半徑為 3.3 厘厘米米, 高為高為 10.2 厘米的圓柱體厘米的圓柱體. 它們的體積分它們的體積分別為別為 31.2 立方厘米和立方厘米和 349 立方厘米總共為立方厘米總共為 380.2 立方厘米立方厘米. 驗(yàn)證驗(yàn)證 通過測(cè)

10、量重量或容積來驗(yàn)證通過測(cè)量重量或容積來驗(yàn)證. 我們可以認(rèn)為我們可以認(rèn)為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克克. 測(cè)量結(jié)果為測(cè)量結(jié)果為: 未打開罐時(shí)飲料罐的重量為未打開罐時(shí)飲料罐的重量為 370 克克, 倒出來的可樂確實(shí)重倒出來的可樂確實(shí)重 355 克克, 空的飲空的飲料罐重量為料罐重量為 15 克克, 裝滿水的飲料罐重量為裝滿水的飲料罐重量為 380 克克. 這和我們的近似計(jì)算這和我們的近似計(jì)算 380.2 立方厘立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料, 而是留而是留有有 10 立方厘米的空間余量立方厘米的空間余量. 探討 更有意思

11、的是更有意思的是, 計(jì)算飲料罐的胖的部分的直計(jì)算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647, 非常接近黃非常接近黃金分割比金分割比 0.618. 這是巧合嗎這是巧合嗎? 還是這樣的比還是這樣的比例看起來最舒服例看起來最舒服, 最美最美? 探討 此外此外, 諸如底部的形狀諸如底部的形狀, 上拱的底面上拱的底面, 頂蓋實(shí)際上也頂蓋實(shí)際上也不是平面的不是平面的, 略有上拱略有上拱, 頂蓋實(shí)際上是半徑為頂蓋實(shí)際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂從頂蓋到胖的部分的斜率為蓋到胖的部分的斜率為 0.

12、3, 這些要求也許保證了這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合粘合)很牢固、耐壓很牢固、耐壓. 所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求求, 必須要有有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾泶_定必須要有有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾泶_定. 因此因此, 我們可以體會(huì)到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來進(jìn)我們可以體會(huì)到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)是很復(fù)雜的過程行設(shè)計(jì)是很復(fù)雜的過程, 只依靠數(shù)學(xué)知識(shí)是不夠的只依靠數(shù)學(xué)知識(shí)是不夠的, 必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合. 考慮實(shí)際所用材料的模型考慮實(shí)際所用材料的模型 實(shí)際上實(shí)際上, 頂蓋的半徑為頂蓋的半徑為r + 0.6厘米厘米, 而正圓柱而正圓柱的高為的高為h + 0.6厘米厘米. 因此因此222223 (0.6)2(0.4) (44.41.082), Srbr br hbrrrh bVVr h hr 問題化為問題化為: 當(dāng)當(dāng) V 固定時(shí)固定時(shí), 求求 d : h 使使 S 最小最小. 我們從約束中解出一個(gè)變量我們從約束中解出一個(gè)變量, 化條件極值問化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題題為求一元函數(shù)的無條件極值問題, 即即 23232( )44.41.08,2( )42.20,4( )40.VS rrrrS rrrVrVS rr