中考必會(huì)幾何模型：半角模型

1、半角模型1已知如圖：/ 2= / AOB :OA=OB.2連接FB，將 FOB繞點(diǎn)可得 OEF OEF 'O旋轉(zhuǎn)至 FOA的位置，連接F ' E, FE,模型分析/ OBF OAF /3=/4, OF=OF '.12=/ AOB,21 + / 3=/ 21 + / 4=/ 2B / /又 OE是公共邊， OEF OEF '.(1 )半角模型的命名：存在兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn);(2 )通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；(3)常見的半角模型是 90°含45 ° , 120 °含 60° .

2、模型實(shí)例例1(1)(2)已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 求證：BM+DN=MN .作 AH丄MN于點(diǎn)H，求證：AH=AB .，它的兩邊分別交線段 CB、DC于點(diǎn)M、N .證明：（1延長ND到E,使DE=BM ,四邊形 ABCD是正方形， AD=AB .在ADE和ABM中，AD ABADE BDE BM ADEABM . AE=AM，/ DAE= / BAM/ MAN=45，/ BAM+ / NAD=45° . / MAN= / EAN=45° .在 AAMN 禾口 AAEN 中，MA EAM AN EANAN AN A AMN BA AEN . MN=EN .

3、BM+DN=DE+DN=EN=MNft A/(2)由(1)知，AAMN BA AEN . Saamn =S aaen .剛11即一AH MN AD EN .22又 MN=EN , AH=AD .即 AH=AB .9BM、例2 在等邊AABC的兩邊AB、AC上分別有兩點(diǎn) M、N , D為ABC外一點(diǎn)，且 / MDN=6° , / BDC=120 , BD=DC .探究：當(dāng)M、N分別在線段 AB、AC上移動(dòng)時(shí), NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系.（1） 如圖，當(dāng) DM=DN 時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ;（2） 如圖，當(dāng) D昨DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.

4、AAAA/)圖圖解答(1) BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 BM+NC=MN(2) 猜想：BM+NC=MN .證明：如圖，延長 AC至E,使CE=BM，連接DE ./ BD=CD，且/ BDC=120° , / DBC= / DCB=30° .又 ABC是等邊三角形，/ ABC= / ACB=60° ./ MBD= / NCD=90 .在AMBD與厶ECD中，/ DB=DC，/ DBM= / DCE=90° , BM=CE , MBD ECD ( SAS). DM=DE，/ BDM= / CDE./ EDN= / BDC- / MDN=60 .在 AM

5、DN 和 EDN 中，/ MD=ED，/ MDN= / EDN=60° , DN=DN , AMDN EDN (SAS). MN=NE=NC+CE=NC+BM .圖例3 如圖，在四邊形 ABCD中，/ B+ /ADC=180 , AB=AD , E、F分別是 BC、CD延長線上的點(diǎn)，且/ EAF= - / BAD .求證：EF=BE-FD .2證明：在 BE上截取BG,使BG=DF，連接AG ./ B+ / ADC=180°，/ ADF+ / ADC=180° , / B= / ADF .在ABG 和 ADF 中，AB ADB ADFBG DF ABGADF (

6、SAS)./ BAG= / DAF , AG=AF . / GAF= / BAD ./ EAF= - / BAD= 1 / GAF .2 2/ GAE= / EAF .在 AAEG 和 AAEF 中，AG AFGAE FAEAE AE AEG BA AEF ( SAS) EG=EF./ EG=BE-BG , EF=BE-FD .跟蹤練習(xí)：1 已知，正方形 ABCD , M在CB延長線上，N在DC延長線上, 求證：MN=DN-BM .MAN=45【答案】證明：如圖，在 DN上截取DE=MB，連接AE ,四邊形ABCD是正方形， AD=AB，/ D= / ABC=90° .在ABM和AA

7、DE中，AD ABD ABMBM DE ABM ADE . AM=AE ,/ MAB= / EAD ./ MAN=45 = / MAB+ / BAN , / DAE+ / BAN=45° . / EAN=90° -45 =45 °= / MAN . 在AAMN和AEN中，AM AEM AN EANAN AN ABM ADE . MN=EN ./ DN-DE=EN . DN-BM=MN2. 已知，如圖在 RtABC中，/ BAC=90° , AB=AC，點(diǎn)D、E分別為線段 BC上兩動(dòng) 點(diǎn)，若/ DAE=45°，探究線段BD、DE、EC三條線段之間

8、的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °得到MBE',連接E'D使問題得到解 決.請你參考小明的思路探究并解決以下問題：(1) 猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；(2) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段CB延長線上時(shí)，如圖，其他條件不 變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.ABDECD liEC圖圖【答案】解答：(1)猜想：DE2=BD2+EC2.證明：將AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABE，如圖 BE' =EC AE' =AE / C= / ABE

9、9;，/ EAC= / E' AB 在 Rt AABC 中，/ AB=AC ,/ ABC= / ACB=45° ./ABC+ /ABE' =90；即/ E' BD=90.° E' 2+BD2=E'D.又/ DAE=45° ；/ BAD+ / EAC=45° ./ E' AB# BAD=45°，即/ E' AD=45° AE'DA AED . DE=DE'. de2=bd2+ec2.圖(2)結(jié)論：關(guān)系式 DE2=BD2+EC2仍然成立.證明：作/ FAD= / BA

10、D，且截取AF=AB，連接DF，連接FE,如圖 AFD ABD . FD=DB，/ AFD= / ABD .又 AB=AC , AF=AC ./ FAE= / FAD+ / DAE= / FAD+45° ,/ EAC= / BAC- / BAE=90° - (/ DAE- / DAB ) =90 ° (45 °-Z DAB ) =45 ° / DAB , / FAE= / CAE .又 AE=AE , AFE ACE . FE=EC ,Z AFE= / ACE=45° ./ AFD= / ABD=180° - / ABC=1

11、35° . / DFE= / AFD- / AFE=135° -45 =90 ° 在 RtDFE 中，DF2+FE2=DE2.即 de2=bd2+ec2.圖3. 已知，在等邊 ABC中，點(diǎn)0是邊AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M、N分別在直線AC、BC 上，且/ MON=60 .(1) 如圖，當(dāng) CM=CN時(shí)，M、N分別在邊 AC、BC上時(shí)，請寫出 AM、CN、MN三 者之間的數(shù)量關(guān)系；(2) 如圖，當(dāng)C昨CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然 成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；(3) 如圖，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長線

12、上時(shí)，請直接寫出線段 AM、CN、 MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.圖圖【答案】結(jié)論：(1) AM=CN+MN ;如圖圖(2)成立；證明：如圖，在 AC上截取 AE=CN，連接 OE、OA、OC./ O是邊AC、BC垂直平分線的交點(diǎn)，且 AABC為等邊三角形,OA=OC，/ OAE= / OCN=30，/ AOC=120 .又 AE=CN , OAEOCN . OE=ON，/ AOE= / CON ./ EON= / AOC=120 ./ MON=6° ,/ MOE= / MON=60 . MOE 也厶 MON . ME=MN . AM=AE+ME=CN+MN圖(3 )如圖， AM=MN-C

13、N圖4. 如圖，在四邊形 ABCD中，/ B+ / D=180° AB=AD , E、F分別是線段 BC、CD上的 1點(diǎn)，且 BE+FD=EF .求證：/ EAF= - / BAD .2【答案】證明：如圖，把 ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/ DAB的度數(shù)得到 ABG , AD旋轉(zhuǎn)到AB , AF 旋轉(zhuǎn)到AG , AG=AF , BG=DF，/ ABG= / D，/ BAG= / DAF ./ ABC+ / D=180 ,/ ABC+ / ABG=180 .點(diǎn)G、B、C共線./ BE+FD=EF , BE+BG=GE=EF .在 AAEG 和 AEF 中，AGAFAEAEEGEF AEG A

14、EF ./ EAG= / EAF ./ EAB+ / BAG= / EAF . 又/ BAG= / DAF ,/ EAB+ / DAF= / EAF ./ EAF=丄 / BAD .5 .如圖，已知四邊形 ABCD，/ EAF的兩邊分別與 DC的延長線交于點(diǎn) F，與CB的延長 線交于點(diǎn)E,連接EF .(1 )若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)/ EAF = 45°時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ (只需直接寫出結(jié)論)1(2)如圖，如果四邊形 ABCD中，AB= AD, Z ABC與Z ADC互補(bǔ)，當(dāng)Z EAF = Z BAD2時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論并證明.(3) 在(2)中，若BC= 4, DC = 7, CF = 2，求 CEF的周長(直接寫出結(jié)論)D(1)(2)證明：如圖，在 DF上截取EF=DF-BEEF=DF-BE圖DM=BE，連接 AM ,/ D+Z ABC=Z ABE+Z ABC=180° / D=ABE/ AD=AB在厶ADM和厶ABE中,DM BED ABEAD AB ADMA ABE