排列與組合(含答案2)

1、排列復(fù)習(xí)一排列數(shù)公式的應(yīng)用1計算：(1)2AA；(2)2化簡：AmA3(2013江蘇南京模擬)方程：A140A的解是_4化簡_二、排列的概念與簡單的排列問題一、選擇題1有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可能的分配方法有()AA種 BA種CAA種 D2A種2用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A8 B24C48 D1203為了迎接某年廣州亞運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同，記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍在每個閃爍中，每秒鐘

2、有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是()A1205秒 B1200秒C1195秒 D1190秒4某班新年聯(lián)歡會原定是5個節(jié)目，且已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法共有()A42種 B30種C20種 D96種5由1,2,3, 4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()A72 B96C108 D1446有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是()A. B.C. D.二、填空題來源

3、: 7隨機抽取的9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月份出生的概率是_(默認每個月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001)8有10幅畫展出，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫排成一排，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，則不同的陳列方式有_種9要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)三、解答題10喜羊羊家族的四位成員，與灰太狼，紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準(zhǔn)備一起照張合影(排成一排)(1)要求喜羊羊的四位成員必須相鄰，有多少排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少排法？

4、11由字母A、E及數(shù)字1、2、3、4形成的排列(1)由這些字母，數(shù)字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列有多少不同排列？(3)要求末位不能排字母，有多少不同的排列？123名男生、4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)(1)選5名同學(xué)排成一行；來源: (2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男、女各站在一起；(6)全體站成一排，男生必須排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(

5、9)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人；(10)排成前后兩排，前排3人，后排4人排列與組合2一基礎(chǔ)知識1.2組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合說明：不同元素；“只取不排”無序性；相同組合：元素相同2組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號表示3組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分如下兩步： 先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)； 求每一個組合中m個元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計數(shù)原理得：（2）組合數(shù)的公式：或二、學(xué)習(xí)新課：13 組合數(shù)的性

6、質(zhì)1：一般地，從n個不同元素中取出個元素后，剩下個元素因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的n - m個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n - m個元素的組合數(shù)，即：在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想證明：又 ，說明：規(guī)定：；等式特點：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；或2組合數(shù)的性質(zhì)2：+一般地，從這n+1個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有含有的組合是從這n個元素中取出m -1個元素與組成的，共有個；不含有的組合是從這n個元素中取出m個元素組成的，共

7、有個根據(jù)分類計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì)在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想證明： +三、典例分析例1 （1）計算：；解：（1）原式（2）求證：+證明：（2）右邊左邊例2 解方程：（1）；解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗,這樣運算量小得多.（2）解方程：來源: （2）原方程可化為，即，解得或， 經(jīng)檢驗：是原方程的解 來源: 例3 男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員

8、；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員解題導(dǎo)引(1)區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題，用組合解答，有序的問題屬排列問題(2)解組合問題時，常遇到“至多”、“至少”問題，解決的方法常常用間接法比較簡單，計算量也較小；用直接法也可以解決，但分類要恰當(dāng)，特別對限制條件比較多的問題解(1)第一步：選3名男運動員，有C種選法第二步：選2名女運動員，有C種選法共有C·C120(種)選法(2)“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運動員的選法有C種所以“至少有1名女運動員”的選法有CC246(種)(3)

9、從10人中任選5人，有C種選法其中不選隊長的方法有C種所以“至少1名隊長”的選法有CC196(種)(4)當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有C種選法不選女隊長時，必選男隊長，共有C種選法其中不含女運動員的選法有C種，所以不選女隊長時共有CC種選法故既要有隊長，又要有女運動員的選法有CCC191(種)課堂練習(xí)：1計算CCC等于()AC BC1CC1 DC解析：選B.原式(CC)CC1來源: (CC)C1(CC)C1CC1C1.2從A，B，C，D，E五人中選出2人參加演講，共有選法的種數(shù)為()A20 來源: B10C15 D5解析：選B.共有選法C10.一、組合概念的理解與應(yīng)用活動與探究1判斷下列問

10、題是排列問題還是組合問題，并分別求出對應(yīng)的方法數(shù)(1)把當(dāng)日動物園的4張門票分給5個人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？(2)從2,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中，每次取2個數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個分數(shù)，共能構(gòu)成多少個不同的分數(shù)？(3)從9名學(xué)生中選出4名參加一個聯(lián)歡會，有多少種不同選法？遷移與應(yīng)用1若已知集合P1,2,3,4,5,6，則集合P的子集中含有3個元素的子集數(shù)為_2中國、日本、韓國、朝鮮四國舉行女足邀請賽，賽制采取單循環(huán)賽方式，請列舉出所有各場比賽的雙方區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果

11、寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題二、與組合數(shù)有關(guān)的計算與證明活動與探究21計算：(1)3C2CC；(2)CC；(3)CCC2證明：mCnC遷移與應(yīng)用1計算：CCCC_2若CC，則x_3證明下列各等式：(1)CC；(2)CC；(3)CCCCC(1)組合數(shù)公式的選取：涉及具體數(shù)字的可以用展開式計算，涉及字母的可以用階乘式計算(2)性質(zhì)1：CC主要應(yīng)用于簡化運算性質(zhì)2：CCC從右到左兩個組合數(shù)合為一個，實現(xiàn)了由繁到簡的化簡過程，主要應(yīng)用于組合數(shù)的化簡三、簡單組合問題活動與探究3現(xiàn)有10名教師

12、，其中男教師6名，女教師4名(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？(3)現(xiàn)要從中選出男、女老師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？遷移與應(yīng)用1若從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種2一個口袋中裝有大小相同的6個白球和4個黑球，從中取2個球，則這兩個球同色的不同取法有_種解簡單的組合應(yīng)用題時，要先判斷它是不是組合問題，取出元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時，才能運用組

13、合數(shù)公式求出其種數(shù)在解題時還應(yīng)注意兩個計數(shù)原理的運用，在分類和分步時，注意有無重復(fù)或遺漏四、有限制條件的組合問題活動與探究41某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A30種 B35種 C42種 D48種2某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，且既會劃左舷又會劃右舷的最多選1人，則不同的選法有()A4種 B36種 C40種 D92種遷移與應(yīng)用1某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、

14、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A360 B520 C600 D7202(2013遼寧大連模擬)有8名男生和5名女生，從中任選6人(1)有多少種不同的選法？(2)其中有3名女生，有多少種不同的選法？(3)其中至多有3名女生，有多少種不同的選法？(4)其中有2名女生，4名男生，分別負責(zé)6種不同的工作，共有多少種不同的分工方法？(5)其中既有男生又有女生，有多少種不同的選法？(1)解有約束條件的組合問題與解有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法(2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞(如“都”與“不都”，“至少”與“至

15、多”，“含”與“不含”等)的確切含義，正確分類，合理分步(3)分配問題的一般思路是先選取，再分配答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1組合預(yù)習(xí)交流1提示：聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(mn)個元素區(qū)別：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合2(1)組合數(shù)C(2)預(yù)習(xí)交流2(1)提示：C(2)提示：D3CCC預(yù)習(xí)交流3提示：(1)C(2)C課堂·合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究1思路分析：明確組合、排列的定義是解題的關(guān)鍵若問題是否與順序有關(guān)不明顯，可以嘗試寫出其中

16、的一個結(jié)果進行判斷，再運用排列數(shù)與組合數(shù)公式求值解：(1)是組合問題由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無關(guān)分配方法有C5種(2)是排列問題，選出的2個數(shù)有角色差異(作分子與作分母)不同的分數(shù)有A20個(3)是組合問題，選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序不同的選法有C126種遷移與應(yīng)用120解析：由于集合中的元素具有無序性，因此含3個元素的子集個數(shù)與元素順序無關(guān)，是組合問題，共有C20種2解：單循環(huán)賽，指雙方只賽一場，因此所有各場比賽雙方為中國日本；中國韓國；中國朝鮮；日本韓國；日本朝鮮；韓國朝鮮活動與探究21思路分析：先考慮利用

17、組合數(shù)的性質(zhì)對原式進行化簡，然后利用組合數(shù)公式展開計算解：(1)3C2CC3×2×1149(2)CCCC2005 150(3)CCCCCC562思路分析：式子中涉及字母，可以用階乘式證明證明：左邊m·nnC右邊，mCnC遷移與應(yīng)用1165解析：CC1，原式CCCCC16526或7解析：由已知x2x6或x2x615，x6或x73證明：(1)右邊·C左邊，原式成立(2)右邊··C左邊，原式成立(3)左邊(CC)CCC(CC)CC(CC)CCCCCCC右邊，原式成立活動與探究3思路分析：首先確定是否是組合問題，再確定完成事情是分步，還是分類

18、解：(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即C45(2)可把問題分兩類：第1類，選出的2名是男教師有C種方法；第2類，選出的2名是女教師有C種方法，即CC21種(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有選法C×C×90種遷移與應(yīng)用1D解析：和為偶數(shù)共有3種情況，取4個數(shù)均為偶數(shù)的取法有C1種，取2奇數(shù)2偶數(shù)的取法有C·C60種，取4個數(shù)均為奇數(shù)的取法有C5種，故不同的取法共有160566種221解析：分兩類：一類是2個白球有C15種取法，另一類是2個黑球

19、有C6種取法，所以共有15621種取法活動與探究41思路分析：兩類選修課選3門，依據(jù)A類選修課選1門或2門進行分類，每類需要利用分步乘法計數(shù)原理解決A解析：分兩類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有C·CC·C30種選法2思路分析：既會劃左舷又會劃右舷是多面手，是特殊元素，可以從他們的參與情況入手分類討論C解析：第一類：無既會劃左舷又會劃右舷的有C·C4種選法第二類：只有一名既會劃左舷又會劃右舷的有C(CCCC)2(3×46)36種選法共有40種選法遷移與應(yīng)用1C解析：分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參

20、加，則有CCA2×10×24480種選法第二類，甲、乙都參加時，則有C(AAA)10(2412)120種選法共有480120600種選法2解：(1)是無限制條件的組合問題適合題意的選法有C1 716種(2)是有限制條件的組合問題第1步，選出女生，有C種；第2步，選出男生，有C種由分步乘法計數(shù)原理，適合題意的選法有C·C560種(3)是有限制條件的組合問題至多有3名女生包括：沒有女生，1名女生，2名女生，3名女生四類情況第1類沒有女生，有C種；第2類1名女生，有C·C種；第3類2名女生，有C·C種；第4類3名女生，有C·C種由分類加法計

21、數(shù)原理，適合題意的選法共有CC·CC·CC·C1 568種(4)是有限制條件的組合與排列問題第1步，選出適合題意的6名學(xué)生，有C·C種；第2步，給這6名學(xué)生安排6種不同的工作，有A種由分步乘法計數(shù)原理，適合題意的分工方法共有C·C·A504 000種(5)是有限制條件的組合問題用間接法，排除掉全是男生的情況和全是女生的情況即是符合題意的選法而由題意知不可能6人全是女生，所以只需排除全是男生的情況，CC1 716281 688種當(dāng)堂檢測1的值為()A6 B101C D答案：C解析：2從6名女生、4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5

22、名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為()A BC D答案：A解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，則抽取方法有種3從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有_種答案：34解析：(間接法)共有種不同的選法46條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使三條網(wǎng)線通過最大信息量的和大于等于6的方法共有_種答案：15解析：當(dāng)選用信息量為4的網(wǎng)線時有種；當(dāng)選用信息量為3的網(wǎng)線時有種，共有種5計算：(1)；解：由題意知，原式中的自然數(shù)n必須滿足不等式組由，得解此不等式組得n38；由，得解此不等式組得0n又

23、nN*，n10，(2)答案：由原式知，n需滿足03n13n且017n2n，即滿足不等式組即可得n6，原式組合數(shù)的性質(zhì)同步練習(xí)一、選擇題1某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()來源: A30種 B35種C42種 D48種2甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A150種 B180種來源: C300種 D345種3(2010年高考大綱全國卷)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為

24、1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有()A12種 B18種C36種 來源: D54種4從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A70種 B80種C100種 D140種5在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為()A10 B11C12 D156.如圖所示的四棱錐中，頂點為P，從其他的頂點和各棱中點中取3個，使它們和點P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為()A40 B48C56 D62二、填空題7從1,

25、2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率是_8某運動隊有5對老搭檔運動員，現(xiàn)抽派4個運動員參加比賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為_9在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有_種三、解答題10現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？11有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；來源: (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)

26、甲、乙、丙各得3本12如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A、B的六個點C1、C2、C3、C4、C5、C6，直徑AB上有異于A、B的四個點D1、D2、D3、D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點作三角形可作出多少個？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A、B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？1.3.2 組合數(shù)的性質(zhì)同步練習(xí)答案一、選擇題1.解析：選A.法一：可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有CCCC181230種選法法二：總共有C35種選法，減去只選A類的C1種，再減去只選B類的C4種，故有30種選法2.解析：選D.依題意，就所選出

27、的1名女同學(xué)的來源分類：第一類，所選出的1名女同學(xué)來自于甲組的相應(yīng)選法有C·C·C225種；第二類，所選出的1名女同學(xué)來自于乙組的相應(yīng)選法有C·C·C120種因此滿足題意的選法共有225120345種，選D.3.解析：選B.先將1,2捆綁后放入信封中，有C種方法，再將剩余的4張卡片放入另外兩個信封中，有CC種方法，所以共有CCC18種方法4.解析：選A.當(dāng)選擇的3名醫(yī)生都是男醫(yī)生或都是女醫(yī)生時，共有CC14種組法，從9人中選擇3人一共有C84種組法，所以要求男，女醫(yī)生都有的情況共有841470種組隊方法本題也可以應(yīng)用直接法進行求解：當(dāng)小分隊中有一名女醫(yī)生

28、時有CC40種組法；當(dāng)小分隊中有2名女醫(yī)生時有CC30種組法，故共有70種組隊方法5.解析：選B.與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110恰有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個位置中選2個位置相同，其他2個不同，有C6個；第二類：與信息0110恰有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即從4個位置中選1個位置相同，其他3個不同，有C4個；第三類：與信息0110沒有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同，即4個對應(yīng)位置上的數(shù)字都不同，有C1個由加法原理知，與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為64111.6.解析：選C.滿足要求的點的取法可分為3類：第1類，在四棱錐的每個側(cè)面上除點P外任取3點，有4C種取法；第2類，在兩個對角面上除點P外任