2022年2022年高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第四章平面對量高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望1.平面對量的實際背景及基本概念精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 明白向量的實際背景；2 懂得平面對量的概念,懂得兩個向量相等的含義；3 懂得向量的幾何表示.本章重點：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.向量的線性運(yùn)算(1) 把握向量加法.減法的運(yùn)算,并懂得其幾何意義；(2) 把握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,懂得兩個向量共線的含義；1. 向量的各種運(yùn)算；2. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 及 數(shù) 形 結(jié) 合 的 思想；向量為近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念

2、之一,它為溝通代數(shù).幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 明白向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面對量的基本定理及其坐標(biāo)表示1 明白平面對量的基本定理及其意義；2 把握平面對量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3) 會用坐標(biāo)表示平面對量的加法.減法與數(shù)乘運(yùn)算；4 懂得用坐標(biāo)表示的平面對量共線的條件. 4.平面對量的數(shù)量積1 懂得平面對量數(shù)量積的含義及其物理意義；2 明白平面對量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3) 把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面對量數(shù)量積的運(yùn)算；(4) 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判定兩個平面對量的垂直關(guān)系.5.

3、向量的應(yīng)用(1) 會用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問3. 向量的數(shù)量積在 證 明 有 關(guān) 向 量 相等.兩向量垂直.投 影.夾角等問題中的 應(yīng)用 .本章難點：1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用；2. 向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點間距離中的應(yīng)用 .背景,同時又為數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范,正為由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”,所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問的一個交匯點.在高考中,不僅留意考查向量本身的基礎(chǔ)學(xué)問和方法,而且常與解析幾何.三角函數(shù).數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查 .在考試要求的層次上更加突出向量的實際背景.幾何意義.運(yùn)算功能和應(yīng)用價值

4、 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題；(2) 會用向量方法解決某些簡潔的力學(xué)問題及其他一些實際問題.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)問網(wǎng)絡(luò)4.1平面對量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例 1】 以下命題：向量 ab 的長度與ba 的長度相等；向量 a 與向量 b 平行,就a 與 b 的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量,其終點必相同；向量 ab 與向量 cd 為共線向量,就a.b.c.d 必在同始終線上.其中真命題的序號為.【解析】 對；零向量與任一向量為平行向量,但零向量的方向任意,故錯；明顯錯；ab 與 cd為共線向量, 就 a.b.c.

5、d 可在同始終線上,也可共面但不在同始終線上,故錯 .故為真命題的只有.【點撥】 正確懂得向量的有關(guān)概念為解決此題的關(guān)鍵,留意到特殊情形,否定某個命題只要舉出一個反例即可 .【變式訓(xùn)練1】以下各式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 |a|aa ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abc abc； oa ob ba ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在任意四邊形abcd 中, m 為 ad 的中點, n 為 bc 的中點,就ab dc 2 mn ； a cos , sin , b cos , sin ,且 a 與 b 不共線,就 a b ab .其中正確

6、的個數(shù)為a.1b.2c.3d.4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 選 d.| a |aa 正確； abc abc ；oa ob ba 正確；如下圖所示,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn = md + dc + cn 且 mn = ma + ab + bn ,兩式相加可得2 mn ab dc ,即命題正確；由于 a, b 不共線,且 |a|b| 1,所以 a b, a b 為菱形的兩條對角線, 即得 ab a b.所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例 2】如圖, abcd 為平行四邊形,ac .bd 交于點 o,點 m 在線段 do精品學(xué)習(xí)資料

7、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1上,且 dm=do31,點 n 在線段 oc 上、 且 on =oc3、 設(shè) ab =a、ad = b、 試用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.b 表示 am , an , mn .【解析】 在.abcd 中, ac ,bd 交于點 o,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 do 1 db 1ab ad 1 b,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2ao oc 122ac 122 aab ad 1a b.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 dm 1 do ,on 1 oc ,331所以 am ad dm

8、 b 3 do b1 115× a b a b,3 266an ao on oc 1 oc3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 3 oc 4 1× a b 3 223a b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 mn an am精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 2a b 1 5 1a 1 abb.36626【點撥】 向量的線性運(yùn)算的一個重要作用就為可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個不共線的向量表示,即平面對量基本定理的應(yīng)用,在運(yùn)用向量解決問題時,常常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】o 為平面 上一點, a.b.c 為平面 上不共線的

9、三點,平面 內(nèi)的動點p 滿意 op 2oa ab ac ,如 1時,就 pa pb pc 的值為.【解析】 由已知得 op oa ab ac ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 ap ab ac ,當(dāng) 1時,得2ap 1 ab ac , 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 2 ap ab ac ,即 ap ab ac ap , 所以 bp pc ,所以 pb pc pb bp 0,所以 pa pb pc pa0 0,故填 0.題型三向量共線問題【例 3】 設(shè)兩個非零向量a 與 b 不共線 .1如 ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,求證： a,

10、b, d 三點共線； 2試確定實數(shù)k,使 ka b 和 akb 共線 .【解析】 1 證明：由于ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,所以 bd bc cd 2a 8b3a b 5a b 5 ab ,所以 ab ,bd 共線 .又由于它們有公共點b, 所以 a, b,d 三點共線 .2由于 ka b 和 a kb 共線,所以存在實數(shù),使 ka b a kb,所以 k ak1b.由于 a 與 b 為不共線的兩個非零向量,所以 k k 1 0,所以 k2 1 0,所以 k ±1.【點撥】 1 向量共線的充要條件中,要留意當(dāng)兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向

11、量,要留意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.【變式訓(xùn)練3】已知 o 為正三角形bac 內(nèi)部一點, oa +2 ob +3 oc =0,就oac 的面積與 oab 的面積之比為（）32a. 2b. 31c.2d. 3【解析】 如圖,在三角形abc 中,oa 2 ob 3 oc 0,整理可得oa oc 2 ob oc 0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令三角形 abc 中 ac 邊的中點為e, bc 邊的中點為f,就點

12、o 在點 f 與點 e 連線的1處,即 oe 2of . 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1hh1設(shè)三角形abc 中 ab 邊上的高為h,就 soac soae soec 2oe2 22oe· h,111soab 2ab2h 4ab· h,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ef由于 ab 2ef ,oe 23,所以 ab 3oe,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載soac所以soab1 oe21 ab4h2 3.應(yīng)選 b.h精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載總結(jié)提高1.向量共線

13、也稱向量平行,它與直線平行有區(qū)分,直線平行不包括共線即重合 的情形,而向量平行就包括共線 即重合 的情形 .2.判定兩非零向量為否平行,實際上就為找出一個實數(shù),使這個實數(shù)能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當(dāng)向量 a 與 b 共線同向時,|a b| |a| |b|；當(dāng)向量 a 與 b 共線反向時, |a b| |a| |b|； 當(dāng)向量 a 與 b 不共線時, |a b| |a| |b|.4.2平面對量的基本定理及其坐標(biāo)表示典例精析題型一平面對量基本定理的應(yīng)用【例 1】如圖 .abcd 中 、m 、n 分別為 dc ,bc 中點 .已知 am =a、 an =b、試用 a,b 表示 a

14、b , ad 與 ac【解析】 易知 am ad dm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad 1 ab ,2an ab bn ab 1 ad ,2ad1 aba、即2ab1 adb.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 ab 22b a,ad 2 b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3所以 ac ab ad 2 2a3 b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a3【點撥】 運(yùn)用平面對量基本定理及線性運(yùn)算,平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運(yùn)用值得認(rèn)真領(lǐng)會.【變式訓(xùn)練1】已知 d 為 abc 的邊 bc 上的中點, abc 所

15、在平面內(nèi)有一點p,滿意 pa bp cp精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 0,就| pd | 等于 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 13| ad |b. 12c.1d.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 由于 d 為 bc 邊上的中點,因此由向量加法的平行四邊形法就,易知pb pc 2 pd ,因精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此結(jié)合 pa bp cp 0 即得 pa 2 pd ,因此易得p,a, d 三點共線且d 為 pa 的中點,所以| pd |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ad | 1,即選 c.題

16、型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 2】 已知 a 1, 1, b x, 1,u a 2b, v 2ab.1如 u 3v,求 x； 2如 uv,求 x.【解析】 由于 a 1, 1, b x, 1,所以 u 1, 1 2x, 1 1, 1 2x, 2 2x 1, 3,v 21, 1 x, 1 2x, 1. 1u 3v. 2x1, 3 32 x, 1. 2x 1,3 6 3x, 3, 所以 2x 1 63x,解得 x 1.2u v . 2x1, 3 2 x, 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x1.32x、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載. 2x 1 32 x0. x 1.【點

17、撥】 對用坐標(biāo)表示的向量來說,向量相等即坐標(biāo)相等,這一點在解題中很重要,應(yīng)引起重視.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【變式訓(xùn)練2】已知向量a nn* b|2 |a b|2 |a b|2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n |a141 b|2 的最大值為.cos 7 , sin 7 nn, |b| 1.就函數(shù) y |a123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 設(shè) b cos , sin ,所以 y |a b|2 |a b|2 |a b|2 |a b|2 a 2 b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12314112cos ,7精品學(xué)習(xí)資料

18、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,sin a2 b2141 141 , sin 282 2cos,所以 y 的最大值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin7cos1412cos7,sincos 77精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為 284.題型三平行 共線 向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 3】已知 abc 的角 a,b,c 所對的邊分別為a, b,c,設(shè)向量 ma,b,n sin b, sin a, p b2, a 2.1如 m n,求證： abc 為等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2如 m p,邊長 c 2,角 c,求 abc 的面積 . 3精品

19、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 1 證明：由于m n,所以 asin a bsin b.由正弦定理,得a2 b2,即 ab.所以abc 為等腰三角形 .2由于 m p,所以 m· p 0,即ab 2 ba2 0,所以 a b ab.由余弦定理,得4 a2 b2 aba b2 3ab,所以 ab2 3ab 4 0.所以 ab 4 或 ab 1舍去 .113所以 sabc 2absin c2×4×2 3.【點撥】 設(shè) m x1, y1, n x2, y2,就 m n. x1 y2 x2y1； m n. x1 x2y1 y2 0.【變式訓(xùn)練 3】已知

20、 a,b,c 分別為 abc 的三個內(nèi)角 a,b, c 的對邊,向量 m2cosc1, 2, ncos c, cos c 1. 如 m n,且 a b10,就 abc 周長的最小值為 a.10 53b.10 53c.10 23d.10 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載或【解析】由 m n 得 2cos2c 3cos c 2 0,解得 cos c 12cos c 2舍去 ,所以 c2 a2 b2 2abcos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c a2 b2 ab a b2 ab 100 ab,由 10a b 2ab. ab 25,所以 c275,即 c 53,所以a

21、 b c 10 53,當(dāng)且僅當(dāng)a b5 時,等號成立.應(yīng)選 b.總結(jié)提高1.向量的坐標(biāo)表示,實際為向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標(biāo)表示后,即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.向量方法為幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體,許多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.2.向量的運(yùn)算中要特殊留意方程思想的運(yùn)用.3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法就與三角形法就,坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).4.3平面對量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用典例精析題型一利用平面對量數(shù)量積解決模.夾角問題【例 1】 已知 a, b 夾角為 120°,且 |a| 4, |b| 2,求： 1|a b|；2

22、 a 2b · a b；3a 與a b的夾角 .【解析】 1 a b2 a2 b2 2a· b1 164 2×4×2× 12,2所以 |a b| 23.2 a 2b · a b a2 3a· b 2b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 163×4×2× 2×4 12.23a· a b a2 a·b 16 4×2 112.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載× 2a ab123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

23、所以 cos | a | ab |4×23,所以 .26精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【點撥】 利用向量數(shù)量積的定義.性質(zhì).運(yùn)算律可以解決向量的模.夾角等問題.【變式訓(xùn)練1】已知向量a,b,c 滿意：|a|1,|b| 2,c a b,且 c a,就 a 與 b 的夾角大小為.【解析】 由 c a. c· a 0. a2 a· b 0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 cos1,所以 2120°.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例 2】 在 abc 中, ab 2 ,3

24、 ,ac 1, k,且 abc 的一個內(nèi)角為直角,求k 的值 .【解析】 當(dāng)a 90°時,有 ab · ac 0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 2×1 3· k0,所以 k 2；3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)b 90°時,有 ab · bc 0,；又 bc ac ab 1 2, k 3 1, k 3, 所以 2×1 3×k 3 0. k 113當(dāng)c 90°時,有 ac · bc 0,所以 1 k· k 3 0,所以 k2 3k 1 0. k 3

25、± 13.22113± 13精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 k 的取值為3, 3 或2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【點撥】 由于哪個角為直角尚未確定,故必需分類爭論.在三角形中運(yùn)算兩向量的數(shù)量積,應(yīng)留意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】 abc 中, ab 4, bc 5,ac 6,求 ab · bc bc · ca ca · ab .【解析】 由于 2 ab · bc 2 bc · ca 2 ca · ab ab · bc ca · ab ca 

26、3; ab bc · ca bc · ca bc · ab ab · bc ca ca · ab bc bc · ca ab ab · ba ca · ac bc · cb 426252 77.2所以 ab · bc bc · ca ca · ab 77.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型三平面對量的數(shù)量積的綜合問題【例 3】數(shù)軸 ox,oy 交于點 o,且 xoye ,e分別為與ox,oy 同向精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ,構(gòu)成一個平面斜坐標(biāo)系,123的單位向量,設(shè)p 為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,且op xe1 ye2,就點 p 的坐標(biāo)為 x, y,已知 q1, 2.1求| oq |的值及 oq 與 ox 的夾角；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2過點 q 的直線 l oq ,求 l 的直線方程 在斜坐標(biāo)系中.【解析】 1 依題意知, e · e112 ,2且 oq e1 2e2,所以 oq 2 e1 2e22 1 4 4e1· e2 3.所以 | oq