計算方法報告 數(shù)值分析結(jié)課論文

1、河北聯(lián)合大學2012級研究生 學院：建筑工程學院 專業(yè)： 建筑與土木工程 學號： 姓名： 成績： 數(shù)值積分及應用研究第一章 對象描述一、 數(shù)值積分及應用描述數(shù)值積分的多種問題及其在現(xiàn)代工程中的廣泛應用的探討是計算數(shù)學的一個重要課題，數(shù)值積分是數(shù)學上的重要課題之一，是數(shù)值分析中的重要內(nèi)容之一，也是數(shù)學的研究重點。并在實際問題及應用中有著廣泛的應用。常用于科學與工程的計算中，如涉及到積分方程，工程計算，計算機圖形學，金融數(shù)學等應用科學領域都有著相當重要的應用，所以研究數(shù)值積分問題有很重要的意義。研究方法有插值法和抽樣插值法等。當然大家都知道計算積分可以借助原函數(shù)和查找積分表，但是，用這些方法只能解

2、決很狹隘的一類積分，而且在計算的過程中，肯定會產(chǎn)生誤差，我們要想法子使得誤差盡可能的小。因此，數(shù)值積分的公式應滿足：計算簡單，誤差小，代數(shù)精度高等。近些年來，有關數(shù)值積分的研究已經(jīng)成為一個很活躍的研究領域，所以研究數(shù)值積分有很重要的意義。設是閉區(qū)間上某一給定的可積函數(shù)，現(xiàn)在要計算定積分，我們可以借助原函數(shù)，或借助函數(shù)逼近的方法來計算，對于不熟悉的我們也可以借助參考積分表。但都有一定的局限性，由于許多函數(shù)的無定積分無法用簡單的函數(shù)表達出來，如一些離散點上的函數(shù)。在微積分理論中，我們知道了牛頓萊布尼茨（Newton_Leibniz）公式： 式（1.1）其中在閉區(qū)間上連續(xù)，是被積函數(shù)的某一個原函數(shù)，

3、但是對于很多實際問題都無能為力。主要原因：1. 被積函數(shù)的原函數(shù)理論上存在，但無法用簡單函數(shù)表示出來，即無法用與上式計算，例如：等初等函數(shù)；2. 被積函數(shù)無法詳盡描述，即沒有可用的計算表達式，也就是如是在一些離散點上的函數(shù)，就無法顯示微分方程的解。3. 被積函數(shù)的原函數(shù),表示相當復雜，求值困難。 因此，需要研究計算定積分的近似方法，即數(shù)值積分法。當然，可積函數(shù)的種類是極其多的，那么我們應該考慮滿足：計算簡單，誤差小，代數(shù)精度高，故此，我們常尋找新的方法來修正已知的求積公式。 當?shù)那闆r使得無法精確計算時，若能已知在部分點上的函數(shù)值，利用已經(jīng)學過的差值知識，可以構(gòu)造一個多項式來逼近被積函數(shù)，而多項

4、式為被積函數(shù)，在區(qū)間上的定積分是容易計算的，這樣得到計算定積分的一種數(shù)值積分方法，即 式（1.2）于是，就根據(jù)這一想法構(gòu)造了計算積分的各種近似計算公式。二、 數(shù)值積分及應用的相關概念1. 求積節(jié)點，求積系數(shù)，權等概念 若求積公式 式（1.3）式中稱為求積節(jié)點，稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點的權。 2. 求積公式的代數(shù)精度的概念若求積公式（1.3）中，若對任意次數(shù)不高于次的多項式均精確成立，而對某個次的多項式不精確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度（Algebraic Accuracy）。3. 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性在求積公式（1.3）中，若 ，其中，則稱求積公式（1.3）是收斂的。 對任給，若，

5、就有 式（1.4）成立，則稱求積極分公式（1.3）是穩(wěn)定的。4. 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式將積分區(qū)間等分，步長 ，取等距節(jié)點則柯特斯（Cotes）系數(shù) 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式為 式（1.5）又被稱為N-C公式。下面給出幾種特殊的N-C求積公式。（1）梯形求積公式：當時，相應的求積公式 式（1.6）稱為梯形求積公式。（2）辛普森（Simpson）公式當時，相應的求積公式為 式（1.7）（3）柯特斯（Cotes）公式當時，令，求積公式 式（1.8）稱為牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 5. 復化梯形積分若將積分區(qū)間等分，步長，節(jié)點在每個小

6、區(qū)間上用梯形公式 式（1.9）并求和得到的公式 式（1.10）稱為復化梯形公式。6. 復化辛普森（Simpson）積分若將積分區(qū)間分成等分，步長，節(jié)點 在每個小區(qū)間上使用Simpson公式則有其中，對其求和可得得到的公式 式（1.11） 則稱為復化Simpson公式。7. 龍貝格(Romberg)求積公式Romberg積分是一種最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，經(jīng)Richardson 外推算法得到的求積公式。下面對改公式進行詳細的介紹：對積分，使用復化梯形公式并記 再根據(jù)Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson 外推公式得設，則，且有如此重復Richa

7、rdson公式可得若記，則上式可記為 式（1.12）此式即為龍貝格(Romberg)求積公式。8. 高斯(Gauss)求積公式Gauss型求積公式是指具有次代數(shù)精度的形如插值型求積公式，其節(jié)點稱為Gauss點。下面介紹幾種常用的Gauss型求積公式：（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）求積公式 式（1.13）其Gauss點為Legendre多項式 的零點，求積系數(shù)為 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 式（1.14）其Gauss點及求積系數(shù)為 ， （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式 式（1.15）其Gauss點為La

8、guerre多項式 的零點，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式 式（1.16） 其Gauss點為Hermite多項 的零點，求積系數(shù)為 三、 數(shù)值積分及應用的相關理論定理1： 形如（1.3）式的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的。定理2： 若求積公式（1.3）中系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的。定理3： 當階為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式（1.5）至少有次代數(shù)精度。定理4： 設，則有 ， 式（1.17）其中系數(shù)與無關。定理5： 插值型求積公式（1.3）的節(jié)點是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式 與任何次數(shù)不超過的多項式帶權正交，即 式（

9、1.18）定理6： 高斯求積公式（1.3）的求積系數(shù)全是正的。定理7： 設，則高斯求積公式（1.3）是收斂的，即 四、 數(shù)值積分及應用國外研究進展 近幾年來, 數(shù)值積分的文獻有明顯增多的趨勢.例如,從1975至1979年間,僅美國的數(shù)學評論(Mathematical Revicws)上評述過的文章,每年都在百篇以上,其中還不包括有關Monte C arlo 方法和數(shù)值積分變換等方面的文獻。只須對文獻狀況作一番粗略分析, 則不難發(fā)現(xiàn)四個特點,即:研究方法的多樣性、研究對象的特殊性、研究問題的具體性。今逐點概述如下1.研究方法的多樣性S.L.Sobolev等人認為近代數(shù)值積分研究與泛函分析、代數(shù)學

10、、概率統(tǒng)計理論、拓樸學等許多數(shù)學分支均有著密切的內(nèi)在聯(lián)系.這一看法無疑是符合實際情況的。著名的數(shù)論方法(主要用于處理多元周期函數(shù)的數(shù)值積分)是以解析數(shù)論與代數(shù)數(shù)論中的一些研究成果為依據(jù)發(fā)展起來的。多年來, Sobolev 學派一直采用泛函分析工具研究高維數(shù)值積分問題,并獲得了豐富的成果. 他們利用泛函分析方法建立了各種函數(shù)空間求積過程收斂性的理論.此外,他們也重視在各種函數(shù)空間(針對特定的函數(shù)類)討論優(yōu)化求積公式的構(gòu)造問題. 對此感興趣的讀者, 建議去查閱近幾年蘇聯(lián)的數(shù)學文摘雜志。構(gòu)造高維求積公式的代數(shù)方法是大家熟悉的. 它是以追求提高“代數(shù)精確度” 為目標的一種方法, 所使用的工具主要是矩陣

11、代數(shù)、線性變換和多元直交多項式理論.20多年以來, 針對各種特殊區(qū)域已經(jīng)構(gòu)造了大量的具有各種代數(shù)精確度的求積公式.在這一領域作出貢獻的學者主要有A.H.Stround, P.C.Hammer, P.M.Hirsch, J.N.Lynes等人。上述情況足以說明,在近代數(shù)值積分法的研究中,人們所使用的數(shù)學方法是多種多樣的。2. 研究對象的特殊性由于應用上的需要,決定了近代數(shù)值積分方法研究中的另一特點是,有關特殊類型問題的研究十分明顯地增多了.特別是,關于奇異積分、振蕩積分、被積函數(shù)的值不能準確地確定的積分應該如何近似估值等間題的研究,文獻越來越多。此外,討論Laplace反變換數(shù)值計算的文獻也不少

12、。3.研究對象的具體性近幾年來, 根據(jù)物理學與其它技術科學部門的實際需要,許多作者設計了一些具體的求積公式。例如,H.G.Kaper曾研究了下列積分 和 在附近的漸近性質(zhì)并得到了和的漸近展開式, 這里取正實數(shù),是非負整數(shù),是復變量且.這兩個積分在中子流動方程和中子幅射遷移方程中扮演著重要的角色.又如許多有關振蕩函數(shù)積分近似估值法的研究多半是針對物理學中經(jīng)常出現(xiàn)的具體積分進行的.在M.Blakemore, G.A.Evans和J.Hyslop的文章中，曾對已有的許多方法進行了比較，修正和推薦。A.R.Didonato對大的和實數(shù)給出了下列逼近式 ，其中 .特別，時上式為精確等式。曾闡明各種數(shù)值積

13、分方法都有它自己的特點,各有其一定的適用范圍,因此要想在數(shù)值積分法中找到一個適用于各種場合的“萬能方法”是不可能的. 這一特征現(xiàn)今已越來越明顯地表現(xiàn)出來了。五、 數(shù)值積分及應用方法有多少？1.牛頓萊布尼茨積分法2.牛頓柯特斯積分法3.辛普森積分公式4.復合梯形計算法5.復合辛普森求積方法6.龍貝格求積計算法7.高斯求積計算法第二章 算法研究一、數(shù)值積分種類1.數(shù)值積分的方法1.1 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式將積分區(qū)間等分，步長 ，取等距節(jié)點則柯特斯（Cotes）系數(shù) 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式為 式（2.1）又被稱為N-C公式。下面給出幾種特殊的N-C求

14、積公式。（1）梯形求積公式：當時，相應的求積公式 式（2.2）稱為梯形求積公式。（2）辛普森（Simpson）公式當時，相應的求積公式為 式（2.3）（3）柯特斯（Cotes）公式當時，令，求積公式 式(2.4)稱為牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 1.2 復合求積公式復合求積公式包括復合梯形公式和復合辛普森求積公式。（1）復合梯形公式若將積分區(qū)間等分，步長，節(jié)點在每個小區(qū)間上用梯形公式并求和得到的公式 式（2.5）稱為復合梯形公式。（2） 復合辛普森（Simpson）求積公式若將積分區(qū)間分成等分，步長，節(jié)點 在每個小區(qū)間上使用Simpson公式則有其中，對其求和可得得到的公式

15、式（2.6）則稱為復合Simpson求積公式。1.3 龍貝格(Romberg)求積公式Romberg積分是一種最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，經(jīng)Richardson 外推算法得到的求積公式。下面對改公式進行詳細的介紹：對積分，使用復化梯形公式并記 再根據(jù)Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson 外推公式得設，則，且有如此重復Richardson公式可得若記，則上式可記為 式（2.7）此式即為龍貝格(Romberg)求積公式。1.4 自適應積分方法設給定精度要求e >0，計算積分的近似值。先取步長h=b-a，應用辛普森公式有，=（a,b）,其中若

16、把區(qū)間a,b對分，步長h2=h/2=(b-a)/2，在每個小區(qū)間上用辛普森公式，則得其中實際上上式即為與(5.1)式比較，若f(4)(x)在區(qū)間 (a,b)上變化不大，可假定f(4)() » f(4)(x) ，從而可得與原式比較，則得這里S1=S(a,b)，S2=S2(a,b). 如果有則可期望得到此時可取S2(a,b)作為I(f)的近似，則可達到給定的誤差精度e ，若不等式(5.3)不成立，則應分別對子區(qū)間a,(a+b)/2 及(a+b)/2, b再用辛普森公式，此時步長h3=(1/2)h2，得到S3(a, (a+b)/2)及S3(a+b)/2, b). 只要分別考察下面兩個不等式

17、是否成立. 對滿足要求的區(qū)間不再細分，對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程，直到滿足要求為止，最后還要應用龍貝格法則求出相應區(qū)間的積分近似值. 為了更直觀地說明自適應積分法的計算過程及方法為何能節(jié)省計算量。1.5 高斯(Gauss)求積公式Gauss型求積公式是指具有次代數(shù)精度的形如插值型求積公式，其節(jié)點稱為Gauss點。下面介紹幾種常用的Gauss型求積公式：（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）求積公式其Gauss點為Legendre多項式 式（2.8）的零點，求積系數(shù)為 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 其Gauss點及求積系數(shù)為 ， 式（2.9

18、） （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式其Gauss點為Laguerre多項式 式（2.10）的零點，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式其Gauss點為Hermite多項式 式（2.11）的零點，求積系數(shù)為 2. 經(jīng)典的數(shù)值積分方法積分基本定理 牛頓萊布尼茨公式 積分中值定理 二、數(shù)值積分方法比較牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式中，是精確值，而是由實驗或觀察得到的，本身有誤差。當 時，牛頓-科特斯公式是數(shù)值穩(wěn)定的，當n>8時牛頓-科特斯公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。所以牛頓-科特斯公式代數(shù)精度高但是數(shù)值不一定穩(wěn)定。復合

19、求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時統(tǒng)一將區(qū)間等分用復合求積公式計算積分工作量大。復合求積公式不能用代數(shù)精度來決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來刻畫其收斂性的。中復合梯形公式的收斂階是2，且當時收斂階大于2；復合辛普森公式的收斂階是4，且當時，收斂階大于4。龍貝格方法數(shù)值穩(wěn)定，且對任意連續(xù)函數(shù)，都能保證數(shù)值積分收斂到準確值，且Romberg算法程序簡單 ，當節(jié)點加密提高積分近似程度時，前面的計算結(jié)果可以為后面的計算使用，因此，對減少計算量很有好處。并有比較簡單的誤差估計方法。當f(x)求值不太復雜時，該方法是使用的

20、方法。自適應積分方法通常適用于求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩。高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，且對于有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，高斯求積公式的值隨著節(jié)點數(shù)目的增加而收斂到準確積分值。而且計算量小，代數(shù)精度高。雖然對任意的a,b以及a,b上的權函數(shù)都能構(gòu)造正交多項式，并且也能構(gòu)造高斯求積公式，但不能象那些特殊多項式一樣，歸結(jié)成一個明確的表達式，也沒有明確的規(guī)律。它的節(jié)點是不規(guī)則的，所以當節(jié)點增加時，前面的計算的函數(shù)值不能被后面利用。計算過程比較麻煩，但精度高，特別是對計算無窮區(qū)間上的積分和廣義積分，則是其他方法所不能比的。第三章 算法應用一、 數(shù)值積分及應用方法怎么用

21、？（程序設計）？1. 一般程序設計2. 舉例驗證目的：回答*方法怎么用的問題？ 二、*方法用哪好？ 1. *方法在你所學專業(yè)的應用 2. *方法在你了解的其他領域的應用第四章 算法展望我們所學的計算方法有：1.牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式 （1）梯形求積公式：（2）辛普森（Simpson）公式 （3）柯特斯（Cotes）公式牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式中，是精確值，而是由實驗或觀察得到的，本身有誤差。當 時，牛頓-科特斯公式是數(shù)值穩(wěn)定的，當n>8時牛頓-科特斯公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。所以牛頓-科特斯公式代數(shù)精度高但是數(shù)值不一定穩(wěn)定。2. 復合求積公式復合求

22、積公式包括復合梯形公式和復合辛普森求積公式。（1）復合梯形公式 稱為復合梯形公式。（2） 復合辛普森（Simpson）求積公式 復合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時統(tǒng)一將區(qū)間等分用復合求積公式計算積分工作量大。復合求積公式不能用代數(shù)精度來決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來刻畫其收斂性的。中復合梯形公式的收斂階是2，且當時收斂階大于2；復合辛普森公式的收斂階是4，且當時，收斂階大于4。3. 龍貝格(Romberg)求積公式 龍貝格方法數(shù)值穩(wěn)定，且對任意連續(xù)函數(shù)，都能保證數(shù)值積分收斂到準確值，且Romberg算法程

23、序簡單 ，當節(jié)點加密提高積分近似程度時，前面的計算結(jié)果可以為后面的計算使用，因此，對減少計算量很有好處。并有比較簡單的誤差估計方法。當f(x)求值不太復雜時，該方法是使用的方法。4.自適應積分方法復合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時統(tǒng)一將區(qū)間等分用復合求積公式計算積分工作量大。復合求積公式不能用代數(shù)精度來決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來刻畫其收斂性的。中復合梯形公式的收斂階是2，且當時收斂階大于2；復合辛普森公式的收斂階是4，且當時，收斂階大于4。5. 高斯(Gauss)求積公式（1）高斯-勒讓德（Gauss

24、-Legendre）求積公式其Gauss點為Legendre多項式 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 其Gauss點及求積系數(shù)為 ， （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式其Gauss點為Laguerre多項式 的零點，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式其Gauss點為Hermite多項式 式（2.11）的零點，求積系數(shù)為 高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，且對于有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，高斯求積公式的值隨著節(jié)點數(shù)目的增加而收斂到準確積分值。而且計算量小，代數(shù)精度高。雖然對任意的a,b以及a,b上的權函數(shù)都

25、能構(gòu)造正交多項式，并且也能構(gòu)造高斯求積公式，但不能象那些特殊多項式一樣，歸結(jié)成一個明確的表達式，也沒有明確的規(guī)律。它的節(jié)點是不規(guī)則的，所以當節(jié)點增加時，前面的計算的函數(shù)值不能被后面利用。計算過程比較麻煩，但精度高，特別是對計算無窮區(qū)間上的積分和廣義積分，則是其他方法所不能比的。第五章 學習思考 一、數(shù)值積分相關的問題1.給出計算積分的梯形公式及中矩形公式。說明他們的幾何意義。2.什么是求積公式的代數(shù)精度？3.描述自適應求積公式的一般步驟。怎樣得到所需的誤差積分？4.怎樣利用標準的一維求積公式公式計算矩形域上的二重積分？5.對給定的函數(shù)，給出兩種近似求導的方法。若給定的函數(shù)值有擾動，怎樣處理這個問題？二、 我的課題作業(yè)1.求解定積分解In1:= Out1=2. 計算數(shù)值積分;解In1:=NIntegrateSqrt1+Sinx3,x,0,1Out1=1.082683. 設，求解In1:=fx_:=Ifx<0,1/(1+Ex),1/(1+x)NIntegratefx-1,x,0,2Out1=1.313264.用矩形法計算定積分.解In2:=Cleary,x,s1,n,b,a;n=20;a=1;b=5;yx_:=;s1=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,0,n-1/N;s2=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,1,n