2022年2022年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題目高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座不等式學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用高考要求不等式為繼函數(shù)與方程之后的又一重點(diǎn)內(nèi)容之一,作為解決問(wèn)題的工具,與其他學(xué)問(wèn)綜合運(yùn)用的特點(diǎn)比較突出不等式的應(yīng)用大致可分為兩類(lèi)一類(lèi)為建立不等式求參數(shù)的取值范疇或解 決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；另一類(lèi)為建立函數(shù)關(guān)系,利用均值不等式求最值問(wèn)題.本難點(diǎn)供應(yīng)相關(guān)的思想方法,使考生能夠運(yùn)用不等式的性質(zhì).定理和方法解決函數(shù).方程.實(shí)際應(yīng)用等方面的問(wèn)題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載重難點(diǎn)歸納1 應(yīng)用不等式學(xué)問(wèn)可以解決函數(shù).方程等方面的問(wèn)題,在解決這些問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵為把非不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題,在化歸與轉(zhuǎn)化中,要留意等

2、價(jià)性2 對(duì)于應(yīng)用題要通過(guò)閱讀,懂得所給定的材料,查找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系,抽象出事物系統(tǒng)的主要特點(diǎn)與關(guān)系,建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),從而建立起數(shù)學(xué)模型,然后利用不等式的學(xué)問(wèn)求出題中的問(wèn)題典型題例示范講解例 1 用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度勻稱(chēng),且表面積為2 平方米的正四棱錐形有蓋容器 如右圖 設(shè)容器高為h 米,蓋子邊長(zhǎng)為a 米,1求 a 關(guān)于 h 的解析式；2設(shè)容器的容積為v 立方米, 就當(dāng) h 為何值時(shí), v 最大？求出v 的最大值 求解此題時(shí),不計(jì)容器厚度精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載命題意圖此題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式,棱錐表面積和體積的運(yùn)算及用均值定論求函數(shù)的最值學(xué)問(wèn)依

3、靠此題求得體積v 的關(guān)系式后, 應(yīng)用均值定理可求得最值錯(cuò) 解 分 析在 求 得a的 函 數(shù) 關(guān) 系 式 時(shí) 易 漏h 0技 巧 與 方 法本 題 在 求 最 值 時(shí) 應(yīng) 用 均 值 定 理精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解 設(shè)h 為 正 四 棱 錐 的 斜 高 , 由 題 設(shè) 可 得消去由 h 0得所以 v,當(dāng)且僅當(dāng) h=即 h=1 時(shí)取等號(hào)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故當(dāng)h=1 米時(shí), v 有最大值,v 的最大值為立方米+bx+c, gx=ax+b,當(dāng) 1 x例 2 已知 a, b, c 為實(shí)數(shù),函數(shù)fx=ax2 1 時(shí)|fx| 11證明|c |1；2證明當(dāng)

4、1 x1 時(shí), |g x| 2；3設(shè) a 0,有 1 x1 時(shí), gx的最大值為2,求 f x命題意圖此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì).含有肯定值不 等 式 的性 質(zhì) ,以 及 綜合 應(yīng) 用 數(shù)學(xué) 知 識(shí)分 析 問(wèn)題 和 解 決問(wèn) 題 的能 力精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)問(wèn)依靠二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性為藥引,而肯定值不等式的性質(zhì)敏捷運(yùn)用為此題的靈魂錯(cuò)解分析此題綜合性較強(qiáng), 其解答的關(guān)鍵為對(duì)函數(shù)fx 的單調(diào)性的深刻懂得,以及對(duì)條件“1 x1 時(shí)|f x| 1”的運(yùn)用；肯定值 不等式的性質(zhì)使用不當(dāng),會(huì)使解題過(guò)程空洞,缺乏嚴(yán)密, 從而使題目陷于僵局技巧與方法此題 2 問(wèn)有三種證

5、法,證法一利用gx的單調(diào)性；證法二利用肯定值不等式|a| |b| |a± b|精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載|a|+|b|；而證法三就為整體處理gx與 f x的關(guān)系1證明由條件當(dāng) =1 x 1 時(shí), |f x| 1,取 x=0 得 |c|=|f0| 1,即 |c| 12證法一依題設(shè) |f0| 1 而 f0= c,所以 |c | 1當(dāng) a 0 時(shí), gx= ax+b 在 1,1上為增函數(shù),于為 g 1 gxg1, 1 x 1 |fx| 1, 1 x 1, |c| 1, g1= a+b=f1 c |f1|+|c |=2,g 1= a+b= f 1+c |f 2|+|c|

6、2, 因此得 |gx|2 1 x 1；當(dāng) a0 時(shí), gx=ax+b 在 1,1上為減函數(shù), 于為 g 1 gxg1, 1 x 1, |fx| 1 1 x 1, |c| 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 |g x|=|f1 c| |f1|+| c| 2綜合以上結(jié)果,當(dāng)1x 1 時(shí),都有 |gx| 2證法二 |fx| 11 x 1 |f 1| 1, |f1| 1, |f0| 1, fx=ax2+bx+c, |a b+c| 1, |a+b+c| 1, |c| 1,因此,依據(jù)肯定值不等式性質(zhì)得|ab |=|a b+c c| |a b+c|+|c| 2,|a+b|=|a+b+c c|

7、|a+b+c|+|c| 2, gx=ax+b, |g ±1|=|± a+b|=|a± b| 2, 函數(shù) gx=ax+b 的圖象為一條直線,因此 |gx|在 1,1上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)x= 1 或 x=1 處取得,于為由 |g± 1| 2 得|gx| 2, 1 x 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 1 x1 時(shí),有 0 1, 10, |fx| 1, 1 x 1, |f| 1,|f|1；因此當(dāng)1 x 1時(shí), |gx| |f|+|f| 2(3) 解由于 a0,gx在 1,1上為增函數(shù),當(dāng)x=1 時(shí)取得最大值2,即 g1= a+b=f1

8、f0=2 1 f0= f1 21 2= 1, c=f0= 1由于當(dāng) 1 x 1 時(shí), f x 1,即 fx f0,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),直線x=0 為 f x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得 0 ,即 b=0由得 a=2,所以 fx=2x2 1例 3 設(shè)二次函數(shù)fx =ax2+bx+ca 0,方程fx x=0 的兩個(gè)根x1 .x2滿意 0 x1 x21當(dāng) x 0, x1時(shí),證明 x f x x1；2設(shè)函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=x0 對(duì)稱(chēng),證明x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解1令 fx=fx x,由于 x1,x2 為方程 fx x=0 的根

9、,所以fx=ax x1x x2當(dāng) x 0, x1時(shí),由于x1 x2,得 xx1 x x2 0,又 a0,得 fx=axx1x x2 0,即 xfxx1 fx= x1 x +f x=x1 x+ax1 xxx2=x1 x 1+ ax x2 0 x x1 x2, x1 x 0, 1+ax x2=1+ axax2 1 ax2 0 x1 fx0,由此得fx x12依題意x0=,由于x1.x2 為方程f x x=0 的兩根,即x1, x2 為方程 ax2+b1 x+c=0 的根精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x1+x2= x0=,由于 ax2 1, x0同學(xué)鞏固練習(xí)1 定義在r 上的奇函數(shù)

10、fx為增函數(shù),偶函數(shù)g x在區(qū)間 0,+ 的圖象與 fx的圖象重合,設(shè)a b0,給出以下不等式,其 中正確不等式的序號(hào)為 fb f aga g b f b f a gag b fa f bgb g a f a f b gbg aab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cd2 下 列 四 個(gè) 命 題 中 a+b 22 sin x+ 4設(shè)x, y 都為正數(shù),如=1,就 x+y 的最小值為12如 |x 2| ,|y 2| ,就|x y| 2 ,其中全部真命題的序號(hào)為 3 某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地占用費(fèi)y1 與車(chē)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2 與到車(chē)站的距離成正比,假如 在

11、距車(chē)站10 公里處建倉(cāng)庫(kù), 這兩項(xiàng)費(fèi)用y1 和 y2 分別為 2 萬(wàn)元和 8 萬(wàn)元, 那么 要 使 這 兩 項(xiàng) 費(fèi) 用 之 和 最 小 , 倉(cāng) 庫(kù) 應(yīng) 建 在 離 車(chē) 站 公 里 處精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+1 a,br ,a 0,設(shè)方程 fx=x 的兩實(shí)數(shù)根為x1, x2 1假如 x1 2 x24,設(shè)函數(shù)fx的對(duì)稱(chēng)軸為x=x0,求證 x0 1；2假如 |x1| 2, |x2 x1|=2,求 b 的取值范疇5 某種商品原先定價(jià)每件p 元,每月將賣(mài)出n 件,假如 定 價(jià) 上 漲x成 這 里x成 即, 0 x 10每月賣(mài)出數(shù)量將削減y 成,而

12、售貨金額精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變成原先的z 倍1設(shè) y=ax,其中 a 為滿意 a1 的常數(shù),用a 來(lái)表示當(dāng)售貨金額最大時(shí)的x 的值；2如 y=x,求使售貨金額比原先有所增加的x 的取值范圍6 設(shè)函數(shù)fx 定義在r上,對(duì)任意m . n 恒有f m+n=fm·fn,且當(dāng) x 0 時(shí), 0 f x 11求證f0=1 ,且當(dāng) x 0 時(shí), fx 1；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2求證fx在 r 上單調(diào)遞減；3設(shè)集合 a= x, y|fx2 · fy2 f1 ,集合 b= x, y|f ax g+2=1 ,a r ,如 a b=,求 a 的

13、取值范疇7 已知函數(shù)fx=b 0的值域?yàn)?1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3,論；1求 b.c 的值；2判定函數(shù)f x=lg fx,當(dāng) x 1, 1時(shí)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(3) 如t r , 求 證lg f|t | |t+| lg參考答案精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1解析由題意fa=ga 0, fb= g b 0,且 fa f b, ga gb f b f a=fb+fa=ga+ g b而 ga g b=ga gb ga+gb ga gb=2gb 0, fb f a ga g b同理可證fa f b gb g

14、a答案a2 解析不滿意均值不等式的使用條件“正.定.等”式|x y|=|x 2 y 2| |x 2 y 2| |x 2|+|y 2| + =2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案3 解 析由 已 知y1=；y2=08xx 為倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站距離費(fèi)用之和y=y1 +y2=08x+2=8當(dāng)且僅當(dāng)08x=即 x=5 時(shí)“ =”成立答案5 公里處精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4證 明1 設(shè)gx=fx x=ax2+ b 1x +1,且 x 0 x1 2 x2 4, x1 2x2 2 0,即 x1x2 2x1+x2 4,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 解由方

15、程gx=ax2+b 1x+1=0可知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1·x2=0,所以 x1, x21°如 0x 12,就 x2 x1=2 , x2=x1+2 2, g2 0,即 4a+2b 10又x2 x12= 2a+1=a 0代入式得,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 3 2b解得 b2°如 2 x1 0,就 x2 = 2+ x1 2 g 2 0,即 4a 2b+3 0又 2a+1=,代入式得2 2b 1解得 b綜上,當(dāng)0 x1 2時(shí), b ,當(dāng)2 x1 0 時(shí), b 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5解1 由題意

16、知某商品定價(jià)上漲x成時(shí),上漲后的定價(jià).每月賣(mài)出數(shù)量.每月售貨金額分別為p1+元. n1元. npz 元,因而,+100+在 y=ax 的條件下, z= ax2x 10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 a1,就 0 10要使售貨金額最大,即使 z 值最大, 此時(shí) x=2 由 z=10+ x10 x 1 ,解得0 x 561 證 明令m 0 , n=0得f m= fm ·f0 fm 0, f0=1取 m=m,n= m, m 0,得 f 0= fmfm f m=, m 0, m 0, 0f m 1, fm 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

17、習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 證明任取 x1,x2 r,就 fx1 fx2= fx1 f=fx1 fx2x1· fx1= fx1 1 f x2 x1, f x1 0, 1fx2 x1 0, fx1 fx2,函數(shù) fx在 r 上為單調(diào)減函數(shù)(3) 由,x2 x1+x 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題意此不等式組無(wú)解,數(shù)形結(jié)合得 1,解得 a2 3 a,71 解設(shè) y=,就y 2x2 bx+y c=0 x r,的判別式 0,即b2 4y 2 y c 0,即 4y2 42+ cy+8c+b2 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由條件知,不等式的解集為1,

18、 3 1, 3 為方程 4y2 42+ cy+8c+b2=0 的兩根 c=2, b= 2, b=2舍）2 任取 x1, x2 1,1,且 x2 x1,就 x2 x1 0,且 x2 x11 x1x2 0, f x2 fx1= 0, f x2 fx1, lgfx2 lgfx1,即 fx2 fx1 f x為增函數(shù)即 u,依據(jù) fx的單調(diào)性知f f u f ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 lg f |t | |t+| lg對(duì)任意實(shí)數(shù)t 成立課前后備注數(shù)學(xué)中的不等式關(guān)系數(shù)學(xué)為爭(zhēng)論空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),恩格斯在 自然辯證法 一書(shū)中指出, 數(shù)學(xué)為辯證的幫助工具和表現(xiàn)形式,數(shù)學(xué)中包蘊(yùn)著極

19、為豐富的辯證 唯物主義因素, 等與不等關(guān)系正為該點(diǎn)的生動(dòng)表達(dá),它們?yōu)閷?duì)立統(tǒng)一的,又為相互聯(lián)系.相互影響的；等與不等關(guān)系為中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系等的關(guān)系表達(dá)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美和統(tǒng)一美,不等關(guān)系就猶如仙苑奇葩出現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇特美不等關(guān)系起源于實(shí)數(shù)的性質(zhì),產(chǎn)生了實(shí)數(shù)的大小關(guān)系, 簡(jiǎn)潔不等式, 不等式的基本性質(zhì),假如把簡(jiǎn)潔不等式中的實(shí)數(shù)抽象為用各種數(shù)學(xué)符號(hào)集成的數(shù)學(xué)式,不等式進(jìn)展為一個(gè)人丁興盛的大家精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載族, 由簡(jiǎn)到繁, 形式各異假如給予不等式中變量以特定的值.特定的關(guān)系,又產(chǎn)生了重要不等式.均值不等式等不等式為永恒的嗎？明顯不為,由此又產(chǎn)生明白不等式與證明不等式兩個(gè)極為重要的問(wèn)題解不等式即尋求不等式成立時(shí)變量應(yīng)滿意的 范疇或條件