2022年2022年高中解題方法-數(shù)學(xué)歸納法

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高中數(shù)學(xué)解題基本方法五.數(shù)學(xué)歸納法歸納為一種有特別事例導(dǎo)出一般原理的思維方法；歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種；不完全歸納推理只依據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì),推斷該類事物全體都具有的性質(zhì),這種推理方法, 在數(shù)學(xué)推理論證中為不答應(yīng)的；完全歸納推理為在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)；數(shù)學(xué)歸納法為用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法,在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用；它為一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法,論證的第一步為證明命題在n 1 或 n 時(shí)成立,這為遞推的基礎(chǔ)；其次步為假0設(shè)在 n k 時(shí)命題成立,再證明n k 1

2、 時(shí)命題也成立,這為無(wú)限遞推下去的理論依據(jù),它判定命題的正確性能否由特別推廣到一般,實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限,達(dá)到無(wú)限；這兩個(gè)步驟親密相關(guān),缺一不行,完成了這兩步,就可以肯定“對(duì)任何自然數(shù)（或n n 0 且 n n）結(jié)論都正確”；由這兩步可以看出,數(shù)學(xué)歸納法為由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的,屬于完全歸納；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵為nk 1 時(shí)命題成立的推證,此步證明要具有目標(biāo)意識(shí),留意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,可以證明以下問(wèn)題：與自然數(shù)n 有關(guān)的恒等式.代數(shù)不等式.三角不等式.數(shù)列問(wèn)題.幾何問(wèn)題.整除性問(wèn)

3、題等等；.再現(xiàn)性題組：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明n 1n 2n n 2 n ·1· 22n 1（ n n）,從“ k 到 k 1”,左端需乘的代數(shù)式為 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2k1a. 2k 1b. 22k 1c.k1d. 2k3 k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1112. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n n>1時(shí),由 nk k>1 不等式成立, 推證 n k 1 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載232 n1左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)為 ；a. 2k 1b. 2k 1c. 2kd. 2k 13. 某個(gè)命題與自然

4、數(shù)n 有關(guān),如n k k n 時(shí)該命題成立,那么可推得n k 1 時(shí)該命題也成立；現(xiàn)已知當(dāng) n 5 時(shí)該命題不成立,那么可推得 ；94年上海高考 a.當(dāng) n 6時(shí)該命題不成立b.當(dāng) n 6 時(shí)該命題成立c.當(dāng) n 4時(shí)該命題不成立d.當(dāng) n 4 時(shí)該命題成立4. 數(shù)列 a n 中,已知a 1,當(dāng) n 2 時(shí) a a 2n 1,依次運(yùn)算a.a.a后,猜想a的表達(dá)式1nn 1234n為 ；a. 3n 2b. n2c. 3n 1d. 4n 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3 4n2 5 2n 1n n 能被 14 整除, 當(dāng) n k 1 時(shí)對(duì)于式子3 4 k 1

5、2 5 2 k1) 1 應(yīng)變精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載形為 ；6. 設(shè) k 棱柱有fk個(gè)對(duì)角面,就k 1 棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為fk+1 fk ；【簡(jiǎn)解】 1 小題： n k 時(shí),左端的代數(shù)式為k 1k 2k k、n k 1 時(shí),左端的代數(shù)式為k 2k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 32k 12k 2 ,所以應(yīng)乘的代數(shù)式為2k1 2k2) ,選 b；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k12 小題：（ 2 k 1 1）（ 2 k 1） 2 k ,選 c；3 小題：原命題與逆否命題等價(jià),如n k 1 時(shí)命題不成立,就n k 命題不成立,選c；4 小題：運(yùn)

6、算出a 1 1.a 2 4.a 3 9.a 4 16 再猜想a n ,選 b；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5 小題：答案（3 4k2 5 2k1 ） 3 k 5 2k1 （ 5 2 3 4 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6 小題：答案k 1； .示范性題組：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例1.已知數(shù)列8·112 · 32,得,2n8· n 12 · 2n12,； sn 為其前n 項(xiàng)和,求s1 .s 2 .s3 .s 4 ,精品學(xué)習(xí)資料精

7、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載估計(jì) s n 公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（ 93 年全國(guó)理）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解】運(yùn)算得s1 8 , s 9224, s 3 254880, s 4 ,4981精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推測(cè) sn2n2n1 211 2n n；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n 1 時(shí),等式明顯成立；假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)等式成立,即：sk 2k2 k121,1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8·

8、k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n k 1 時(shí), s k 1 s k 2 k12 · 2k32精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2k1 218· k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222k1 22k1· 2k3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 k1 2 2k32 2k328· k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 k1 2 · 2 k3 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

9、- 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 2k122k322k12 2k3 21、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2k1 2 · 2 k3 2 2k32精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此可知,當(dāng)n k 1 時(shí)等式也成立；綜上所述,等式對(duì)任何n n 都成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【注】把要證的等式sk 12k2 k323 21 作為目標(biāo),先通分使分母含有2k 3 2 ,再考慮要約分,而將精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分子變形,并留意約分后得到（2k 3） 2 1；這樣證題過(guò)程中簡(jiǎn)潔一些,有效地確定了

10、證題的方向；此題的思路為從試驗(yàn).觀看動(dòng)身,用不完全歸納法作出歸納猜想,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明,這為關(guān)于探干脆問(wèn)題的常見(jiàn)證法,在數(shù)列問(wèn)題中常常見(jiàn)到；假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明,結(jié)論不肯定正確,即使正確,解答過(guò)程也不嚴(yán)密；必需要進(jìn)行三步：試值 猜想 證明；【另解】用裂項(xiàng)相消法求和：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 an2n8· n 1 2 · 2 n1212n1 21 2n得,12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1s（ 1n32）（113252）12n1212n1 2 112

11、n1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2n2n1 21；1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此種解法與用試值猜想證明相比,過(guò)程非常簡(jiǎn)潔,但要求發(fā)覺(jué)2n8· n 12 · 2n121 2n12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12n1 2的裂項(xiàng)公式；可以說(shuō),用試值猜想證明三步解題,具有一般性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2.設(shè) a

12、n1× 2 2× 3 n n1n n、 證明： 1 nn 1<a< 12n2n 1 2；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【分析】與自然數(shù)n 有關(guān),考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；n 1 時(shí)簡(jiǎn)潔證得,n k 1 時(shí),由于a k 1 a k 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k1 k2 、 所以在假設(shè)n k 成立得到的不等式中同時(shí)加上 k1 k2 ,再與目標(biāo)比較而進(jìn)行適當(dāng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的放縮求解；【解】當(dāng) n 1 時(shí), a2 , 1 nn+1 1 , 1n+12 2 ,精品

13、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n222 n 1 時(shí)不等式成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)不等式成立,即：1 kk 1<a< 12k2k 1 2,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1當(dāng) n k 1 時(shí),kk 1 k 21 k2 <a1<k 1 2 kk 121 k2 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1kk 1 k21 k2 >1kk 1 k 1 21k 1k 3>21k 1k 2 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1k 1 2 k1 k12 k 1 2 k 23k13

14、12 <k 1 2 k k 2 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1所以k 1k 2 <a2<k 2 2 ,即 n k 1 時(shí)不等式也成立；1k2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上所述,對(duì)全部的n n,不等式1 nn 1<a2< 1 n 1 2 恒成立；n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【 注 】用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 解 決 與 自 然 數(shù) 有 關(guān) 的 不 等 式 問(wèn) 題 , 注 意 適 當(dāng) 選 用 放 縮 法 ； 本 題 中 分 別 將3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

15、習(xí)資料 - - - 歡迎下載k1 k2 縮小成 k 1 .將k1 k2 放大成 k 的兩步放縮為證n k 1 時(shí)不等式成立的2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載關(guān)鍵；為什么這樣放縮,而不放大成k 2 ,這為與目標(biāo)比較后的要求,也為遵循放縮要適當(dāng)?shù)脑停淮祟}另一種解題思路為直接采納放縮法進(jìn)行證明；主要為抓住對(duì)nn1 的分析,留意與目標(biāo)比較后,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小；解法如下：由nn1 >n 可得, a n >1 2 3 nnn 1 ；由nn21 <n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載精品學(xué)

16、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1可得,a2n1<1 2 3 n21× n 21nn 1 2n 1 n 2 2n<122n 1 2 ；所以12nn 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1<a< 1 n 1 2 ；n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n a1例 3.設(shè)數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 s,如對(duì)于全部的自然數(shù)n,都有 snnn2列；（ 94 年全國(guó)文）a n ,證明 a 為等差數(shù)n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【分析】要證明 a 為等差數(shù)列,可以證明其通項(xiàng)符合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式,即證：a a nnn1

17、 1d；命題與n 有關(guān),考慮為否可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；【解】設(shè) a a d,推測(cè) a an 1d21n1當(dāng) n 1 時(shí), aa, 當(dāng) n 1 時(shí)推測(cè)正確；n1當(dāng) n 2 時(shí), a1 2 1d a1 d a 2 ,當(dāng) n 2 時(shí)推測(cè)正確；假設(shè)當(dāng) n k（ k 2）時(shí),推測(cè)正確,即：a a k 1d,k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n k 1 時(shí), ak 1 s kk 1 s k 1 a12a k 1 ka12ak ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載將 a a k 1d 代入上式,得到 2a k 1a a 2ka kk 1d ,k1k 11k 11整理得 k

18、 1a k 1a kk 1d ,k 11由于 k 2、 所以 a a kd,即 n k 1 時(shí)推測(cè)正確；k 11綜上所述,對(duì)全部的自然數(shù)n,都有 a a n 1d ,從而 a 為等差數(shù)列；n1n【注】將證明等差數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)n 成立的問(wèn)題； 在證明過(guò)程中a k 1的得出精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為此題解答的關(guān)鍵,利用了已知的等式snna12an .數(shù)列中通項(xiàng)與前n 項(xiàng)和的關(guān)系a s s建立k 1k 1k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載含 a的方程,代入假設(shè)成立的式子a a k 1d 解出來(lái)a；另外此題留意的一點(diǎn)為不能忽視驗(yàn)證nk 1k

19、1k 11.n2 的正確性,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)遞推的基礎(chǔ)為n 2 時(shí)等式成立,由于由k 1ak 1a kkk 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1d 得到 a a kd 的條件為k 2；k 11n a1【另解】可證 a a a a對(duì)于任意n 2 都成立： 當(dāng) n 2 時(shí), a s sn 1nnn 1nnn 12an 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 n1 a12an 1 ；同理有an 1n s sn 1n1 a12an 1 na12an ；從而a an 1n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 n1 a1 2an 1 na1 a n n1 a12a n

20、 1 ,整理得a n 1 a n an an 1 ,從而 an 為等差精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)列；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載一般地,在數(shù)列問(wèn)題中含有a與 s時(shí),我們可以考慮運(yùn)用a s s的關(guān)系,并留意只對(duì)n2 時(shí)關(guān)nnnnn 1系成立,象已知數(shù)列的s求 a一類型題應(yīng)用此關(guān)系最多；nn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載.鞏固性題組：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：6 2n1 1 n n 能被 7 整除；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 × 4 2× 7 3× 10 n3n 1 nn 1 2n n ；3. n n,試比較