二次函數(shù)與幾何圖形綜合題針對(duì)訓(xùn)練

1、專題 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一線段數(shù)量關(guān)系/最值問(wèn)題匕針對(duì)訓(xùn)練1 2 11. (2021濱州)如圖，拋物線y= 8x + ?x+ 4與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B, C，將直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線與x軸交于點(diǎn)D.(1) 求直線AD的函數(shù)解析式;(2)如圖，假設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P到直線AD的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最大距離;當(dāng)點(diǎn)P到直線第1題圖2.如圖，直線y= x+ 2與拋物線y= ax2 + bx+ 6相交于A& |)和B(4, c).(1) 求拋物線的解析式；點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為n,過(guò)點(diǎn)P作PC丄x軸，

2、交拋物線于點(diǎn) C,交x軸于 點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A, B重合)，是否存在這樣的點(diǎn) P,使線段PC的長(zhǎng)有最大 值？假設(shè)存在，求出這個(gè)最大值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；點(diǎn)P在直線AB上自由移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) C、P、M中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出 n的值.町第2題圖類型二面積數(shù)量關(guān)系/最值問(wèn)題匕針對(duì)訓(xùn)練1. (2021成華區(qū)一診)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與x軸交于點(diǎn)A( 4, 0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4, 8).(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)直線y= kx+ 4與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xi, X2(xi<X2)，當(dāng)三 =今時(shí)，求k的值;(3) 連接OB,點(diǎn)

3、P為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作OB的平行線交直線 AB于點(diǎn)C,連接OC、OP ,當(dāng)POC ： SBOC = 1 : 2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).第1題圖o2. (2021武侯區(qū)一診)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y= mx+ 3與拋物線交于點(diǎn) A(9, - 6)，與y軸交于點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)是(4, - 11).(1) 分別求該直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) D是拋物線上位于對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，假設(shè)ABD的面積為81,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3) 在y軸上是否存在一點(diǎn) P,使/ APC = 45 °假設(shè)存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第2題圖類型三 特殊三角形存

4、在性問(wèn)題匕針對(duì)訓(xùn)練1. (2021武侯區(qū)二診)如圖，拋物線y = x2 + (m+ 2)x+ 4的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線y= x+ 2與拋物 線交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，假設(shè) S PAB= 2SABC，求點(diǎn)P的坐標(biāo);將直線AB上下平移，平移后的直線y= x+ t與拋物線交于 A'、B兩點(diǎn)(A在B'的左側(cè))，當(dāng)以點(diǎn)A'、B'、(2) 中第二象限的點(diǎn) P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求t的值.類型四特殊四邊形存在性問(wèn)題匕針對(duì)訓(xùn)練1. (2021高新區(qū)二診)如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線Cl： y= a

5、x2 2x 3與拋物線C2： y= x2 + mx+ n關(guān)于y軸對(duì)稱，C2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)D.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；過(guò)拋物線C2： y= x2+ mx+ n在第三象限上的一點(diǎn) P,作PF丄x軸于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E,假設(shè)E關(guān)于 PD的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在y軸上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 在拋物線Ci上是否存在一點(diǎn) G,在拋物線 C2上是否存在一點(diǎn) Q,使得以A、B、G、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn) 的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求出G、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型五相似三角形問(wèn)題匕針對(duì)訓(xùn)練1. (2021金牛區(qū)一診)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= ax2

6、 + bx+ c(a豐0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-3, 0)、B(1, 0)，與y軸交于點(diǎn)D(0, 3)，過(guò)頂點(diǎn)C作CH丄x軸于點(diǎn)H.(1) 求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2) 連接AD、CD，假設(shè)點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與頂點(diǎn)C不重合)，當(dāng) ADE與厶ACD面積相等時(shí), 求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3) 假設(shè)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合)，過(guò)點(diǎn)P向CD所在的直線作垂線，垂足為點(diǎn)Q,以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與 ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).備用圖第1題圖參考答案類型一線段數(shù)量關(guān)系/最值問(wèn)題1 2 11. 解：拋物線y= 8x + 2x + 4,令x= 0,可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 4)

7、,令y= 0,可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(一4, 0), C點(diǎn)的坐標(biāo)為(8, 0).易得直線AB的函數(shù)解析式為 y= x+ 4,/ OA= OB,/ BAO= 45°又直線AD由直線AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而來(lái)，/ BAD = 90°/ OAD = 45° OAD為等腰直角三角形，OD = OA= 4, D(4, 0),易得直線AD的函數(shù)解析式為y= x+ 4;如解圖，過(guò)點(diǎn) P作PE丄x軸交AD于點(diǎn)E , PF丄AD于點(diǎn)F ,易得 PEF為等腰直角三角形， PF = 2 PE,當(dāng)PE取得最大值時(shí)，PF取得最大值,1 2 1 設(shè) P(x, - 8X + qx+ 4),那

8、么 E(x, - x+ 4),1 211 2 3129PE=-尹 + 尹+ 4- (-x+ 4) =-+ ?x=- 8(x- 6) + 2，9 當(dāng)x = 6時(shí)，PE有最大值9,此時(shí)PF有最大值-；2,41215當(dāng) x = 6 時(shí)，一-x + *+ 4 = 2，當(dāng)點(diǎn)P到直線AD的距離最大時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(6, I),最大距離為？£；如解圖，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PE丄x軸，交AD于點(diǎn)E, PF丄AD于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P到AD的距離為 學(xué)那么此時(shí)PE = 2PF = I，將 PE= 1 代入 PE=- $x- 6)2+ -中,2 8 2解得 X1= 10, X2= 2,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10 ,

9、-孑)或(2,-), 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-)時(shí)，AP = ： 22+(號(hào)-4) J*752當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(10,- 7)時(shí),“2 | /722|10 +( 2-4) ="25 2曲 PAD = Pp4 =2 25 _ 70.2綜上，sin/ PAD的值是 豊：4或請(qǐng).Jf第1題解圖2. 解：(1) / B(4, c)在直線 y= x+ 2 上， c= 6,貝U B(4, 6),152 A(2，2), B(4, 6)在拋物線 y= ax + bx+ 6 上，115 4a+2b+6=2 ,、16a+ 4b+ 6= 6.a = 2解得，b = 8故拋物線的解析式為y= 2x2 8x+ 6

10、;(2)存在.1 2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n, n + 2)g<n<4)，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n, 2n 8n + 6), PC= (n+ 2) (2n2 8n + 6) = 2冷 + 9n 4= 2( n *)2 + 譽(yù).1 2<0,戶<4,當(dāng)n = 9時(shí)，線段PC的長(zhǎng)取得最大值譽(yù).48n的值為或17 ±；129.2 8【解法提示】設(shè) P的坐標(biāo)為(n, n+ 2)，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n, 2n2 8n + 6)，易知拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo) 為(1 , 0), (3, 0)，直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(一2, 0). (I )假設(shè)M點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，此時(shí) n< 2或1&l

11、t;n<3，那么 PM = CM,即卩n+ 2 = (2n2 8n+6),整理得2n2 7n+ 8 = 0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解；(H )假設(shè)P點(diǎn)為CM的中 點(diǎn)，此時(shí)，n>4 或一2<n<1，貝U PM = PC, CM = 2PM，即 2n2 8n+ 6 = 2(n + 2)，整理得 n2 5n + 1= 0,解得n1 = 52 21 , n2= 5_,山,n2均滿足條件；(川)假設(shè)C點(diǎn)為PM的中點(diǎn)，此時(shí)或3<n<4,貝V PC=CM , PM = 2CM ,即 n + 2 = 2(2n2 8n+ 6)，整理得 4n2 17n+ 10= 0,解得 m= 17十

12、。129, n2= 17。129,8 8ni, n2均滿足條件.綜上所述，n的值為5±或17 ± 1292 8類型二面積數(shù)量關(guān)系/最值問(wèn)題1.解：(1) 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,設(shè)拋物線的解析式為y= ax2 + bx,16a 4b = 0 把點(diǎn) A( 4, 0), B(4 , 8)代入，得 <16a + 4b= 8a= 1解得 4,Jd= 1拋物線的解析式為 y =x2+ x；4y= Tx2 + x 聯(lián)立S 4,Ly= kx+ 4消去 y，得；x2 + (1 k)x 4 = 0 ,4 X1 + X2= 4(k 1) , X1x2= 16 ,.1 一 丄=/ x2 X12

13、， ( X1 + X2) 4X1X2 = 1 (X1X2)2= 2，2 即 16 (k 1)+ 64 = 1256= 2，解得k = 3或k=- 1,經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意， k的值為3或一1;(3) T OB / PC, Sapoc : Saboc= 1 : 2, PC : OB = 1 : 2,- B(4, 8), OB= 4.5,直線OB的解析式為y= 2x, PC= 2 5,1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a - a2 + a)( 4v av 0),直線PC的解析式為y= 2x+1,41 1把 P(a, a2+ a)代入 y= 2x+1,整理得 t =尹2- a,直線PC的解析式為y= 2x+ja2- a

14、,4易得直線AB的解析式為y= x+ 4,y= x + 4聯(lián)立！1 2,y= 2x+ 4a - a解得 x = 4+ a- 7a2,4 PC= ,5(xc-Xp)=5>(4 + a-a2- a)= 2 5,解得a= 2 .2(舍去)或a =-2 2 ,將a =-2 ,2代入拋物線的解析式，得y= 4 >-2 .2)2 - 2 2= 2 - 2.2 ,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一2 .2 , 2- 2.2).2. 解：(1)把點(diǎn) A(9 , - 6)代入 y= mx+ 3 中，得 m=- 1,拋物線的頂點(diǎn) C的坐標(biāo)是(4, - 11)且過(guò)點(diǎn)A(9, - 6), 設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= a(x

15、- 4)2 11, a(9 4)2 11 = 6,解得a=1,5拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= 1(x 4)2 11 = 1x2 8x 39 ；5555(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n. 拋物線對(duì)稱軸為直線x= 4,分兩種情況討論當(dāng)Ov n v 4時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)E,那么 D(n, 5n2 |n 39), E(n,n+ 3), DE = - n+ 3 (1 n2-務(wù)= 13545n+ 5n + 虧，-abd=S BDE + SADE = ?DE (Xe xb) + 2°E(XA xe)=2dE (XA Xb)= 2( £n2 + ；n+ 曽)>9=乎，

16、解得n1 = 3 ；'5(不合題意，舍去),n2= 3+； '5(不合題意，舍去);第2題解圖當(dāng)nv 0時(shí)，如解圖，過(guò)點(diǎn) D作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)E,c c 11111 235481Saabd = SADE Sabde = 2DE (xa Xe) qDE (xb Xe)= qDE (xa Xb) = -(-£n + £n + ) >9 =,解得n1 = 3 5, n= 3 +； 5(不合題意，舍去).立 3 3爲(wèi)吐1 3 3詬2 8 3 3詬 39 3訴一15當(dāng)n時(shí)，y祚>-)石= 廠.3 -3霞 3百-15)；2 ' )；在y軸上

17、存在一點(diǎn) P,使/ APC = 45 °如解圖，分別過(guò)點(diǎn) C、A作y軸、x軸的平行線，兩線交于點(diǎn)G,那么/ CGA = 90° A、C 的坐標(biāo)分別為(9, 6), (4, 11),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4, 6).GA= GC= 5.作以G為圓心，GA的長(zhǎng)度為半徑的圓，交y軸于點(diǎn)P,P',連接AP、CP、AP'、P'C,此時(shí)/ APC =1/ APC= / CGA= 45°,2 - GP= 5.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, k)，過(guò)點(diǎn)G作GH丄y軸于點(diǎn)H ,那么 H(0, 6).在 Rt PGH 中，PH2+ HG2= PG2,即(k+ 6)2+ 42=

18、52,解得 k1= 3, k2= 9, P(0, 3), P' , - 9).第2題解圖類型三 特殊三角形存在性問(wèn)題1.解：拋物線的頂點(diǎn) C在x軸的正半軸上,2 24ac b 16( m+ 2) = 0,4a4'解得m= 2或6,頂點(diǎn)在x軸正半軸上，m+ 2->0.解得m< 2,- m= 6,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2 4x+ 4;(2)如解圖，過(guò)點(diǎn) C作拋物線的對(duì)稱軸，交直線 AB于點(diǎn)D,由y = x2 4x+ 4得拋物線的對(duì)稱軸是直線x= 2,那么 D(2, 4), DC = 4.在點(diǎn)D上方的拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E,使DE = 2DC,那么 E(2, 12

19、).連接AE , BE,那么SaABE = 2SaABC.過(guò)點(diǎn)E(2, 12)作直線AB的平行線交拋物線于點(diǎn)P!, P2,此時(shí)滿足Sa pab= Sa abe = 2Sa ABC設(shè)直線P1P2的函數(shù)表達(dá)式為y = x+ k,點(diǎn)E(2, 12)在直線P1P2上, 2+ k= 12, k= 10.直線P1P2的函數(shù)表達(dá)式為y = x+10.y= x+ 10聯(lián)立£2,y= x 4x+ 4】X1= 1 上=6 解得仁9或U 16,綜上所述，滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)為1，9，6，16;第1題解圖(3)設(shè) A'x1, y1), B'x2，y2),顯然，/ PA'B'

20、m 90°.如解圖，當(dāng)/ ABP= 90°時(shí)，過(guò)點(diǎn) B作直線 MN / y軸，A M丄MN于點(diǎn)M , PN丄MN于點(diǎn)N,直線A B的解析式是y= x+ t,./ B A M = 45° a B M和厶PB N都是等腰直角三角形, PN= NB- x?+ 1 = 9 y2, 即卩 x?+ y2 = 8,x2 + y2= 8聯(lián)立fy2= X2 +1X2= 4 -1 解得,1y2= 4 + 歹將點(diǎn)(4-2t, 4 +如代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式，得4 + 芥(4- 1t)2 -4*4 -2t) + 4.解得ti= 0, t2= 10(此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，舍去)；第1題解圖如

21、解圖，假設(shè)/ A'PB'= 90°過(guò)點(diǎn)P作EF / y軸，AE丄EF于E, B'F丄EF于點(diǎn)F,那么厶 A EPPFB.A E PFPE = BF.xi + 1 y2 99 yi X2+ 1.X1X2 + (x1 + x2)+ 1 = 9(y1 + y2) y1y2- 81,令 x2- 4x+ 4= x + t, 即卩 x2- 5x+ 4 t= 0,那么 X1 + X2= 5 , X1X2= 4 t,y1 + y2 =(X1 +1) +(X2 + t) = X1 + X2 + 2t = 5 + 2t,2 2y1y2=(X1+ t)(X2 +1) = X1X2

22、+ t(X1 + X2)+ t = t + 4t + 4,.(4 t) + 5+ 1 = 9(5 + 2t) (t2+ 4t+ 4)- 81,整理得 t2- 15t + 50= 0,解得t1= 5, t2= 10(此時(shí)A與P重合，舍去)，綜上，t的值為0或5.第1題解圖特殊四邊形存在性問(wèn)題1.解：tCi、C2關(guān)于y軸對(duì)稱， Ci與C2的交點(diǎn)一定在y軸上，且Ci與C2的形狀，大小均相同，a= 1, n = 3, Ci的對(duì)稱軸為直線 x= 1 , C2的對(duì)稱軸為直線 x= 1 , m= 2, C1的函數(shù)表達(dá)式為 y= x2 2x 3, C2的函數(shù)表達(dá)式為 y= x2 + 2x 3= 0, 在C2的

23、函數(shù)表達(dá)式 y= x2 + 2x 3中，當(dāng)y = 0可得x2 + 2x 3= 0,解得x= 3或x= 1, A( 3, 0), B(1 , 0)；b= 3 3k+ b= 0,(2)根據(jù)題意可得點(diǎn) D的坐標(biāo)為(0, 3)，設(shè)直線AD的表達(dá)式為y= kx+ b.把(0, 3)和(3, 0)代入到y(tǒng)= kx+ b中得解得k= 1直線AD的表達(dá)式為y= x 3,設(shè) P(a, a2 + 2a 3), 那么 E(a, a 3),那么 PE=- a-3 (a2 + 2a 3) = - a2 3a，根據(jù)對(duì)稱可得四邊形 PEDE 是菱形，貝U DE = PE=- a2 3a, 如解圖，過(guò)點(diǎn) P作PG丄y軸于點(diǎn)G

24、,/ ED / PE', ED所在直線斜率 k=- 1/ E '=/AEF = 45° GE =- a, PG = GE '.在Rt PGE中，根據(jù)勾股定理得：PE =- 2a,根據(jù)菱形性質(zhì)可得：PE = DE ', .；2a = a? 3a,解得a= 2-3, P( 2-3, 2-4 .2)；第1題解圖存在. AB的中點(diǎn)為(一1, 0)，且點(diǎn)G在拋物線 Ci上，點(diǎn)Q在拋物線 C2上, AB只能為平行四邊形的一邊， GQ / AB 且 GQ= AB,由可知AB= 1 - (- 3)= 4, GQ = 4,設(shè) G(t, t2- 2t- 3)，貝U Q(t

25、 + 4, t2- 2t-3)或(t- 4, t2-2t- 3),當(dāng) Q(t + 4, t2-2t- 3)時(shí)，貝U t2- 2t- 3 = (t+ 4)2+ 2(t+ 4)- 3,解得t =-2, t2- 2t- 3= 4 + 4- 3= 5,G( 2, 5), Q(2, 5)；當(dāng) Q(t -4, t2 2t- 3)時(shí)，貝U t2 2t 3 = (t 4)2 + 2(t 4) 3,解得t = 2, -12 2t 3= 4 4 3= 3,G(2, 3), Q( 2, 3),綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)G、Q,其坐標(biāo)為 G( 2, 5), Q(2, 5)或G(2, 3), Q( 2 , 3).類型五 相似三角形問(wèn)題1.解：把點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中得：a + b + c= 0a = 1§9a 3b + c= 0,解得 fb = 2, c= 3c= 3拋物線的解析式為 y= x2 2x+ 3 ,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=呂=1 ,2a點(diǎn)C的坐標(biāo)為(一1 , 4);如解圖，過(guò)點(diǎn) C作CE/ AD交拋物線于點(diǎn) E ,交y軸于點(diǎn)T ,那么 ADE與 ACD面積相等，直線AD過(guò)點(diǎn)D,設(shè)其解析式為 y= mx + 3 ,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：0= 3m+ 3,解得m= 1,那么直線AD的解析式為y= x+ 3 , CE / AD