2022年2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述j

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)第十講：抽象函數(shù)問題的題型綜述抽象函數(shù)為指沒有明確給出詳細(xì)的函數(shù)表達(dá)式,只為給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù),它為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),由于抽象,同學(xué)解題時(shí)思維經(jīng)常受阻,思路難以綻開,老師對(duì)教材也難以處理,而高考中又顯現(xiàn)過這一題型,有鑒于此,本文對(duì)這一問題進(jìn)行了初步整理.歸類,大致有以下幾種題型：一.求某些特殊值這類抽象函數(shù)一般給出定義域,某些性質(zhì)及運(yùn)算式而求特殊值；其解法常用“ 特殊值法” ,即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解,關(guān)鍵為抽象問題詳細(xì)化；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1定義在 r上的函數(shù)f x滿意：f xf 4x 且

2、f 2xf x20 ,求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 2000的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由f 2xf x20 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以 tx2 代入,有f t f t ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x為奇函數(shù)且有f 00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由

3、f x4f 4x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xf xf x8f x4f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x為周期為 8的周期函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 2000f 00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2已知函數(shù)f x對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y 都有f xyf xf y,且當(dāng)x0時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x0, f 12 ,求f x 在 2 , 1 上的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) x1x2且 x1 , x2r

4、 ,就 x2x10 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由條件當(dāng)x0 時(shí),f x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2x1 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f x2 f x2x1 x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2x1 f x1 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x為增函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 yx ,就f 0f xf x精品學(xué)

5、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又令 xy0得 f 00f xf x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x為奇函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 1f 12 , f 22 f 14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x 在2 ,1 上的值域?yàn)?4 , 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.求參數(shù)范疇這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中,關(guān)鍵為利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的增減性

6、,去掉“ f”符號(hào),轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解,但要特殊留意函數(shù)定義域的作用；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3已知f x為定義在（1,1 ）上的偶函數(shù),且在（0, 1）上為增函數(shù),滿意精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a2f 4a2 0 ,試確定a 的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： q f x為偶函數(shù),且在（0, 1）上為增函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x 在 1, 0

7、上為減函數(shù),1a21由2得3a5 ；14a1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）當(dāng)a2 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a2f 4a 2 f 0,不等式不成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）當(dāng)3a2 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a2f 4a 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a 241a201a 240精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解之得,a23a2a 24精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）當(dāng) 2a5 時(shí)

8、,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a2f 4a2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f a 240a210a 241精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解之得, 2a2a 24a5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上所述,所求a 的取值范疇為3, 2 u 2,5 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4已知f x為定義在 , 1上的減函數(shù),如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f m2sin xm2f msin x1cos23x 對(duì)xr 恒成立,求實(shí)數(shù)m 的取值范疇；精品

9、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： qm1cos2 x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m2sin xm1cos2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì) xr 恒成立m2sin x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì) xr 恒成立m2sin xm1cos2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m23sin x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m2m1sin xcos2 xsin x1 2524精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì) xr 恒成立,精品學(xué)習(xí)資料精選

10、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m231m2m154精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2m110 為所求；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值,再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù)符號(hào) “ f” ,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5已知函數(shù)f x對(duì)任意x, yr 有f xf y2f xy ,當(dāng)x0 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

11、載f x2 ,f 35,求不等式f a22a23 的解集；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè)x1. x2r 且 x1x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 x2x10f x2x1 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 f x2x1 20 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2 f x2x1 x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2x1 f x1 2f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2 f

12、x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x為增函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f 3f 21f 2f 123 f145精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 13f a 22 a23f 1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即a 212a21a3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此不等式f a 22a23的解集為a| 1a3 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四.

13、證明某些問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6設(shè)f x 定義在 r上且對(duì)任意的x 有 f xf x1f x2 ,求證：f x 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載周期函數(shù),并找出它的一個(gè)周期；分析：這同樣為沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù),其一般解法為依據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載遞推,如能得出f xtf x（ t為非零常數(shù)）就f x 為周期函數(shù),且周期為t；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： q f xf x1f x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品

14、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1f x2f x3 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12 得f xf x33精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由（ 3）得 f x3f x64精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由（ 3）和（ 4）得f xf x6 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載上式對(duì)任意xr 都成立,因此f x為周期函數(shù),且周期為6；精品學(xué)習(xí)

15、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 7已知f x對(duì)一切x, y ,滿意f 00, f xyf xf y ,且當(dāng)x0 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1,求證：（ 1）x0 時(shí), 0f x1； （ 2）f x在r上為減函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： q 對(duì)一切x, yr 有f xyf xf y ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 f 00 ,

16、令x y0 ,得f 01,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載現(xiàn)設(shè) x0 ,就x0 , f x1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 f 0f xf x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x11f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0f x1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) x1 , x2r 且 x1x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

17、- - 歡迎下載就 0f x2x1 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2 f x2x1 x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2x1 f x1 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1 f x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 f x為減函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載五.綜合問題求解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大,常涉及到多個(gè)學(xué)問點(diǎn),抽象思維程度要求較高,解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一為留意函數(shù)定義域

18、的應(yīng)用,二為利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載符號(hào) “f ” 前的 “ 負(fù)號(hào) ” ,三為利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f ” ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 8設(shè)函數(shù)y f x 定義在 r上,當(dāng)x0時(shí),f x1,且對(duì)任意m, n ,有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f mnf mf n,當(dāng) mn 時(shí)f mf n ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）證明f 01 ；精品學(xué)習(xí)

19、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）證明：f x在r上為增函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）設(shè) ax, y| fx 2 f y 2 f 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b x,y| f axbyc1,a,b,cr,a0 ,如 a ib,求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a, b, c 滿意的條件；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（1）令mn0 得f 0f 0f 0 ,精品學(xué)

20、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 00 或 f 01 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 f 00 ,當(dāng)m0 時(shí),有 f m0f mf 0 ,這與當(dāng)mn 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f mf n 沖突,f 01；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）設(shè) x1x2 , 就 x2x10 ,由已知得f x2x1 1 ,由于 x10 , f x1 1 ,如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x10 時(shí),x10 , f x1 1 ,由 f0f x1 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

21、 - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1 10f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2 f x2x1 f x1 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x 在r上為增函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）由f x 2 f y 2 f 1得 x 2y211精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 f axbyc1 得 axbyc0（ 2）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從（ 1）.（ 2）中消去y 得 a 2b2 x22acxc2b 20 ,由于 aib精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

22、 - - - 歡迎下載 2ac 24a 2b2 c2b 2 0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 a 2b2c2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 9定義在（1, 1 ）上的函數(shù)f x 滿意（ 1）,對(duì)任意x, y1, 1 都有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xf yxyf ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）當(dāng) x1, 0 時(shí),有f x0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）試判定f x的奇偶性；（ 2）判定f x的單調(diào)性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

23、 - - 歡迎下載（ 3）求證f 15f 1 11f 1n23n1f 1 ；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：這為一道以抽象函數(shù)為載體,爭論函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去爭論數(shù)列求和的綜合題；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ 1）對(duì)條件中的x, y ,令xy0 ,再令yx 可得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 0f 0f 0f 00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xf x0f x,所以f xf x為奇函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）設(shè)1xx0 ,就 f x f x f x f x

24、f x1x2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1212121x1 x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載q x1x20, 0x1 x21 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1x21x1 x20,由條件（ 2）知f x1 1x2 x1 x20 ,從而有f x1 f x2 0 ,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1 f x2 ,故f x在 1, 0上單調(diào)遞減,由奇函數(shù)性質(zhì)可知,f x 在（ 0, 1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載上仍為單調(diào)減函數(shù)；1（ 3）q f 2n3n1f 1 n1 n2111 fn1n2111 n

25、1n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 1n1f 1 n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 1n11f 1, n211精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 51f 111f 2n3n11111精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f f f f f f 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載233411n1n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f f 2n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1q 01,n21f 0n2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f

26、 1 f 1f 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2f 15n2f 1 112f n213n1f1 ；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載抽象函數(shù) 問題分類解析我們將沒有明確 給出解析式的函數(shù)稱 為抽象函數(shù)；近年來抽象函數(shù) 問題頻頻顯現(xiàn)于各類考試題中,由于這類問題 抽象性 強(qiáng),敏捷性大,多數(shù)同學(xué)感到困惑,求解無從下手；本文 試圖通過實(shí)例作分 類解析,供學(xué)習(xí)參考；1. 求定義域精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這類問題 只要緊緊抓住：將函數(shù) f gx 中的gx 看作一個(gè)整體,相當(dāng)于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2f x 中的x這一特性,問題就

27、會(huì)迎刃而解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例1.函數(shù)2 ；yf x 的定義域?yàn)?,1 ,就函數(shù)yf log2 x2 的定義域?yàn)榫穼W(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：由于log 2 x2 相當(dāng)于f x 中的x,所以log 2 x21 ,解得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x2 或2x2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例2.已知為 ；f x 的定義域?yàn)?0, 1 ,就yf xaf xa|a|1 的定義域2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：由于 xa 及 xa 均相當(dāng)于 f

28、 x 中的x,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0xa10xa1ax1a ax1a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1當(dāng)1a0 時(shí),就 x2a, 1a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2當(dāng) 0a1時(shí),就 x2a, 1a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 判定奇偶性依據(jù)已知條件,通過恰當(dāng)?shù)?賦值代換,尋求f x 與 f x 的關(guān)系；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例3.已知f x 的定義域?yàn)閞,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿意f xyf xf y ,求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

29、歡迎下載證：f x 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：在fxyf xf y 中,令xy1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 f 1f 1f 1f 10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 xy1,得f 1f 1f 1f 10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為 f xf 1xf 1f xf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

30、 - - 歡迎下載例4.如函數(shù)yf x fx0 與 yf x 的圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,求證：函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yf x 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：設(shè)yf x 圖象上任意一點(diǎn) 為p（x0 , y0 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載q yf x 與yf x的圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p x0 , y0 關(guān)于原點(diǎn)的 對(duì)稱點(diǎn) x0 ,y0 在yf x 的圖象上,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

31、- - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y0y0f f x0 x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 y0f x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x0 f x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即對(duì)于函數(shù)定 義域上的任意 x都有 f xf x ,所以yf x 為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 判定單調(diào)性依據(jù)函數(shù)的奇偶性. 單調(diào)性等有關(guān)性 質(zhì),畫出函數(shù)的示意 圖,以形助數(shù),問題快速獲解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例5.假如奇函數(shù)f x 在區(qū)間 3, 7 上為增函數(shù)且有最小 值為

32、5,那么 f(x) 在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載區(qū)間7 ,3 上為a. 增函數(shù)且最小 值為5b.增函數(shù)且最大 值為5c.減函數(shù)且最小 值為5d.減函數(shù)且最大 值為5分析：畫出滿意題意的示意 圖1,易知選b；y圖1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例6. 已知偶函數(shù)f x 在0, 上為減函數(shù),5o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載問 f x 在 , 0 上為增函數(shù) 仍為減函數(shù),并證-7-337x-5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載明你的 結(jié)論；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：如圖2所示,易知 fx 在 , 0 上為精品

33、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載增函數(shù),證明如下：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載任取 x1x20x1x20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 fx 在 0, 上為減函數(shù),所以 f x1 f x2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f x 為偶函數(shù),所以yf x1 f x1 , f x2 f x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載從而 f數(shù)；x1 f x2 ,故f x 在 , 0 上為增函ox精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖24. 探求周期性這類問題較 抽象,

34、一般解法為仔 細(xì)分析題設(shè)條件,通過類似,聯(lián)想出函數(shù)原型,通過對(duì)函數(shù)原型的分析或 賦值迭代,獲得問題的解；例7.設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)閞,且對(duì)任意的 x,y有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xyf xy2 f xf y ,并存在正實(shí)數(shù)c,使f c 20 ；試問f x 為否為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載周期函數(shù)？如為,求出它的一個(gè)周期；如不為, 請(qǐng)說明理由；分析：認(rèn)真觀看分析條件,聯(lián)想三角公式,就會(huì) 發(fā)覺：ycosx 滿意題設(shè)條件,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 cos0 ,推測 2f x 為以2c為周期的周期函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

35、 - - - 歡迎下載q f xc c f xc c 2 f xc f c 0222222f xcf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x2cf xcf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x 為周期函數(shù),2c 為它的一個(gè)周期；5. 求函數(shù) 值緊扣已知條件 進(jìn)行迭代 變換,經(jīng)有限次迭代可直接求出 結(jié)果,或者在迭代過程中發(fā)覺函數(shù)具有周期性,利用周期性使 問題奇妙獲解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例8.已知f x 的定義域?yàn)?r,且fxyf xf y 對(duì)一切正 實(shí)數(shù)x,y都精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

36、 - - - 歡迎下載成立,如 f 84 ,就f 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：在條件 f xyf xf y 中,令xy4 ,得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 8f 4f 42 f 4 4 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 4 2又令 xy2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 f 4f 2f 22 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例9.已知f x 為定義

37、在r上的函數(shù),且滿意：f x2 1f x1f x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 11997,求f 2001 的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：緊扣已知條件,并多次使用,發(fā)覺f x 為周期函數(shù),明顯f x1 ,于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為f x21f x,1f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x411f x1f x11f xf

38、x1f x1f x21f x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 f x81f x4f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x 為以8為周期的周期函數(shù),從而精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 2001f 82501f 11997精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6. 比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性. 對(duì)稱性等性 質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的 單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用其 單調(diào)性使問題獲解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例10.已知函數(shù)f x 為定義域?yàn)閞的偶函數(shù), x0 時(shí), f

39、x 為增函數(shù),如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x10 ,x20 ,且|x1|x2 |,就 f x1 , f x2 的大小關(guān)系為 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：q x10, x20 且| x1 |x2 | ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0x1x2x2x10又 x0 時(shí),f x 為增函數(shù),f x2 f x1 q f x 為偶函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 f x

40、1 f x2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7. 爭論方程根的 問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例11.已知函數(shù)f x 對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿意f 1xf 1x ,并且f x0 有三精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載個(gè)實(shí)根,就這三個(gè)實(shí)根之和為 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：由f 1xf 1x 知直線 x1 為函數(shù)f x 圖象的對(duì)稱軸；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 f x0 有三個(gè) 實(shí)根,由對(duì)稱性知 x11 必為方程的一個(gè)根,其余兩根精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2 , x3 關(guān)于直 線x1 對(duì)稱,所以x2x3212 ,故x1x2x33 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)