(完整版)離散型隨機(jī)變量的分布列專項(xiàng)測(cè)試題-學(xué)生版

1、i1離散型隨機(jī)變量的分布列專項(xiàng)測(cè)試題(2015· 常熟二模)已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為X X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)( )A.32B2 C.52D3思路分析：利用公式 E ( X ) =x p +x p +LL +x p 求解即可。1 1 2 2 n n小結(jié)：E ( X ) =x p +x p +LL +x p 為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量1 1 2 2 n n取值的平均水平2同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，隨機(jī)變量 1 表示結(jié)果中有正面向上，0 表示結(jié)果中沒(méi)有正面向上，則 E()( )1 1 3A. B C. D14 2 4思

2、路分析：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣會(huì)出現(xiàn)四種等可能的結(jié)果：正正，正反，反正，反反，其中沒(méi)有正面向上1 3的有一種結(jié)果所以概率為 ，則有正面向上的概率為 ，寫(xiě)出分布列利用公式求期望。4 4小結(jié)：正確理解隨機(jī)變量表示的意義，搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情形并 求概率，熟練掌握期望公式。3.(2015· 浙江聯(lián)考)甲、乙兩人獨(dú)立地從六門(mén)選修課程中任選三門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，記兩人所選課程相同的門(mén)數(shù)為 ，則 E 為( )A1 B1.5 C2 D2.5思路分析： 可取 0,1,2,3。需注意 0 表示所選課程都不相同，為平均分組然后排序的問(wèn)題。另外 2 所包含的 情況較多

3、，可以用間接法。小結(jié)：平均分組問(wèn)題是排列組合的難點(diǎn)，經(jīng)常與分布列綜合考察，需要認(rèn)真分析是否有順序。利用分布列的性質(zhì)nSi =1p =1 可利用間接法求某一個(gè)概率。4.已知隨機(jī)變量 8，若 B(10,0.6)，則 E()，D()分別是( )A 6 和 2.4B 2 和 2.4C 2 和 5.6D 6 和 5.6思路分析：利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)，若 B(n，p)，則 E=np,D=np(1-p)，由h=8 - x可得 E()E(8),D()D(8)，利用公式E(axb)aE(x)b(a，b 為常數(shù))D(axb)a2D(x)(a，b 為常數(shù))小結(jié)：已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和

4、標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；常用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 為常數(shù))D(axb)a2D(x)(a，b 為常數(shù))需熟記第 1 頁(yè) 共 8 頁(yè)5. 已知拋物線 yax2bxc(a0)的對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè)，其中 a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在這 些拋物線中，記隨機(jī)變量 X 為“|ab|的取值”，則 X 的數(shù)學(xué)期望 E (X )為( )8 3 2 1A. B. C. D.9 5 5 3思路分析：對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè)即 a 與 b 同號(hào)正負(fù)都有 3 種選擇，正確確定 X 的可能取值 0，1，2，并準(zhǔn)確求其概 率。小結(jié)：利用拋物線的特點(diǎn)求出所有可能的情況，搞清隨機(jī)變

5、量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各 種情形并求概率，利用公式求期望。填空題：6設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布列如下表所示：XP0a113216F (x)P (X x)，則當(dāng) x 的取值范圍是1,2)時(shí)，F(xiàn) (x)_.思路分析：分布列中各項(xiàng)概率值和為 1，從而求 a.x的取值范圍是1,2)需求 0 和 1 對(duì)應(yīng)的概率之和。小結(jié)：本題的解題關(guān)鍵是離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)。7(改編題)有一批產(chǎn)品，其中有 12 件正品和 4 件次品，從中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次數(shù)，則 DX _.1思路分析：由題意可知本題符合二項(xiàng)分布 X B (3， )，利用公式即可。4小結(jié)：明確二項(xiàng)分布的

6、概念抓住三個(gè)特性：（1）每次試驗(yàn)只有兩類(lèi)對(duì)應(yīng)的結(jié)果；（2）n 次相同事件相互獨(dú)立（獨(dú)立 重復(fù)試驗(yàn)）；（3）每次試驗(yàn)的某一結(jié)果的概率是恒定的。c8.（改編題）設(shè)隨機(jī)變量 的分布列為 P(k) ，k1,2,3，則 E()k1思路分析：分布列中各項(xiàng)概率值和為 1 求 c 的值，從而列出分布列用公式求期望。小結(jié)：熟記離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及期望方差的公式。9兩封信隨機(jī)投入 A，B，C 三個(gè)空郵箱，則 A 郵箱的信件數(shù) X 的期望為_(kāi)思路分析：總投法種數(shù)是 32，A 中沒(méi)有信只能選擇 B 和 C 郵箱；A 中僅有一封信：從兩封信選一封投入 A ，剩下的一封有兩種選擇；A 中有兩封只有一種。小結(jié)：正確

7、理解隨機(jī)變量表示的意義，搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情 形并求概率。第 2 頁(yè) 共 8 頁(yè)1 1 2 2n n解答題：10.公園有甲、乙兩個(gè)相鄰景點(diǎn)，原擬定甲景點(diǎn)內(nèi)有 2 個(gè) A 班的同學(xué)和 2 個(gè) B 班的同學(xué)；乙景點(diǎn)內(nèi)有 2 個(gè) A 班的同 學(xué)和 3 個(gè) B 班的同學(xué)，后來(lái)由于某種原因，甲、乙兩景點(diǎn)各有一同學(xué)交換景點(diǎn)參觀求甲景點(diǎn) A 班同學(xué)數(shù) 的分布 列及期望思路分析：甲景點(diǎn) A 班同學(xué)數(shù) 的值 1 表示甲景點(diǎn) A 班的同學(xué)與乙景點(diǎn) B 班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀；2 表示甲 景點(diǎn) A 班的同學(xué)與乙景點(diǎn) A 班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀或表示甲景點(diǎn) B 班的同學(xué)與乙景點(diǎn)

8、B 班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀; 3 表示甲景點(diǎn) B 班的同學(xué)與乙景點(diǎn) A 班的同學(xué)交換景點(diǎn)參觀。小結(jié)：求離散型隨機(jī)變量 X 的期望的步驟為(1) 理解 X 的意義，寫(xiě)出 X 可能取的全部值；(2) 搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事件所包含的各種情形并求概率； (3)寫(xiě)出 X 的分布列；(4)利用公式 E(X)x p x p x p 求出期望第 3 頁(yè) 共 8 頁(yè)11（2015 衡中考前模擬）某校為了解 15 屆高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)他們的體重進(jìn)行 了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右前 3 個(gè)小組的頻率之比為 1:2:4， 其

9、中第二小組的頻數(shù)為 11.(1) 求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；(2) 若以該學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3 人，設(shè) X 表示體重超過(guò) 60kg 的學(xué)生人數(shù)，求 X 的期望與方差。思路分析：先求出后兩組的頻率，利用前 3 個(gè)小組的頻率之比為 1:2:4，可以求出第二組的頻率，因?yàn)榈诙〗M的頻數(shù)為 11，可以求出總?cè)藬?shù)。第二問(wèn)體重超過(guò) 60kg 的概率由于“人數(shù)很多”可以用頻率代替，顯然這是二項(xiàng)分布 的問(wèn)題。小結(jié)：第一問(wèn)屬于統(tǒng)計(jì)問(wèn)題利用頻率和頻數(shù)求總數(shù)，第二問(wèn)要正確理解二項(xiàng)分布的概念關(guān)注是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 每次試驗(yàn)只有兩類(lèi)對(duì)應(yīng)的結(jié)果超過(guò) 60kg

10、和不超過(guò) 60kg，每次試驗(yàn)的某一結(jié)果的概率是恒定的。第 4 頁(yè) 共 8 頁(yè)ii12.某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是131 設(shè) x為他射擊 6 次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列；2 若他連續(xù)射擊 6 次，設(shè) x為他第一次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求 x的分布列；3 若他只有 6 顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)x的分布列。思路分析：射擊 6 次擊中目標(biāo)的次數(shù)x服從二項(xiàng)分布 Bæçè6,13ö÷；ø連續(xù)射擊 6 次，第一次擊中目標(biāo)的次數(shù) x， x=k 表示前 k 次未擊中目標(biāo)，而第 k +1 次擊中目標(biāo)， x的取

11、值為 0,1,2,3,4,5；若他只有 6 顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完分兩種情況：x=k，表示前k -1次未擊中，而第k次擊中，k =1,2,3,4,5；x=6表示前 5 次未擊中，第 6 次可以擊中，也可以未擊中。n小結(jié)：離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)本質(zhì)特征：p 0（i=1，2，n）與 S p =1 是驗(yàn)證分布列中數(shù)值是否正i =1確的依據(jù)，此題還需注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范。第 5 頁(yè) 共 8 頁(yè)i12321 2 3i1 2 3i1 2 3n【練習(xí)題】1已知某一隨機(jī)變量 的概率分布如下，且 E6.3，則 a 的值為( )P40.5a0.19bA.5 B6 C7 D8n思路分析：利

12、用分布列性質(zhì) S p =1 先求 b，再利用 E6.3 求 a。i =1小結(jié)：高考要求靈活應(yīng)用分布列的性質(zhì)，期望方差公式解決問(wèn)題。2(2015· 黃山二模)已知隨機(jī)變量 X 的分布列為XP10.220.430.4則 E(6X8)( )A13.2 B21.2 C20.2 D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 為常數(shù)) 小結(jié)：熟記期望方差公式并靈活應(yīng)用。(2015· 黃山二模)已知隨機(jī)變量 X 的分布列為XP10.220.430.4則 E(6X8)( )A13.2 B21.2 C20.2 D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式

13、 E(axb)aE(x)b(a，b 為常數(shù))解析：由題意知，E(X)1×0.22×0.43×0.42.2，E(6X8)6E(X)86×2.2821.2. 小結(jié)：熟記期望方差公式并靈活應(yīng)用。3.(2015· 常熟二模)隨機(jī)變量 X 的分布列為XxxxPp1pp3若 p ，p ，p 成等差數(shù)列，則公差 d 的取值范圍是_思路分析：考察離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足 0p 1 且 p p p =1。 小結(jié)：熟記并靈活應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足 0p 1 且 p p p K Kp =1。第 6 頁(yè) 共 8 頁(yè)i1 2 3ni1 2 3n

14、i4若 p 為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量 X 的概率分布如下表，則 E(X)的最大值為_(kāi)，D(X)的最大值為_(kāi).XP01p21p212思路分析：考察離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足 0p 1 且 p p p K K p =1，先求出 p 的范圍再代 入 E(X)和 D(X)。小結(jié)：熟記并靈活應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)每個(gè)概率都滿足 0p 1 且 p p p KKp =1。5.（改編題）一次數(shù)學(xué)摸底考試，某班 60 名同學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示若得分 90 分以上為及格從該 班任取一位同學(xué)，其分?jǐn)?shù)是否及格記為，則的數(shù)學(xué)期望為 思路分析：本題屬于兩點(diǎn)分布，利用公式求期望。小結(jié)：熟悉不同類(lèi)型的概率特點(diǎn)

15、并靈活應(yīng)用公式。6袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4，5 的小球各 2 個(gè)從袋中任取 3 個(gè)小球，按 3 個(gè)小球上最大數(shù)字的 9 倍計(jì)分， 每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1) 取出的 3 個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2) 隨機(jī)變量 X 的分布列；(3) 計(jì)分介于 20 分到 40 分之間的概率思路分析：隨機(jī)變量 X 所有可能的取值為 2，3，4，5；計(jì)分介于 20 分到 40 分之間則最大數(shù)字是 3 或 4.小結(jié)：離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題關(guān)鍵是正確確定隨機(jī)變量的取值并求出相應(yīng)的概率，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。7.編號(hào) 1,2,3 的三位學(xué)生隨

16、意入座編號(hào) 1,2,3 的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X. (1)求隨機(jī)變量 X 的概率分布；(2)求隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望與方差思路分析：本題需注意隨機(jī)變量 X 的取值 X0，1，3。小結(jié)：求離散型隨機(jī)變量 X 的方差的步驟：(1)寫(xiě)出 X 的所有取值；(2)計(jì)算 P(Xx )；(3)寫(xiě)出分布列，并求出期望 E(X)；(4)由方差的定義求出 D(X)8.(2015· 威海一模)設(shè)在 15 個(gè)同類(lèi)型的零件中有兩個(gè)次品，每次任取一個(gè)，共取3 次，并且每次取出后不再放回若 以 X 表示取出次品的個(gè)數(shù)，試求 X 的均值 E(X)和方差 D(X)思路分析：“每

17、次取出后不再放回”顯然符合超幾何分布，利用超幾何分布的公式即可。小結(jié)：本題要注意區(qū)分二項(xiàng)分布與超幾何分布的概念，不能將它們混為一淡二項(xiàng)分布的背景是“n 次獨(dú)立重復(fù)試 驗(yàn)”，而超幾何分布的背景為“在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中任取 n 件”，他們是“重復(fù)”與“不重復(fù)”的區(qū)別注 意題目中“并且每次取出后不再放回”所以，本題中 X 服從的是超幾何分布第 7 頁(yè) 共 8 頁(yè)C C9在學(xué)校組織的足球比賽中，某班要與其他 4 個(gè)班級(jí)各賽一場(chǎng)，在這 4 場(chǎng)比賽的任意一場(chǎng)中，此班級(jí)每次勝、負(fù)、 平的概率相等已知當(dāng)這 4 場(chǎng)比賽結(jié)束后，該班勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)(1) 求該班級(jí)勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)的所有可能的個(gè)數(shù)和；(2) 若勝場(chǎng)次數(shù)為 X，求 X 的分布列思路分析：該班級(jí)勝場(chǎng)多于負(fù)場(chǎng)的所有可能有四種可能：勝一場(chǎng)，勝兩場(chǎng)，勝三場(chǎng)，勝四場(chǎng)分