2016高考數(shù)學大一輪復習9.1直線的方程教師用書理蘇教版

1、§9.1直線的方程1直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，)2斜率公式(1)若直線l的傾斜角90°，則斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

2、一般式AxByC0，(A2B20)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用4.線段的中點坐標公式若點P1、P2的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則，此公式為線段P1P2的中點坐標公式【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率(×)(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大(×)(4)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.(×)(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等(×)(6)經(jīng)過定點A(0，b)的直

3、線都可以用方程ykxb表示(×)(7)不經(jīng)過原點的直線都可以用1表示(×)(8)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()1直線xya0的傾斜角為_答案60°解析化直線方程為yxa，ktan .0°<180°，60°.2已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三點共線，則x_.答案3解析A、B、C三點共線，kABkAC.，x3.3若直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(mR)兩點，則直線l的傾斜角的取值范圍為_答案解析直線l的斜率k1m2

4、1.若l的傾斜角為，則tan 1.又0，)，.4過點M(3，4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為_答案xy10或4x3y0解析若直線過原點，則k，yx，即4x3y0.若直線不過原點設1，即xya.a3(4)1，xy10.題型一直線的傾斜角與斜率例1經(jīng)過P(0，1)作直線l，若直線l與連結A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.思維點撥注意傾斜角是銳角還是鈍角答案1,10，)解析如圖所示，結合圖形：為使l與線段AB總有公共點，則kPAkkPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角為鈍角，k0時，0，k>0

5、時，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當0k1時，0；當1k<0時，<.故傾斜角的取值范圍為0，)思維升華直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當時，斜率k0，)；當時，斜率不存在；當時，斜率k(，0)(1)若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為_(2)直線xcos y20的傾斜角的范圍是_答案(1)(2)解析(1)依題意，設點P(a,1)，Q(7，b)，則有，解得a5，b3，從而可知直線l的斜率為.(2)由xcos y20得直線斜

6、率kcos .1cos 1，k.設直線的傾斜角為，則tan .結合正切函數(shù)在上的圖象可知，0或<.題型二求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12；(3)直線過點(5,10)，且到原點的距離為5.解(1)由題設知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式設傾斜角為，則sin (0<<)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設知截距不為0，設直線方程為1，又直線過點(3,4)，從而1，解得a4或a9

7、.故所求直線方程為4xy160或x3y90.(3)當斜率不存在時，所求直線方程為x50；當斜率存在時，設其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點線距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.思維升華在求直線方程時，應先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況已知點A(3,4)，求滿足下

8、列條件的直線方程(1)經(jīng)過點A且在兩坐標軸上截距相等；(2)經(jīng)過點A且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形解(1)設直線在x，y軸上的截距均為a.若a0，即直線過點(0,0)及(3,4)直線的方程為yx，即4x3y0.若a0，設所求直線的方程為1，又點(3,4)在直線上，1，a7.直線的方程為xy70.綜合可知所求直線的方程為4x3y0或xy70.(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1.又過點(3,4)，由點斜式得y4±(x3)所求直線的方程為xy10或xy70.題型三直線方程的綜合應用例3已知直線l過點P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，如圖所示，求ABO

9、的面積的最小值及此時直線l的方程思維點撥先設出AB所在的直線方程，再求出A，B兩點的坐標，表示出ABO的面積，然后利用相關的數(shù)學知識求最值解方法一設直線方程為1 (a>0，b>0)，點P(3,2)代入得12 ，得ab24，從而SAOBab12，當且僅當時等號成立，這時k，從而所求直線方程為2x3y120.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y2k(x3) (k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.當且僅當9k，即k時，等號成立即ABO的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.思維升華直線方

10、程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的x，y的關系，將問題轉化為關于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決(2)與方程、不等式相結合的問題：一般是利用方程、不等式的有關知識(如方程解的個數(shù)、根的存在性問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等)來解決已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程(1)證明直線l的方程是k(x2)(1y)0，令解得無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(2,1)(

11、2)解由方程知，當k0時直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k>0；當k0時，直線為y1，符合題意，故k0.(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依題意得解得k>0.S·OA·OB··|12k|·×(2×24)4，“”成立的條件是k>0且4k，即k，Smin4，此時直線l的方程為x2y40.求直線方程忽視零截距致誤典例：(14分)設直線l的方程為(a1)xy2a0 (aR)(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值

12、范圍易錯分析本題易錯點為求直線方程時，漏掉直線過原點的情況規(guī)范解答解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.3分當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上可知，直線方程為3xy0或xy20.8分(2)將l的方程化為y(a1)xa2，或a1.12分綜上可知a的取值范圍是a1.14分溫馨提醒(1)在求與截距有關的直線方程時，注意對直線的截距是否為零進行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導致產(chǎn)生漏解(2)常見的與截距問題有關的易錯點有“截距互為相反數(shù)”；“一截距是另一截距的幾倍”等，解決此類問題時，要先考慮零截距情形，注

13、意分類討論思想的運用.方法與技巧直線的傾斜角和斜率的關系：(1)任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率(2)直線的傾斜角和斜率k之間的對應法則：0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<0失誤與防范與直線方程的適用條件、截距、斜率有關問題的注意點(1)明確直線方程各種形式的適用條件點斜式、斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截

14、距有關的問題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率是否存在加以討論.A組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1如圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則k1，k2，k3的大小關系為_(用“<”連接)答案k1<k3<k2解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角，且2>3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.2直線xsin ycos 0的傾斜角是_答案解析tan tan tan ，0，)，.3直線x(a21)y10的傾斜角的取

15、值范圍是_答案解析直線的斜率k，1k<0，則傾斜角的范圍是.4兩條直線l1：1和l2：1在同一直角坐標系中的圖象可以是_答案解析化為截距式1，1.假定l1，判斷a，b，確定l2的位置，知符合5已知直線PQ的斜率為，將直線繞點P順時針旋轉60°所得的直線的斜率為_答案解析直線PQ的斜率為，則直線PQ的傾斜角為120°，所求直線的傾斜角為60°，tan 60°.6若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_答案，0)解析當<時，tan <1，k<1.當<時，tan <0.k，0)7直線l：ax(a1)y20的傾斜角

16、大于45°，則a的取值范圍是_答案(，)(0，)解析當a1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當a1時，直線l的斜率為，只要>1或<0即可，解得1<a<或a<1或a>0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(，)(0，)8若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三點共線，則ab的最小值為_答案16解析根據(jù)A(a,0)、B(0，b)確定直線的方程為1，又C(2，2)在該直線上，故1，所以2(ab)ab.又ab>0，故a<0，b<0.根據(jù)基本不等式ab2(ab)4，從而0(舍去)或4，故ab16，當且僅當ab4

17、時取等號即ab的最小值為16.9已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：(1)過定點A(3,4)；(2)斜率為.解(1)設直線l的方程是yk(x3)4，它在x軸，y軸上的截距分別是3,3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直線l的方程為2x3y60或8x3y120.(2)設直線l在y軸上的截距為b，則直線l的方程是yxb，它在x軸上的截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直線l的方程為x6y60或x6y60.10.如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)

18、作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點，當AB的中點C恰好落在直線yx上時，求直線AB的方程解由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點C，由點C在yx上，且A、P、B三點共線得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1若直線axbyab (a>0，b>0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為_答案4解析直線axbyab (a>0，b>0)過點(1,1)，abab，即1，ab(ab)2224，當且僅當ab2時上式等號成立直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.2過點P(2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為12的直線共有_條答案3解析設過點P(2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形面積為12的直線的斜率為k，則有直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，它與坐標軸的交點分別為M(0，2k3)、N.再由12OM·ON|2k3|×