民航案例講義2015[1]

1、數(shù)學模型與民航案例案例匯編目 錄案例1 飛機的最佳耗油量問題11案例2 飛行管理問題（1995年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）3案例3 為什么航空公司要超訂機票211案例4 飛機排隊模型(1989年美國大學生數(shù)學模型競賽B題)324案例5 飛機地面除冰問題模型435案例6 波音公司飛機最佳定價策略541案例7 民航發(fā)動機狀態(tài)監(jiān)控參數(shù)EGT的時間序列模型44案例8 航空公司機型指派問題的多目標規(guī)劃方法49案例9 基于參數(shù)估計方法的航空發(fā)動機性能可靠性預測53案例10 飛機排座問題56參考文獻7375案例1 飛機的最佳耗油量問題1 一架飛機從A地經(jīng)B、C、D、E飛往F，飛行員只可能在這些點上決定到下

2、一點時的飛行高度，任意連接兩點間的距離均為200km，按不同高度飛行時耗油不同。在適當單位下，所需耗油如1-1表所列，表中第一列各行標出的是飛機在前一點的高度，第一行各列為到達下一點的高度，行列交叉處為相應的油耗，“”表示從0m到0m高度的飛行是不可能的。試根據(jù)表1-1的數(shù)據(jù)，決定一個飛行方案，使總油耗最低。表1-1 飛機耗油量表高度/m0100020003000400050000400048005520616067201000800160026004000472060802000320480800224031204640300001603205601600304040000080240480

3、160050000000160240 這是一個多階段決策問題，而在A及F兩點高度只能是零，將A、B、C、D、E五點上的決策視為五個階段，每個階段的輸入變量是到達該點的高度，輸出變量是到達下一點的高度。為了簡便，每點的決策變量也用到達下一點的高度表示，相應的目標函數(shù)則是兩點間的油耗。 下面用表格法來求解這個問題，從最后一階段，即在E點的決策開始考慮。在E點，飛機可以有除0m外的任何高度，但到達F時，高度必須降到0m，考慮所有可能的情況，將它們列于表1-2。表1-2 從E到F最佳決策表 1000020000300004000050000800320000 表1-2中，第一行表示E點的所有可能輸入及

4、對應的最佳決策（此處只有一種決策可能，即到F時降到0），第二行是相應的油耗。 現(xiàn)在考慮由D經(jīng)E到F的所有可能。只要D點的輸入取定，考慮所有可能的決策，再利用表1-2，不難得出相應這一輸入的最佳決策及到達終點的最小油耗，例如，若D的高度是0m，即輸入為0時，若決定到E時爬升到1000m，這段飛行油耗是4000，從表9.2可知，到達終點還要消耗800，故這一決策的消耗合計為4800。類似地，對于固定的輸入高度0，可以對D的任何決策進行計算，在考慮了所有可能之后，知道D點的輸入變量為0時，最佳策略是到E時升到1000m，最佳油耗量為4800 。對D點所有可能輸入加以考慮，將結果列入表1.3，第一行表

5、示輸入變量取值及與之相應的從D到E的最佳決策，第二行表示相應于這一決策到達終點的最佳油耗。表1-3 從D經(jīng)E到F最佳決策表 0100010001000200020003000300040003000500030004800240011205602400 類似地，得到表1-41-6，它們依次是對從狀態(tài)C、B、A開始的子系統(tǒng)的計算結果。由于在A處必須從地面起飛，所以表1-6的輸入?yún)?shù)只有一個，即0 m。表1-4 從C經(jīng)D、E到F最佳決策表 0200010002000200020003000300040004000500050005920372019201120720240表1-5 從B經(jīng)C、D、E

6、到F最佳決策表10002000200020003000300040004000500050004520272016801200480表1-6 從A經(jīng)B、C、D、E到F最佳決策表 030000500072007200從表1-6可知，對于所討論的問題，最小油耗是7200，達到這一油耗的飛行路線有兩條，它們可逆向由表1-6到1-2得到，其結果是：1，0m3000m 3000m3000m3000m0m；2，0m5000m5000m5000m5000m0m。案例2 飛行管理問題（1995年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）1 問題的提出 在約10000m的高空的正方形區(qū)域內，有若干架飛機做水平飛行。區(qū)域內每架

7、飛機的位置和速度向量均由計算機記錄數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角，以避免碰撞。 假定條件：（1） 不碰撞的標準是任意兩架飛機的距離大于8 km。（2） 飛機飛行方向角調整幅度不應超過，而要盡可能小。（3） 所有飛機的飛行速度為800km/h，不受其他因素影響。（4） 進入該區(qū)域的飛機在到達邊緣時，與該區(qū)域的飛機的距離在60km以上。（5） 不考慮飛機離開區(qū)域后的情況。（6） 建模時暫考慮六架飛機。 請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學

8、模型，列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算（方向角誤差不超過0.01度），要求飛機的方向角調整的幅度盡量小。設該區(qū)域四個頂點的坐標為（0,0），（160,0），（160,160），（0，160），記錄數(shù)據(jù)如表13.1（其中方向角指飛行方向與 x軸正向夾角）所列。飛機編號橫坐標縱坐標方向角度/()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052表 2-1 飛行位置及方向2 問題分析根據(jù)題目的條件，可將飛機飛行的空域視為二維平面xOy中的一個正方形，頂點在（0,0），（160，0），（160，160），（0，160）。各架飛機的飛行方向角

9、為飛行方向與x軸正向夾角（轉角）。根據(jù)兩飛機不碰撞的標準為二者距離大于8km，可將每架飛機視為一個以飛機為圓心、以4為半徑的圓狀物體（每架飛機在空域中的狀態(tài)由圓心的位置向量和飛行速度向量確定）。這樣兩架飛機是否碰撞就化為兩圓在運動中是否相交的問題。兩圓是否相交只要討論它們的相對運動即可。建模時補充假定條件：（1） 飛機在所定區(qū)域內作直線飛行，不偏離航向。（2） 飛機管理系統(tǒng)內不發(fā)生意外，如發(fā)動機失靈，或其他意外原因迫使飛機改變航向。（3） 飛機進入?yún)^(qū)域邊緣時，立即進行計算，每架飛機按照計算后的指示立即作方向角調整。（4） 飛機管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應被飛機立即執(zhí)行，即認為轉向時瞬間完成的（忽略飛機

10、轉向的影響，即轉彎半徑和轉彎時間的影響）（5） 每架飛機在整個過程中至多改變一次航向。（6） 新飛機進入?yún)^(qū)域時，已在區(qū)域內部的飛機的飛行方向已調整合適，不會碰撞。（7） 對每架飛機方向角的相同調整量的滿意程度是一樣的。3 模型的建立 3.1.圓狀模型由前面的分析將飛機作為圓狀模型進行研究。兩圓不相交，則表明不會發(fā)生碰撞事故；若兩圓相交，則表明會發(fā)生碰撞事故。為了研究兩飛機相碰撞問題，采用相對速度作為研究對象，因為飛機是否碰撞的關鍵是相對速度。圖2-1給出了任意兩架飛機之間的關系。其中符號含義如下： 第 第 架飛機的圓心； 第 第 架飛機的碰撞角； 第 架飛機相對第 架飛機的相對飛行速度； 第

11、第 架飛機的圓心距； 第 架飛機相對第 架飛機的相對飛行速度與兩架飛機圓心連心的夾角（逆時針為正）；AB，CD兩圓的公切線，/ /AB，/CD。另外再引進記號： 第 架飛機的飛行方向與x軸正向夾角（逆時針為正）；第 架飛機的位置向量；第 架飛機的速度向量。圖2-1 飛機間關系示意圖3.2 .由圓狀模型導出的方程組首先討論 的改變量與第 第 兩架飛機飛行方向角改變量 的關系。由題目條件可知，對第 架飛機速度大小=A=800，可用復數(shù)表示速度 =A 。設第 ，飛機飛行方向改變前的速度分別是 =A ， = A，改變后的速度分別是 ， 則飛行方向改變前后的相對速度分別是兩者之商的幅角就是。即交角之差為

12、于是有如下定理：定理 對第, 第兩架飛機，其相對速度方向 的改變量等于兩飛機飛行角改變量之和的1/2，即3.3決策目標題目要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小，這個盡量小是針對飛機而言的，同時也要求滿意程度（即對管理層而言，使每架飛機的幅度都盡量小）。因此構造目標函數(shù)時，可以認為若對方向角調整量最大的飛機而言，其調整達到滿意程度，則由假設（7）對其余飛機調整量均可滿意。即要求每架飛機的調整量都小于某個數(shù) （0），故可取決策目標為求其最小值min，其中=max|。另外，也可以六架飛機調整量的絕對值之和作為目標函數(shù)，其決策目標是 3.4.約束條件調整方向角時不能超過，即| | ，=1，2，3，6調整

13、飛行方向后飛機不能碰撞，應有3.5.數(shù)學模型總結以上可得如下優(yōu)化模型：或式（2-1）和式（2-2）都是非線性規(guī)劃，求解困難。下面將式（2-2）轉化為線性規(guī)劃。 3.6.化為線性規(guī)劃模型由于可正可負，為使各變量均非負，引入新變量：式（2-2）化為4 模型求解4.1. 的計算可以用MATLAB計算，其程序為：x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*a

14、sin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2; end endendalpha計算結果為alpha = 0 5.3912 32.2310 5.0918 20.9634 2.2345 5.3912 0 4.8040 6.6135 5.8079 3.8159 32.2310 4.8040 0 4.3647 22.8337 2.1255 5.0918 6.6135 4.3647 0 4.5377 2.9898 20.9634 5.8079 22.8337 4.5377 0 2.3098 2.2345 3.8159 2.1255 2.9898 2.3098 0的計算用MATLAB

15、程序編寫為：a=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita計算結果為beita = 0 -180 0 -180 0 -180 180 0 0 -180 0 -180 0 0 0 -180 0 -180 180 180 180 0 180 -180 0 0 0

16、-180 0 -180 180 180 180 180 180 04.2. 最優(yōu)解的計算用MATLAB求解式（2-1）編程如下。首先編寫函數(shù)M文件：function f,g=plane(x)alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000, 4.8040024,6.813460,5,807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539, 5.091816,6.613460,4.363673,0.0

17、00000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000, 2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934 109.263642 0.000000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.4763

18、11 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606 174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383 14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)=alpha(1,2)-abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2

19、);g(2)=alpha(1,3)-abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)=alpha(1,4)-abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)=alpha(1,5)-abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)=alpha(1,6)-abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)=alpha(2,3)-abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)=alpha(2,4)-abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)=alpha

20、(2,5)-abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)=alpha(2,6)-abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)=alpha(3,4)-abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)=alpha(3,5)-abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)=alpha(3,6)-abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)=alpha(4,5)-abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)=alpha(4,6)-a

21、bs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)=alpha(5,6)-abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行命令：x0=0,0,0,0,0,0;v1=-30*ones(1,6);v2=30*ones(1,6);opt=; x=constr('plane',x0,opt,v1,v2)計算結果： x=-0.00000576637983-0.000005766379832.58794980234726-0.000012434879850.000036204730951.04151019765274 最優(yōu)解為：5 模型檢驗各飛行方

22、向按此方案調整后，系統(tǒng)各架飛機均滿足，結果是正確的。 模型的評價與推廣：（1） 此模型采用圓柱模型分析碰撞問題是合理的，同時采用相對速度作為判別標準，既體現(xiàn)了碰撞的本質（相對運動），又簡化了模型的計算。（2） 建模中用了適當?shù)暮喕?，將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題，既求到合理的解，又提高了運算速度，這對解決高速飛行的飛機碰撞問題是十分重要的。此模型對題目所提供的例子計算得出的結果是令人滿意的。（3） 由對稱性知模型中的約束個數(shù)是 （是飛機數(shù)），所有約束條件數(shù)是增大時，約束條件數(shù)是的二次函數(shù)，計算量增加不大。案例3 為什么航空公司要超訂機票21 問題介紹我們有時會在一些刊物上看到旅客

23、們抱怨，他們本已訂上了某天某次班機的機票，但當?shù)竭_機場而在接待室接受檢查時，卻聽到可怕的消息：“對不起先生，您的航班現(xiàn)已滿員，我們將不得不讓您乘坐下次班機了?！币苍S哪位的朋友遇到過這種事，而作者卻有一次個人的親生經(jīng)歷。在一個大家熟知的英國航班途中，他被迫將自己第一天的假期花費在了希臘gatwick機場跑道盡頭的一個旅館中。這種事情常會旅客諸多不便甚至怨恨，在計算機輔助訂票的當今時代，應該可能設計一個系統(tǒng)以降低這種錯誤率。本文的目的在于介紹并讓大家理解為什么為了盈利，航空公司定給旅客某次班機的票數(shù)要多于那次航班所能容納的乘客數(shù)。進一步的某型將為我們揭示航空公司這種做法的強制效果。在任何強制服務及

24、航班數(shù)據(jù)均缺乏的情況下，我們不可能對某次飛行給出定論，但模型中各個參數(shù)變化的結果將會定性的給出航空公司決策的道理。2 符號說明顯然，在建立數(shù)學模型前，有必要先定義變量，并解釋所用符號。一個人在開始建立適當復雜的模型時，不可能在他一開始就用到所用變量。我覺得必要的是應編輯好記號便于自己用，而且這也有助于其他人讀或用所得模型。到一頁結束時，我總是將我所用符號記在另一頁上，建議鼓勵學生養(yǎng)成這種習慣。而你，作為指導教師，將會發(fā)現(xiàn)這對于理解他們所做的工作很有益處。：某次班機的飛行費用：飛行中飛機所載旅客數(shù)：每個旅客所償付旅行費 ：飛行飛機的容量：對每一次飛行來說“未到”旅客的人數(shù)：人未到的概率：某次班機

25、訂票的人數(shù)：飛行所產(chǎn)生的結余（利潤）：留下（例如擠掉）一名已訂票旅客的耗費：一個訂票旅客到達的概率：一個旅客“未到”的概率（即）：一次班機售出的低費票數(shù)目：低費票相對于全費票的低費率3 模型建立建模時，我發(fā)現(xiàn)通過階段性建模與查證對理解問題很自然，也很有益。而在每一階段，模型特性均是與我對所構模真實系統(tǒng)的直覺相一致，以這種直覺，我們下面開始著手建立一個航空公司希望來源于不足訂票的效益模型。3.1 首次嘗試 與某次飛行有關的費用不依賴于飛行所帶乘客人數(shù)。不管飛機是否滿員，航空公司都必須付錢給飛行員、導航員、工程師及客艙工作人員。一架滿員的飛機相對于一架半滿的飛機所耗掉的燃料差作為總載油量的百分比是

26、非常小的。飛機起飛時，須帶有供它到達目的地的燃料，這部分燃料占其起飛重量的百分比是很大的，而這一般只要求能使飛機到達終點時所剩油量恰如其分為好。起飛、降落或由機場索要的管理費也不與飛機所載乘客數(shù)有關。因此，一定精度下，我們可以忽略飛行的各種費用差別，而假定進行一次飛行的費用為定數(shù)，各個乘客付費的總額與飛行耗費之差為結余，或從某種意義上講，就是利潤。當然，包括其它費用（例如：飛機保養(yǎng)）。 另外，首先盡量地使模型簡單些，而反過來又要包括已有基本公式化模型的更多特征，以此訓練學生較好，當然，還應常提醒他們不要受細節(jié)滲雜的干擾而去完善那基本模型，一旦他們對模型有了基本的了解，他們就會回過頭來去包括更多

27、的影響因素。我發(fā)現(xiàn)，決定了他們的策略后，學生建模時最常見的困難就是決定應包括的因素，大的與小的，怎樣正好？ 若一次飛行載有個旅客，則產(chǎn)生的結余應為，這里，是每一個旅客所付的費用，十分明顯，這個簡單的模型有我們所期望它的那種特性，當所載旅客數(shù)增加時，利潤相應增加，能夠取得的最大利潤是，這里，N是飛機的旅客容量。這里有一個奇點，在奇點處，正好由所載旅客所支付費用抵消了飛行費用，此時，比此更少的載客飛機將賠錢。所有這些都是所期望的。 觀察這個簡單模型有：為了取得盡量多的利潤，航空公司應把目光盯在填滿每次飛行上。一旦接受訂票為，飛機視為滿載，不能再接受更多的訂票。但問題又出來了：某些旅客也許會在飛機起

28、飛時為到達現(xiàn)場，對于客機來講，標準條件下，對于全費旅客的這種行為可以不受懲罰，他們可以遲到，并且其機票對另一次飛行來說仍有效，而對于某些其它客艙的旅客來講，卻沒有這種優(yōu)惠，下面我們將這點考慮在內。不能到達的每一旅客在某種程度上都有潛在的經(jīng)濟損失。這種旅客在生意上被稱為“未到”。3.2 一個較好模型讓我們以下列方式來改進上述提出的簡單模型，假定人“未到”的概率為，而表示某次航班訂票的旅客數(shù)，且允許超過，當有人未到時，航空公司將從飛行中得到的利潤為： （3-1）對于此次飛行來講，未定的旅客人數(shù)為一種偶然事件，因此，所獲利潤的適當表達式為概率期望利潤，我們用表示，則有：= 載有-個旅客時的結余= （

29、3-2）未定的旅客數(shù)也許由于需要缺乏而很小，在這種情況下，航空公司不需要確定多少旅客訂票或超訂多少，而我們所要考慮的問題是超過供應情況下航空公司的表現(xiàn)行為。先假定為這種情況，且無論航空公司設置多高的訂票水平，都可以完成預定。這相當于白天航行的情形。現(xiàn)在我們能將（3-2）改寫為：由的定義，可得：因此，我們可以看到，因為帶有和式的那部分全為正，要取得接近于期望利潤的最大值，唯一方法是減少一切而使之盡可能接近于零。如果訂票水平超過，將可實現(xiàn)這一情況，實際上，當訂票旅客數(shù)增加時，“未到”任何大數(shù)的概率減小。這個模型告訴我們，要訂票旅客數(shù)不肯定出現(xiàn)而事實上出現(xiàn)的情況下，航空公司實際上將會超訂，以便于取得

30、接近于滿載飛行時的理論極大期望利潤值。在這個模型中未考慮因飛機客容量而多次超訂帶來的后果，實際上，這種策略會導致大量的旅客被所有的飛機拋下，且隨著訂票水平的增加而加劇。因此，我們得到，為什么航空公司為盡可能多獲得利潤，而故意超訂，但超訂并不現(xiàn)實，模型需要進一步的提煉。3.3 一個更進一步的提煉在航空公司超訂飛行的情況下，會在機場有越來越多的旅客因飛機客容量而不能飛走，這些超員則須移往別處，或者在后續(xù)飛機上提供座位，此時，航空公司也許會靠付某種費用給旅客以消民憤；或者，旅客決定坐另一家航空公司的飛機，此時需退票，航空公司要付管理費而造成經(jīng)濟損失，還有，隨著名聲的敗壞使航空公司的公開形象遭受損失。

31、我們假定，對于訂票到達而不能上機的旅客（在商業(yè)上稱之為“被擠掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付賠償費。這樣就需要建立對于超定帶有一定懲罰性的更復雜模型，以便取得較高的平均收入總額。 若到達機場要檢票上機的旅客數(shù)為，由這次飛機獲取利潤為： （3-3）那么，航空公司由一次飛行獲取的平均或期望利潤為一個和式，它是所有可能未到人數(shù)對應情況下的利潤乘以相應概率的和。因此，我們有：而且是“未到”的數(shù)學期望值，用來表示之，則 （3-4） 現(xiàn)在，我們得到了一個相對復雜些的直接結果，要驗證其正確性，檢查結果的有效性，并尋找錯誤，我常以一兩種特殊情況來檢驗其是否像我期望的那樣，與此同時，也檢查這階段的計算

32、錯誤，教會學生不斷挑自己工作的不足很重要。例如我們在（3-4）中令，（對于一切）來檢查一下結果，這相當于旅客不能到達的偶然性為零，即所有訂票上機的旅客都到達了。此時，（3-4）退化為：這表明，若飛機客容量為個旅客訂了機票，且他們全到，利潤將是從滿員飛行利潤中去掉被擠掉留下的那部分旅客。在這種情況下，當時，可得到最大平均利潤，這與第一個簡單模型一致。目前，我們對的形式?jīng)]做任何假定。為從已提煉的模型獲取更多的東西，對這些概率作出似乎合理的假定是有益的，也許，最簡單的假定莫過于其任一旅客出現(xiàn)的概率為，為未到的概率為。進一步假定旅客的到達是相互獨立的，這將會有二項分布的： （3-5）當然，這種“未到”

33、為相互獨立的假定并不完全有效。事實上，部分旅客會成雙或成群到達（或未到）。然而，讓我們暫不考慮這種附帶的困難，這樣有，而（3-4）式變成： （3-6）現(xiàn)在所要做的是如何是平均飛行利潤最大。（3-6）式中，平均利潤的表達式依賴于支付與賠償費不受航空公司短期控制的影響（這些費用是由IATA來規(guī)定的），為外部限制，而只有訂票水平為航空公司的可控參數(shù)。要求出（3-6）式中部分和，最好由數(shù)值方法求解。不過很明顯，最優(yōu)訂票水平應至少為飛機客容量。因為由（3a）式可知，時，期望利潤退化為：（3-7）它是的一個增函數(shù)。由（3-5）式知，隨著訂票水平的變化而取不同的值，這些變化可手工計算。若有條件用計算機的話，

34、應鼓勵學生編一個程序來計算任何組合下的期望利潤。接著，在的某個固定情況下，用它來決定最優(yōu)的訂票水平，若用手（或用一個非程序化計算器）來計算，我將首先同他們探討所有簡化后的可能情況，例如，若充分大（對于 客機，對于波音747有，用泊松分布來代替這里的二項分布不會有太大差別。另一方面，（3-6）式部分和中的項數(shù)為，且為找到最優(yōu)訂票水平，部分和的項數(shù)必定隨的增大而增多。從而工作量將會因一個小飛機（比如說80個座位的feederliner）而減小。小型飛機超定10%時只有8項，相反，450個座位的噴氣式飛機10%超定時的部分和卻要加45項。（3-6）式中部分和是的函數(shù)，可寫一個計算機程序來計算給定值下

35、的部分和，由于期望利潤是的函數(shù)，航空公司要求以近似于60%的一個奇異載重因子來計算，也就是假定0.6，則：（3-8） 對于客容量為300的一個飛機假定，編程并用計算機計算期望利潤，結果見表3-1。顯然，最大期望利潤時的超訂水平為確定的。且我們還可以計算個或更多個旅客被擠掉的概率為：或更多旅客被擠掉）=表3-1中包括了至少一個和至少5個旅客被擠掉的概率。 表3-1 300個座位的飛機，當時的期望利潤和被擠掉的概率3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0

36、000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.0003070.620220.0050.0003080.625420.0150.0003090.630520.0270.0003100.635470.0510.0023110.640180.0270.0053120.644540.0510.0113130.648460.0880.0243140.651850.1420.0463150.654650.2110.0813160.656830.2940.1313170.658390.3870.1963180.659390.4850.2773190.659880.58

37、10.3673200.659960.6710.4643210.659700.7510.5613220.659190.8180.6523230.658490.8710.7343240.657660.9120.8033250.656750.9420.8603260.655780.9630.9033000.500000.0000.0003010.505000.0000.0003020.510000.0000.0003030.515000.0000.0003040.520000.0000.0003050.525000.0000.0003060.530000.0000.0003070.535000.00

38、00.0003080.540000.0000.0003090.545000.0000.0003100.550000.0000.0003110.560000.0000.0003120.565000.0000.0003130.570000.0000.0003140.575000.0000.0003150.579990.0000.0003160.584990.0010.0003170.589970.0010.0003180.594950.0020.0003190.599910.0040.0003200.604830.0070.0003210.609710.0120.0013220.614530.01

39、90.0023230.619250.0300.0033240.623850.0450.0063250.628280.0650.0103260.632510.0910.0163270.636500.1250.0253280.640190.1650.0393290.643570.2120.0573300.646590.2650.0803310.649220.3240.1113320.651470.3860.1483330.653330.4510.1923340.654800.5170.2423350.655900.5810.2983360.656650.6430.3593370.657100.70

40、10.4233380.657270.7530.4883390.657200.8000.5533400.656930.8400.6153410.656490.8750.6753420.655920.9030.7293430.9270.7783440.655230.9450.8213450.654470.9600.859在這兩種情況下，可以看到，當分別超定20和39張票時，最大期望利潤提高。擠掉5個或更多旅客的概率實際為46%和55%。每一擠掉旅客的賠償率影響情況見表中的結果。其結果與直覺期望相一致。當與每一個擠掉者聯(lián)系的罰值增加時，最大期望利潤時的超定水平相應減小。擠掉任何給定數(shù)旅客的相應概率（

41、作為一例，這里給出了擠掉至少5個的概率值）減少。表3-2 300個座位的飛機，時，期望利潤相對于飛行固定耗費最大時的訂票水平最大時的訂票水平.1321663.56.2320660.46.3319658.37.4318656.28.5317655.20(a)最大時的訂票水平.1342661.73.2339657.55.3338654.49.4337652.42.5336650.36(b)最大時的訂票水平.1364660.77.2361655.64.3359652.55.4357649.44.5356646.40(c)在此有一個好的練習供與學生一起討論，那就是如何估計航空公司要達到的b值，它可能由

42、非常確定的直接費用和一些相對不明確的間接費用（像信譽與未來顧客減少所帶來的損失）組成。由此將會引導出對敏感性的討論，要取得問題的充分理解并估計模型預測中可能的錯誤，就要改變涉及的參量并觀察輸出相對于這些變化的敏感性。還有要考慮的另一個有趣事情也許就是改變選擇超訂水平的準則。一個航空公司訂票的準則應該是確定的?？杉俣ㄆ溆休^低的一定擠掉任何旅客的概率。并啟用廣告以強調其相對于所有競爭對手有最低的擠掉率。那么，要求學生給出這種經(jīng)濟表現(xiàn)的測量模型以估價這種策略。并比較這種設置超定水平策略下的期望利潤與前述超定策略下可獲得的最大期望利潤。這自然地引導向多種準則決定的整體范圍和無共同計量單位準則間的二分概

43、率問題。表3-2中數(shù)字表明擠掉5個或更多個旅客的概率對b 作為g的百分比值的變化是極為敏感的，另一方面，期望利潤對于這種變化來說是相對不敏感的，實踐中，這往往使航空公司決策者錯誤地超估b值。要精確估計b值十分困難，對于超估來說，較低的平均利潤下，懲罰很小，而在降低擠掉可觀數(shù)目旅客的概率方面，益處卻很大。3.4再進一步的提煉假若某次班機只是擠掉一兩個旅客，可能可以保持平靜，但一小組的不滿意旅客會使航空公司當眾出丑，而航空公司祝愿這種冒險越小越好，也許在公式化訂票策略時，航空公司會采取一種策略，即取低于極大期望利潤但又可以使大數(shù)目旅客被擠掉的概率減少到可接受的程度的最優(yōu)值。一種變通的辦法是努力想辦

44、法去增加實際出現(xiàn)旅客訂到機票的可能性，這可以通過有APEX ，ABC和其他特殊費方案來實現(xiàn)。用這種方案，旅客能以較低的票價得到僅對某次班機有效的機票，若旅客未到，機票失效，旅客會損失掉這部分錢。顯然，一些旅客（主要是度假者）將接受這種限制以減少耗費，這部分旅客將不會輕率地錯過班機。因此，我們可以假定他們“未到”的概率為零。則這部分旅客形成了一個固定的旅客基數(shù)，他們是可靠的上機者。假定個旅客以票價訂了低價機票，那么，由個低費旅客和個全費旅客產(chǎn)生的利潤為： （3-9）而人未到的概率現(xiàn)在為個全費旅客中未到人的概率，例如飛行期望利潤為： （3-10）這個式子能編程計算而用來解釋變化的影響，像前邊一樣，

45、如果我們對飛行耗費比全比率費用的關系作出一個近乎實際的假設，這里的計算困難也可以減小，假定奇點載重時以適當比例混合的全費與低費旅客占了座位的60%，從而，當?shù)唾M旅客比例增加時，因償付全費的旅客比例減少了，全費用基數(shù)應相應增加，相應奇異條件就是：即因此，由（3-10）式與此方程結合有等價于（3-7）的式子：（3-11）修改以前的程序即可用來計算這種情況下的。現(xiàn)在，模型已被提煉成為這里的一個有充分多變量及參量的式子，并且表達方式實用而清楚，就建模本身而言，教導學生做到這一點很有益，在工業(yè)及商業(yè)環(huán)境中的數(shù)學家所需要有的技能之一就是以清楚而且通俗的方式為非數(shù)學家提供并表述他們的發(fā)現(xiàn)。表3-3給出了用模

46、型（3-11）算出的一些典型結果。其中的及是針對闡述目的而選擇的。要改變關于的影響是可能的，只要改變各種不同的訂票水平以及即可。從表3-3我們可以看出，當增加時，極大化的訂票水平降低，而擠掉旅客的概率也相應減小。這正是我們所期望的。表3-3 低價票的不同預訂水平下，300個座位的飛機，時，期望利潤及被擠掉概率的變化情況。3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.000

47、 307 0.62022 0.005 0.000 308 0.62541 0.013 0.000 309 0.63050 0.027 0.000 310 0.63542 0.051 0.002 311 0.64008 0.008 0.005 312 0.64436 0.142 0.011 313 0.64817 0.211 0.0243140.651400.2940.0463150.654000.3870.0813160.655910.4850.1313170.657170.5810.1963180.657810.6710.2773190.657900.7510.3673200.657750.

48、8180.464(a) 3000.579710.0000.0003010.585220.0000.0003020.590720.0000.0003030.596230.0000.0003040.601730.0010.0003050.607210.0040.0003060612630.0110.0003070.617950.0250.0003080.623070.0530.0013090.627880.0960.0033100.632220.1590.0093110.635970.2410.0233120.639030.3380.0473130.641320.4430.0873140.6431

49、50.6510.2243160.643820.7410.3183170.643470.8150.421(b) 3000.575760.0000.0003010.581510.0000.0003020.587270.0000.0003030.593010.0020.0003040.598710.0080.0003050.604290.0220.0003060.609650.0520.0003070.614610.1040.0023080.618990.1790.0073090.622630.2780.0203100.625410.3930.0463110.627280.5130.0933120.

50、628290.6280.1643130.628540.7300.2583140.628170.8130.369(c) 3000.571430.0000.0003010.577460.0000.0003020.583460.0040.0003030.589360.0160.0003040.595000.0480.0003050.600160.1090.0003060.604560.2030.0033070.607980.3280.0143080.613020.4640.0473090.611590.6000.0973100.611930.7200.1843110.611520.8160.301(d) 本文建立了模型卻沒有給出任何確定的結論，這只因為對許多外部參量沒有做進一步的研究而不能確定出其確定值，然而，本文著重說明了成功提煉而建立模型的過程，以及用模型來獲取定量結果（如：趨勢的與直覺的）并組織觀察多變量函數(shù)參量變化的方法。4 進一步建模工作的建議本章所考慮的正是大量相似問題之一。同樣，一個資料擁有者可以公開出借、雇傭或出售，但其必須考察可以實現(xiàn)或不可以實現(xiàn)的顧客預訂問題。下面列