高中數(shù)學(xué)2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案蘇教版選修2-2-蘇教版高二選修2-2數(shù)學(xué)學(xué)案

1、23 數(shù)學(xué)歸納法一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求建議數(shù)學(xué)歸納法的原理了解借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用理解理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2預(yù)習(xí)提綱(1) 回顧已學(xué)知識(shí)，體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法(2) 數(shù)學(xué)歸納法公理是證明有關(guān)自然數(shù)命題的依據(jù)，你能說(shuō)出它的兩個(gè)步驟嗎? (3) 結(jié)合課本第8687 頁(yè)的例 1例 3，體會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的2 個(gè)步驟，解題時(shí)缺一不可；結(jié)合課本第8890 頁(yè)的例

2、4 和例 5，體會(huì)用“歸納猜想證明”的方法處理問(wèn)題(4) 閱讀課本第85 頁(yè)至第 90 頁(yè)內(nèi)容，并完成課后練習(xí)3典型例題(1) 數(shù)學(xué)歸納法是以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無(wú)窮歸納(完全歸納 )的過(guò)程，轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過(guò)程( 遞推關(guān)系 ) 數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是：遞推奠基：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(kn*，且kn0) 時(shí)結(jié)論正確；( 歸納假設(shè) )證明當(dāng)n=k1 時(shí)結(jié)論也正確(歸納證明 ) 由，可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確例 1用數(shù)學(xué)歸納法證明111111111234212122nnnnn過(guò)程中，當(dāng) n=1 時(shí)，左邊有 _項(xiàng)，右邊有

3、 _項(xiàng)；當(dāng) n=k 時(shí)，左邊有 _項(xiàng)，右邊有 _項(xiàng)；當(dāng) n=k1 時(shí)，左邊有 _項(xiàng)，右邊有 _項(xiàng)；等式的左右兩邊，由n=k 到 n=k1 時(shí)有什么不同? 分析： 證明時(shí)注意：n取第一個(gè)值n0是什么；從n=k 到 n=k1 時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化解： 當(dāng) n=1 時(shí)，左邊有2_項(xiàng)，右邊有 _1_項(xiàng)；當(dāng) n=k 時(shí)，左邊有 _2k_項(xiàng)，右邊有 _k_項(xiàng)；當(dāng) n=k1 時(shí)，左邊有 _2(k 1)_ 項(xiàng)，右邊有 _k1_項(xiàng)；等式的左邊，由n=k 到 n=k1 時(shí)多了兩項(xiàng)：112(1)12(1)kk；等式的右邊，由n=k 到 n=k1 時(shí)多了兩項(xiàng)：121k12(1)k，少了一項(xiàng)：11k(2) 數(shù)學(xué)歸納法是直接證

4、明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問(wèn)題；探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題例 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明21111222n(n n*) 分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，注意從“ n=k 到 n=k1”時(shí)項(xiàng)的變化； 配湊遞推假設(shè)；檢驗(yàn)是否用了歸納假設(shè)證明： 當(dāng) n=1 時(shí)，112，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即21111222k則當(dāng) n=k1 時(shí)，21211111111111()1122222222222kkk當(dāng)n=k1 時(shí)結(jié)論成立由，可知，不等式對(duì)于從1 開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立例 3 已知f(n)=(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意

5、nn都能使m整除f(n)，求m的最大值分析： 歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)設(shè)遞推條件，尋求 f(k 1) 與 f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵解： f(1)=36 ，f(2)=108=336，f(3)=360=1036f(1) ，f(2) ，f(3) 能被 36 整除，猜想f(n) 能被 36 整除證明n=1，2 時(shí)，由上得證；假設(shè)n=k(k2)時(shí)，f(k)=(2k7)3k9 能被 36 整除，則n=k1 時(shí)，f(k1)=(2k9)3k19=(6k27)3k9=(2k7)3k9(4k20)3k= f(k) 36(k5)3k2(k2) f(k 1) 能被 36 整除；由、知f(n) 能被 36 整

6、除f(1) 不能被大于36 的數(shù)整除，所求m的最大值等于36例 4平面內(nèi)有n 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這 n 個(gè)圓把平面分成n2n2 個(gè)部分分析： 注意從 n=k 到 n=k1 時(shí)的變化解： 當(dāng) n=1 時(shí)，平面內(nèi)1 個(gè)圓把平面分成2 部分，此時(shí)n2 n2=2，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即平面內(nèi)k 個(gè)圓把平面分成k2k2 個(gè)部分，則當(dāng) n=k1 時(shí)，第 k1 個(gè)圓與前面k 個(gè)圓都相交，第k1 個(gè)圓被前面k 個(gè)圓分成2k 段弧，每段弧都把原來(lái)的平面部分一分為二，因此多了2k 個(gè)部分，所以平面內(nèi)k1 個(gè)圓把平面分成(k2k2) 2k= k2k2

7、=(k 1)2(k 1) 2 個(gè)部分，即當(dāng)n=k1 時(shí)結(jié)論成立；由、可知，平面內(nèi)n個(gè)圓把平面分成n2n2 個(gè)部分(3) 解題時(shí)我們常常會(huì)遇到一類先猜后證的問(wèn)題，這種問(wèn)題的解題流程為：歸納猜想證明，而證明往往會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合例 5 是否存在常數(shù), ,a b c，使得2223212nanbncn對(duì)一切正整數(shù)n都成立 ?并證明你的結(jié)論；是否存在a，b，c使得等式122232n(n1)2=12)1(nn(an2bnc) 對(duì)于一切正整數(shù)n 都成立 ?證明你的結(jié)論；已知*1111,23nannn，是否存在關(guān)于n的整式( )g n，使得等式121( )(1)nnaaag n a對(duì)于

8、大于1 的一切正整數(shù)n都成立 ?證明你的結(jié)論分析： 根據(jù)已知條件“對(duì)一切正整數(shù)n都成立”，我們可以先通過(guò)前幾個(gè)數(shù)，如n=1，2，3的情形，進(jìn)行歸納猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論解： 假設(shè)存在常數(shù), ,a b c使等式成立，令1,2,3n得：2221128421232793abcabcabc解之得131216abc；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：222(1)(21)126n nnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立證明：01當(dāng)1n時(shí)，左邊1，右邊(1 1)(2 1)16，即原式成立；02假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，原式成立，即2222(1)(21)1236k kkk則當(dāng)1nk時(shí)，222222(1)(21)123(1)(1)6k k

9、kkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k kkkkkkkkk即當(dāng)1nk時(shí)原式成立，由01、02知222(1)(21)126n nnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立綜上所述，當(dāng)131216abc時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立； 假設(shè)存在a，b，c使題設(shè)的等式成立，令n=1，2，3，則有101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，對(duì)n=1，2， 3下面等式成立122232n(n1)2=)10113(12) 1(2nnnn記sn=122232n(n 1)201 n=1 時(shí)，等式已證，成立；02假設(shè)n=k時(shí)上式成立，即sk=12)1(kk (3k

10、211k10) 則：sk1=sk(k1)(k2)2=12)1(kk (3k2 11k10) (k1)(k 2)2=(1)12k k(k2)(3k5)(k1)(k2)2 =12)2)(1(kk (3k2 5k12k24)=12)2)(1(kk (3k2 1724) = 12)2)(1(kk 3(k1)211(k1) 10即對(duì)n=k1 等式也成立由01、02知，122232n(n1)2=)10113(12) 1(2nnnn對(duì)一切正整數(shù)n都成立綜上所述， 當(dāng)a=3，b=11，c=10 時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立；假設(shè)( )g n存在，令2n，求得(2)2g，令3n，求得(3)3g，令4n，求得(4

11、)4g，由此猜想：( )g nn，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：121(1)nnaaan a對(duì)一切大于 1 的正整數(shù)n都成立 ( 略) 例 6 （）已知函數(shù)( )(1) (0)rf xrxxrx，其中 r 為有理數(shù)，且01r. 求( )fx的最小值；（）試用（）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)120,0aa，12,bb 為正有理數(shù) . 若121bb，則12121 122bbaaa ba b ；（）請(qǐng)將（）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題. 注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式1()xx. 解： （）11( )(1)rrfxrrxrx，令( )0fx，解得1x. 當(dāng) 01x時(shí)，( )0fx，所以

12、( )f x 在 (0, 1)內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)1x時(shí)，( )0fx，所以( )f x 在 (1,) 內(nèi)是增函數(shù) . 故函數(shù)( )f x 在1x處取得最小值(1)0f. （）由（）知，當(dāng)(0,)x時(shí)，有( )(1)0f xf，即(1)rxrxr若1a ，2a 中有一個(gè)為0，則12121 122bba aa ba b 成立；若1a ，2a 均不為 0，又121bb，可得211bb ，于是在中令12axa，1rb ，可得1111122()(1)baabbaa，即111121 121(1)bbaaa bab，亦即12121 122bba aa ba b . 綜上，對(duì)120,0aa，1b ，2b 為正有理

13、數(shù)且121bb， 總有12121 122bbaaa ba b . （） （）中命題的推廣形式為：設(shè)12,naaa 為非負(fù)實(shí)數(shù)，12,nbbb 為正有理數(shù) . 若121nbbb，則12121 122nbbbnnna aaaba ba b . 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)1n時(shí)，11b，有11aa ，成立 . （2）假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)，成立，即若12,ka aa 為非負(fù)實(shí)數(shù)，12,kb bb 為正有理數(shù)，且121kbbb，則12121 122kbbbkkka aaaba ba b . 當(dāng)1nk時(shí)，已知121,kka aaa為非負(fù)實(shí)數(shù)，121,kkb bb b為正有理數(shù)，且1211kkbbbb，此時(shí)

14、101kb，即110kb，于是111212121121()kkkkbbbbbbbbkkkka aa aa aaa=12111111111121()kkkkkkbbbbbbbbkkaaaa. 因121111111kkkkbbbbbb，由歸納假設(shè)可得1211111112kkkkbbbbbbkaaa1212111111kkkkkbbbaaabbb1 12211kkkaba ba bb，從而112121kkbbbbkka aa a1111 12 2111kkbbkkkka ba ba bab. 又因11(1)1kkbb，由得1111 122111kkbbkkkkaba ba bab1 12 21111

15、(1)1kkkkkka ba ba bbabb1 12211kkkka ba ba bab，從而112121kkbbbbkka aa a1 12211kkkkaba ba bab. 故當(dāng)1nk時(shí)，成立 . 由（ 1） （2）可知，對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立. 4自我檢測(cè)(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3，nn) 第一步應(yīng)驗(yàn)證 _(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明111112312nn nnn且時(shí)，第二步證明從“k到k1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是_ (3) 設(shè))(xf是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且)(xf滿足：“當(dāng)2( )f kk成立時(shí)，總可推出(1)f k2)1(k成立”那么，下列命題總成立的是_ 若

16、1)1(f成立，則100)10(f成立；若4)2(f成立，則(1)1f成立；若(3)9f成立，則當(dāng)1k 時(shí)，均有2()f kk成立；若(4)25f成立，則當(dāng)4k 時(shí)，均有2()f kk成立(4) 觀察下列式子2222221311511171,1,1222332344，則可歸納出_三、課后鞏固練習(xí)a組1用數(shù)學(xué)歸納法證明：2) 1()13(1037241nnnn2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1221 321 ,nnnnnnnn3設(shè)f (n)=111123n，求證：nf (1) f (2) f (n1)=nf (n) (nn，n 2)b組4若n為大于 1 的自然數(shù)，求證：2413212111nnn5用數(shù)學(xué)歸納

17、法證明2*2(4,)nnnnn6用數(shù)學(xué)歸納法證明*221(,3)nnnnn7用數(shù)學(xué)歸納法證明11111231nnn(nn，n2)8用數(shù)學(xué)歸納法證明：*(31)71()nnnn能被 9 整除9求證：121(1)nnaa能被21aa整除 (nn*) 10是否存在常數(shù)cba,使等式222222421 (1 )2(2 )()nnn nnanbnc對(duì)一切正整數(shù)n都成立 ?證明你的結(jié)論11 是否存在常數(shù)a，b，c，使等式23333123()()()( )nanbncnnnnn對(duì)一切nn都成立 ?并證明你的結(jié)論12已知數(shù)列1111.1 4 47 7 10(32)(31)nn，計(jì)算1234ssss，根據(jù)計(jì)算結(jié)

18、果，猜想ns的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明13已知數(shù)列na滿足條件,6),1)(1()1(21nabaanannnnn令試猜想數(shù)列nb的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明14 數(shù)列 an中，1nnaa，a1=1，且211()2()10nnnnaaaa(1) 求234,aaa的值；(2) 猜想 an的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想c組15已知數(shù)列 bn是等差數(shù)列，b1=1，b1b2b10=145，(1) 求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式bn；(2) 設(shè)數(shù)列 an的通項(xiàng)an=loga(1nb1)( 其中a0 且a1)，記sn是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，試比較sn與31logabn1的大小，并證明你的結(jié)論16 自然狀態(tài)下的魚(yú)

19、類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，nn*， 且x10 不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c( ) 求xn1與xn的關(guān)系式；( ) 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變?(不要求證明 ) 17一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)入口a和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口b，將自然數(shù)列(1)nn中的各數(shù)依次輸入a口，從 b口得到輸出的數(shù)列na，結(jié)果表明：從a口輸入1n時(shí)，從 b口得113a；當(dāng)2n時(shí)，從 a口輸入n，從

20、b口得到的結(jié)果na是將前一結(jié)果1na先乘以自然數(shù)列n中的第1n個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列na中的第1n個(gè)奇數(shù)試問(wèn)：(1) 從 a口輸入 2 和 3 時(shí)，從 b口分別得到什么數(shù)? (2) 從 a口輸入 100 時(shí)，從 b口得到什么數(shù) ?并說(shuō)明理由18某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度：公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為1a ，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加(0)d d，因此， 歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目12aa，是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為(0)r r，那么，在第n 年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?1(1)nar，

21、第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?2(1)nar，以nt 表示到第 n 年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額( ) 寫(xiě)出nt 與1(2)ntn的遞推關(guān)系式；( ) 求證：nnntab ，其中na是一個(gè)等比數(shù)列，nb是一個(gè)等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用等式： 14 不等式： 47 整除問(wèn)題： 9 10 猜想證明： 11 14 注意數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可綜合問(wèn)題15 注意數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈活運(yùn)用實(shí)際問(wèn)題1618 注意數(shù)學(xué)歸納法在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野已知函數(shù)( )sinf xxx，數(shù)列 na 滿足：1101,(),1,2,3,.nnaaf an證明： ( )101nnaa

22、； ( )3116nnaa分析 : 可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明(i) 解: (i)先用數(shù)學(xué)歸納法證明, 3,2, 1, 10nan(i) 當(dāng) n=1 時(shí)，由已知條件知結(jié)論成立；(ii)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論成立，即10ka，10 x時(shí)，0cos1)(xxf)(xf在 (0，1) 上是增函數(shù)，)1 ()()0(faffk，即11sin101ka，當(dāng) n=k1 時(shí)，結(jié)論成立由(i)、(ii)可知，10na對(duì)一切正整數(shù)都成立又10na時(shí)，0sinsin1nnnnnnaaaaaa，nnaa1，綜上所述，101nnaa；(ii)設(shè)函數(shù)10,61sin)(3xxxxxg，由(i) 可知，當(dāng)10 x時(shí)，xxs

23、in，02)2(222sin221cos)(22222xxxxxxxg，)(xg在(0 ，1) 上是增函數(shù)又0)0(g，當(dāng)10 x時(shí)，)(xg0 成立，0)(nag，即061sin3nnnaaa，3161nnaa2.3 數(shù)學(xué)歸納法1n=3 212k3提示：當(dāng)(4)25f時(shí)，(4)f2 4 ，從而(5)f2 5 ， ，2()fkk（4k）成立4112) 1(131211:222nnn答案(nn*) 1-3 略4. 證明 (1)當(dāng)n=2 時(shí)，2413127221121(2) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即2413212111kkk111111,2322122111111112322122113111

24、1311242122124212213113242(21)(1)24nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk則當(dāng)時(shí)即n=k+1 時(shí)不等式成立，故不等式2413212111nnn對(duì)于大于1 的自然數(shù)n都成立。5-9 略10. 存在，11,044abc，證明略 11. 存在，11,42acb， 證明略12. 123431nnsssssn1234=，=，=，=，猜想471013，證明略（也可以用裂項(xiàng)法求和）13. a1=1,a2=6,a3=15,a4=28,b1=2,b2=8,b3=18,b4=32, 猜想 bn=2n2, 證明略14. a2=4,a3=9,a4=16, 猜想 an=n2, 證明略

25、15 (1) 設(shè)數(shù)列 bn的公差為d，由題意得311452) 110(10101111dbdbb，bn=3n 2 (2) 證明由bn=3n2 知sn=loga(1+1)+loga(1+41)+ +loga(1+231n) =loga(1+1)(1+41) (1+ 231n) 而31logabn+1=loga313n，下面比較 (1+1)(1+41) (1+231n) 與313n的大小。取n=1，有 (1+1)=33311348取n=2，有 (1+1)(1+33312378)41推測(cè)： (1+1)(1+41) (1+231n) 313n（*）當(dāng)n=1 時(shí)，已驗(yàn)證（*）式成立；假設(shè)n=k(k1) 時(shí)（ *）式成立，即(1+1)(1+41) (1+231k) 313k則當(dāng)n=k+1 時(shí)，)1311(13)2) 1(311)(2311(