2022年北師大版高中數(shù)學(xué)選修11橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的簡潔幾何性質(zhì)（第一課時(shí)）（一）教學(xué)目標(biāo)把握橢圓的范疇.對稱性.頂點(diǎn).離心率這四個(gè)幾何性質(zhì),把握標(biāo)準(zhǔn)方程中.以及.的幾何意義,.之間的相互關(guān)系,明確怎樣用代數(shù)的方法爭論曲線的幾何性質(zhì)（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】由同學(xué)口述,老師板書：問題 1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為怎樣的？問題 2在直角坐標(biāo)系內(nèi),關(guān)于軸.軸.原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？【探究爭論】1橢圓的幾何性質(zhì)依據(jù)曲線的方程爭論曲線的幾何性質(zhì),并正確地畫出它的圖形,為解析幾何的基本問題之一依據(jù)曲線的條件列出方程假如說為解析幾何的手段,那么依據(jù)曲線的方程爭論曲線的性質(zhì).畫圖.就可以說為解析幾何的目的下面我們依據(jù)橢

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來爭論橢圓的幾何性質(zhì)（ 1）范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引導(dǎo)同學(xué)從標(biāo)準(zhǔn)方程,得出不等式,即,這說明橢圓的直線和直線所圍成的矩形里（如圖）,留意結(jié)合圖形講解,并指出描點(diǎn)畫圖時(shí),就不能取范疇以外的點(diǎn)（ 2）對稱性先讓同學(xué)閱讀教材中橢圓的幾何性質(zhì)2設(shè)問：為什么“把換成,或把換,或把.同時(shí)換成.時(shí),方程解不變就圖形關(guān)于軸.軸或原點(diǎn)對稱”呢？事實(shí)上, 在曲線方程里,假如把換成,而方程不變, 那么當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)也在曲線上,所以曲線關(guān)于軸對稱類似地可以證明其他兩個(gè)命題同時(shí)應(yīng)向同學(xué)指出：假如曲線具有關(guān)于軸對稱,關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中的任意兩種,那么它肯定

3、具有另一種對稱最終強(qiáng)調(diào)：軸.軸為橢圓的對稱軸原點(diǎn)為橢圓的對稱中心即橢圓中心進(jìn)而說明橢圓的中心為焦點(diǎn)連線的中點(diǎn),對稱軸為焦點(diǎn)的連線及其中垂線與坐標(biāo)系無關(guān)因而為曲線的固有性質(zhì)（ 3）頂點(diǎn)引導(dǎo)同學(xué)從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析它與軸.軸的交點(diǎn),只須令得,點(diǎn).為橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令得,點(diǎn).為橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn).精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同時(shí)仍需指出：（ 1°）線段和分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于和；（ 2°）.的幾何意義：為橢圓長半軸的長,為橢圓短半軸的長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載交點(diǎn)（ 3°）橢圓的頂點(diǎn)

4、即為橢圓與對稱軸的交點(diǎn),一般二次曲線的頂點(diǎn)即為曲線與其對稱軸的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時(shí)老師可作如下小結(jié)：由橢圓的范疇,對稱性和頂點(diǎn),再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖,只須描出較少的點(diǎn),就可以得到較正確的圖形（ 4）離心率由于離心率的概念比較抽象,老師可直接給出離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率先分析離心率的取值范疇：,再結(jié)合圖表分析離心率的大小對橢圓外形的影響：（ 1）當(dāng)趨近于 1 時(shí),趨近于,從而越小,因此橢圓越扁平：（ 2）當(dāng)趨近于 0 時(shí),趨近于0,從而趨近于,因此橢圓越接近于圓【例題分析】例 1 求橢圓的長軸和短軸的長.離心率.焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo),并用描點(diǎn)法畫

5、出它的圖形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：只要化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為這里,因此,橢圓的長軸和短軸的長分別為和,離心率,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為.（前一部分請一位同學(xué)板演,老師予以訂正,后一部分老師講解,以引起同學(xué)重視）步驟如下：列表：將已知方程變形為,依據(jù),在的范疇內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)01234543.93.73.22.40描點(diǎn)作圖： 先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個(gè)橢圓（如圖）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2 求適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 1）經(jīng)過點(diǎn),；（ 2）長軸長等于20

6、,離心率等于解：由橢圓的幾何性質(zhì)可知,.分別為橢圓長軸和短軸的一個(gè)端點(diǎn),于為得,又由于長軸在軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ 2）由已知得,由于橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上, 也可能在軸上, 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或（三）隨堂練習(xí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（四）總結(jié)提煉方程圖形范疇,對稱性關(guān)于軸.軸.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱關(guān)于軸.軸.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,<、 /sub>,頂點(diǎn),離心率（五）布置作業(yè)（六）板書設(shè)計(jì)8.2 橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（一）（一）復(fù)習(xí)提問（三）例題與練練習(xí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載問題 1問題 2（二）橢圓的幾何性質(zhì)習(xí)例 1例 21234一）教學(xué)

7、目標(biāo)（四）小結(jié)進(jìn)一步把握橢圓的幾何性質(zhì),把握橢圓的其次定義,能應(yīng)用橢圓的其次定義解決橢圓的有關(guān)問題,明確橢圓的第肯定義與橢圓的其次定義為等價(jià)的,可以相互推出（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】前一節(jié)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì),哪一位同學(xué)回答：問題 1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？問題 2什么叫做橢圓的離心率？以上兩個(gè)問題同學(xué)的回答應(yīng)當(dāng)不會有大的問題老師可進(jìn)一步提出問題：離心率的幾何意義為什么呢？讓我們先來看一個(gè)問題點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)（）,求點(diǎn)的軌跡【探究爭論】橢圓的其次定義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（按求軌跡方程的步驟,同學(xué)回答,老師板演）解：設(shè)為點(diǎn)直線的距離,依據(jù)題意,如圖

8、所求軌跡就為集合由此得將上式兩邊平方,并化簡得設(shè),就可化成這為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,所以點(diǎn)的軌跡為長軸長為,短軸長為的橢圓由此可知,當(dāng)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比為常數(shù)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡為橢圓,一般稱為橢圓的其次定義,定點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)為橢圓的離心率對于橢圓,相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為依據(jù)橢圓的對稱性,相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為,所以橢圓有兩條準(zhǔn)線可見橢圓的離心率就為橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比,這就為離心率的幾何意義至此老師可列出下表,由同學(xué)歸納精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖形長軸長短軸長相同點(diǎn)離心率方程焦點(diǎn).不同.點(diǎn)頂點(diǎn).準(zhǔn)線【例題

9、分析】例 1 求橢圓的長軸與短軸的長.焦點(diǎn)坐標(biāo).頂點(diǎn)坐標(biāo).離心率和準(zhǔn)線方程可請一位同學(xué)演板,老師訂正,答案為,焦點(diǎn),頂點(diǎn),準(zhǔn)線方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2 已知橢圓上一點(diǎn)到其左.右焦點(diǎn)距離的比為1： 3,求點(diǎn)到兩條準(zhǔn)線的距離可在同學(xué)練習(xí)后請一位同學(xué)回答解答如下：由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知,由于,設(shè)到左準(zhǔn)線與右準(zhǔn)線的距離分別為與,依據(jù)橢圓的其次定義,有,即到左準(zhǔn)線的距離為,到右準(zhǔn)線的距離為例 3 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn),在橢圓上有一點(diǎn),使的值最小,求的坐標(biāo)（如圖）分析：如設(shè),求出,再運(yùn)算最小值為很繁的由于為橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,由此聯(lián)想到橢圓的其次定義,它與到相應(yīng)

10、準(zhǔn)線的距離有關(guān)故有如下解法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè)在右準(zhǔn)線上的射影為 由橢圓方程可知,依據(jù)橢圓的其次定義,有即明顯,當(dāng).三點(diǎn)共線時(shí),有最小值過作準(zhǔn)線的垂線由方程組解得即的坐標(biāo)為（四）總結(jié)提煉1列出橢圓的幾何意義（投影展現(xiàn)上表）2通過橢圓的其次定義,可進(jìn)一步明白橢圓的離心率的幾何意義,它反映橢圓的圓扁程度,決定著橢圓的外形兩準(zhǔn)線間的距離為為不變量（五）布置作業(yè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（六）板書設(shè)計(jì)8.2 橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（二）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（一）復(fù)習(xí)提問問題 1問題 2（二）橢圓的其次定義（三）例題與練習(xí)例 1例

11、 2例 3同學(xué)練習(xí)（四）小結(jié)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（第三課時(shí)）（一）教學(xué)目標(biāo)1能利用橢圓中的基本量.嫻熟地求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2把握橢圓的參數(shù)方程,會用參數(shù)方程解一些簡潔的問題（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】由一位同學(xué)回答,老師板書列表或用投影儀給出問題 1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？問題 2確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)條件？通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的爭論,爭論了橢圓的幾何性質(zhì),必需把握標(biāo)準(zhǔn)方程中.和.的幾何意義以及.之間的相互關(guān)系,這樣就可以由橢圓的幾何性質(zhì)確定它的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題分析】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1求中心在原點(diǎn),過點(diǎn),一條準(zhǔn)線方程為的橢圓

12、方程分析：依據(jù)準(zhǔn)線方程可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,由于思路不同有兩種不同的解法,可讓同學(xué)練習(xí)后,老師再歸納小結(jié),解法如下：解法一：設(shè)橢圓方程為點(diǎn)在橢圓上即又一條準(zhǔn)線方程為將.代入,得整理得解得或分別代入得或精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故所求橢圓方程為或解法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的距離為,由橢圓的其次定義得,即又由準(zhǔn)線方程為將代入,整理得解得或代入及得或精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故所求橢圓的方程為或例 2 如圖, 以原點(diǎn)心圓心, 分別以 .為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn) 為大圓半徑 與小圓的交點(diǎn),過點(diǎn) 作,垂足為 ,過點(diǎn) 作,垂足為 ,求當(dāng)半徑 繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)

13、的軌跡的參數(shù)方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,為以為始邊,為終邊的正角取為參數(shù),那么即這就為所求點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)后得到,由此可知,點(diǎn)的軌跡為橢圓點(diǎn)評：這道題仍給出了橢圓的一種畫法,依據(jù)這種方法,在已知橢圓的長.短軸長的情形下,給出離心角的一個(gè)值,就可以畫出橢圓上的一個(gè)對應(yīng)點(diǎn),利用幾何畫板畫橢圓都用此法例 3已知橢圓,（,為參數(shù)）上的點(diǎn),求：（ 1）.的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）的取值范疇解：（ 1）,為所求范疇（ 2）（其中為第一象限角,且）而,即這所求例 4把參數(shù)方程（為參數(shù)）寫成一般方程,并求出離心率解：由參數(shù)方程得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

14、歡迎下載平方相加得為所求一般方程,橢圓的離心率（三）隨堂練習(xí)1焦點(diǎn)在軸上的橢圓上一點(diǎn)到兩準(zhǔn)線間的距離之和為36,到兩焦點(diǎn)的距離分別為9 和 15的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 3橢圓（為參數(shù)）的離心率為 答案： 12,3（四）總結(jié)提煉1求曲線方程的基本程序?yàn)榫穼W(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如已知條件涉及到焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程式時(shí),往往利用定義求解較簡便2橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）中,說明.分別為橢圓的長軸.短軸長, 且焦點(diǎn)在軸上, 參數(shù)的幾何意義為橢圓的離心角,利用橢圓的參數(shù)方程求的最值較便利（五）布置作業(yè)1已知橢圓中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,就點(diǎn)

15、到與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為（）a b cd 2橢圓的左焦點(diǎn)為,為兩個(gè)頂點(diǎn),假如到直線的距離等于,那么橢圓的離心率等于（）a b cd 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4橢圓（為參數(shù)）的兩準(zhǔn)線間距離為 5已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程為,且過點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值答案： 1 a2c3 d457設(shè)為橢圓上的任一點(diǎn),就（為參數(shù)）內(nèi)接矩形面積（六）板書設(shè)計(jì)8.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（三）一.復(fù)習(xí)引入例 2練習(xí)二.例題分析例 3總結(jié)例 1例 4橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（第四課時(shí)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（一）教學(xué)目標(biāo)1能推導(dǎo)并把握橢圓的焦半徑公式,能利用焦半徑公

16、式解決有關(guān)與焦點(diǎn)距離有關(guān)的問題2能利用橢圓的有關(guān)學(xué)問解決實(shí)際應(yīng)用問題3能綜合利用橢圓的有關(guān)學(xué)問,解決最值問題及參數(shù)的取值范疇問題（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】1利用投影儀顯示橢圓的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)（見其次課時(shí)）2求橢圓上到焦點(diǎn)距離的最大值與最小值【探究爭論】為爭論上述問題,可先解決例1,老師出示問題例 1 求證：橢圓上任一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連兩條線段的長分別為分析：由距離公式和橢圓定義可以有兩種證法,先由一位同學(xué)演板,老師最終予以補(bǔ)充證法一：設(shè)橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,又,故得證證法二：設(shè)到左右準(zhǔn)線的距離分別為,由橢圓的其次定義有,又,又, 故得證

17、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說明：.叫做橢圓的焦半徑利用焦半徑公式在橢圓的有關(guān)運(yùn)算.證明中,能大大簡化相應(yīng)的運(yùn)算至此可解決開頭提出的問題,即橢圓上焦點(diǎn)的距離最大值為,最小值為,最大值與最小值點(diǎn)即為橢圓長軸上的頂點(diǎn)例 2 如圖,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為以地心（地球中心）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓已知它們近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面439,遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最）距地面2384,并且.在同一條直線上,地球半徑約6371,求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到1）分析：這為一個(gè)介紹橢圓在航天領(lǐng)域應(yīng)用的例子,關(guān)鍵為懂得近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)與橢圓的關(guān)系由于數(shù)字大,運(yùn)算較繁,可老師講解解：如圖,建立直

18、角坐標(biāo)系,使點(diǎn).在軸上,為橢圓的右焦點(diǎn)（記為左焦點(diǎn)）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的方程為就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得因此,衛(wèi)星的軌道方程為點(diǎn)評：由例1 可知橢圓上到焦點(diǎn)的距離的最大和最小的點(diǎn),恰為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),因而可知全部衛(wèi)星的近地點(diǎn).遠(yuǎn)地點(diǎn).及軌道的焦點(diǎn)都在同始終線上例 3 已知點(diǎn)在圓上移動, 點(diǎn)在橢圓上移動, 求的最大值分析：要求的最大值,只要考慮圓心到橢圓上的點(diǎn)的距離,而橢圓上的點(diǎn)為有范疇的可在老師指導(dǎo)下同學(xué)完成,解答如下：設(shè)橢圓上一點(diǎn),又,于為而當(dāng)時(shí),有最大值5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故的最大值為6點(diǎn)評：橢圓中的最值問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例 4 已知橢圓與軸的正半軸交于點(diǎn),為原點(diǎn) 如橢圓上存在一點(diǎn),使,求橢圓離心率的取值范疇分析：依題意點(diǎn)的橫坐標(biāo),找到與.的關(guān)系式老師講解為好解：設(shè)的坐標(biāo)為,由,有于為下面方程組的解為的坐標(biāo)消去整理得解得或即為橢圓的右頂點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即即,而,故（三）隨堂練習(xí)1如圖在中,就以為焦點(diǎn),.分別為長.短軸端點(diǎn)的橢圓方程為 2設(shè)橢圓上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最小值為1,求的值答案： 12（四）總結(jié)提煉橢圓的焦半徑為橢圓的基礎(chǔ)問題,在解題中有其特殊的作用,橢圓的范疇在解決橢圓