2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第17講 零點問題（解析版）

1、第17講 零點問題高考預(yù)測一：三次函數(shù)零點問題 1已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值2，求，的值；（2）求試討論的單調(diào)性；（3）若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值【解析】解：（1），若函數(shù)在處取得極值2，則，解得：；（2），時，令，解得：或，在遞增，在，遞減，在遞增，時，在遞增，時，令，解得：或，在遞增，在遞減，在，遞增；（3）由（2）得：函數(shù)有2個極值，分別是：，則函數(shù)有3個零點等價于，或，又，時，或時，設(shè)（a），函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，上，（a），在，上，（a）均恒成立，從而，且，故；此時，有3個零點，則有2個異于的不等實根，且，解

2、得：，綜上：2已知函數(shù)（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線，（2）用，表示，中的最大值，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，討論零點的個數(shù)【解析】解：（1）設(shè)曲線與軸相切與點，則，即，當(dāng)時，軸為曲線的切線（2）令，則，由，得，當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)，時，為減函數(shù)，當(dāng)，即時，有一個零點；當(dāng)，即時，有兩個零點；當(dāng)，即時，有三個零點；當(dāng)，即時，有兩個零點；當(dāng)，即時，有一個零點，綜上，或時，有一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)，有三個零點高考預(yù)測二：含超越函數(shù)的零點問題3已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【解析】證明：（1）的定義域為，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，由零點存在定理可知，函

3、數(shù)在上存在唯一的零點，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，由零點存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減當(dāng)，時，于是，單調(diào)遞減，其中，于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個零點0，由函數(shù)零點存在性定理可知，在，上有且只有一個零點，當(dāng)，時，則恒成立，因此函數(shù)在，上無零點綜上，有且僅有2個零點4已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性，并證明有且

4、僅有兩個零點；（2）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點，處的切線也是曲線的切線【解析】解析：（1）函數(shù)定義域為：，；，且，在和上單調(diào)遞增，在區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得，在有且僅有一個零點，在區(qū)間，區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得，又（e），（e），在上有且僅有一個零點，故在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點；（2）是的一個零點，則有，曲線，則有；由直線的點斜式可得曲線的切線方程，曲線在點，處的切線方程為：，即：，將代入，即有：，而曲線的切線中，在點，處的切線方程為：，將代入化簡，即：，故曲線在點，處的切線也是曲線的切線故得證5已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩

5、個零點；（2）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線【解析】解：（1）的定義域為所以在，上單調(diào)遞增又，所以在區(qū)間有唯一零點，即，又，所以在區(qū)間有唯一零點綜上所述，有且僅有兩個零點（2）因為，所以點在曲線上由題設(shè)所以直線的斜率因為曲線在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線的切線6已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點，（2）處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)【解析】解：（1），由已知有（1），即，所以（經(jīng)驗證成立），切點為，故切線方程為：；（2）的定義域為，若，則當(dāng)時，故在上單調(diào)遞

6、增，若，則當(dāng)；當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：時，在上單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）證明：，因為在上遞增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在，上遞增，又，所以在，內(nèi)存在唯一根，由，得：，又，故是在上的唯一零點，綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù)7已知函數(shù)，為常數(shù)），且為的一個極值點（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若的圖象與軸有且只有3個交點，求的取值范圍【解析】解：（1），又是的一個極值點（2），則（2）函數(shù)的定義域為由（1）知由可得或，由可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3）由（2）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)

7、遞減，在單調(diào)遞增且當(dāng)或時，的極大值為，的極小值為（2）當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，要使的圖象與軸正半軸有且僅有三個不同的交點，只需（2），即，解得：8已知函數(shù)，（）求在區(qū)間，上的最大值；（）是否存在實數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由【解析】解：當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時，（4）；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個不同的交點，當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)，或時，（1），（3）當(dāng)充分接近0時，當(dāng)充分大時，要使的圖象與軸正半軸有三個不同的交點

8、，必須且只須即存在實數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個不同的交點，的取值范圍為9已知函數(shù)（）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)沒有零點，求的取值范圍【解析】解：當(dāng)時，（1），（1），曲線在點，（1）處的切線方程為；函數(shù)，當(dāng)時，在時，的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)與在定義域上的情況如下：的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為由可知，當(dāng)時，是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，且有，（1），此時函數(shù)有零點，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)，在定義域上沒零點；當(dāng)時，是函數(shù)的極小值，也是函數(shù)的最小值，當(dāng)，即時，函數(shù)沒有零點綜上所述，當(dāng)時，沒有零點10已知關(guān)于的

9、函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)的取值范圍【解析】解：（1）當(dāng)時，即在處的切線方程為（2），當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（3）沒有零點，即無解，與兩圖象無交點，設(shè)兩圖象相切于兩點，兩圖象無交點，11已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解析】解：（1）由，可得，當(dāng)時，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；當(dāng)時，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時，由，可得或；由，可得；即有在，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，遞增；在，遞減；綜

10、上：當(dāng)時，在遞減；在遞增；當(dāng)時，時，在上遞增；時，在，遞增，在，遞減；時，在，遞增；在，遞減（2）由（1）可得，當(dāng)時，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個零點，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個零點，故時，有2個零點；當(dāng)時，所以只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，若時，在遞增，不存在2個零點，不合題意；若，在遞增，又當(dāng)時，不存在2個零點，不合題意，當(dāng)時，在單調(diào)增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個零點，不合題意；綜上，有兩個零點時，的取值范圍為12已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解析】解：（1）的定義域為，且，當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由

11、解得，由解得，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點，不合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，函數(shù)至多有一個零點，不合題意；當(dāng)時，由于，且，由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點，由于，且（由于，由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點；綜上，實數(shù)的取值范圍為13已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍【解析】解：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時

12、，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）若時，由（1）可知：最多有一個零點，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和，當(dāng)，函數(shù)有兩個零點，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，即，設(shè)，則，求導(dǎo)，由（1），解得：，的取值范圍方法二：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）若時，由（1）可知：最多有一個零點，當(dāng)時，由（1）可知：當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)，時，故只有一個零點，當(dāng)時，由，即，故沒有零點，當(dāng)時，由，故在有一個零點，假設(shè)存

13、在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點的取值范圍14已知函數(shù)（1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在只有一個零點，求【解析】解：（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)則，令，則，令，得當(dāng)時，當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，（2）方法一：在只有一個零點方程在只有一個根，在只有一個根，即函數(shù)與的圖象在只有一個交點，當(dāng)時，當(dāng)時，在遞減，在遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，在只有一個零點時，（2）方法二：當(dāng)時，在沒有零點當(dāng)時，設(shè)函數(shù)在只有一個零點在只有一個零點，當(dāng)時，當(dāng)時，在遞減，在遞增，當(dāng)（2）時，即，由于，當(dāng)時，可得在有2個零點當(dāng)（2）時，即，在沒有零點，當(dāng)（2）時，即，在只有一個零點，綜上，在只有一個零點時，15已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)

14、區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：或是函數(shù)在上有三個不同零點的必要不充分條件【解析】解：（1）若，則，由于，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間（2），在區(qū)間上不單調(diào)，由題意知，當(dāng)，時，且，函數(shù)的對稱軸為直線，當(dāng)，即時，由（3），得，由得，此時解集為空集；當(dāng)，即時，由得，由（3）得，此時解集為空集； ，由（3），得，由，得或，此時解集為；若，由得，由得或，此時解集為綜上可得，的取值范圍是（3）證明：當(dāng)，即時函數(shù)在上單調(diào)遞增故在上不可能有三個不同零點若在上有三個不同零點，則必有，即或是在上有三個不同零點的必要條件；而當(dāng)，時，滿足或但即此時只有兩個不同零點同樣，當(dāng)時

15、，滿足或，但即此時也只有兩個不同零點，或是在上有三個不同零點的不充分條件，故或是在上有三個不同零點的必要不充分條件16設(shè)函數(shù)（1）設(shè)，求的極值；（2）在（1）的條件下，若在上不是單調(diào)函數(shù)，求的范圍；（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間【解析】解：（1）當(dāng)，（2分）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（4分），的極小值是（6分）（2），（8分）在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，且，（10分），即：故的取值范圍（12分）（3），令，解得即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為17設(shè)常數(shù)，函數(shù)（）當(dāng)時，求的最小值；（）求證：有唯一的極值點【解析】解：（）的定義域是，時，令，解得：，令，解得：，在遞減，在遞增，時，最小，最小值是（1）；（）由（）得

16、：，令，要證有唯一的極值點，即證在有唯一的變號零點，而，令，解得：，其中，且的圖象開口向上，故在區(qū)間上，遞減，在區(qū)間，上，遞增，即在上有唯一零點，即在上有唯一的極值點且是極小值點18已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）若圖象過點，求的單調(diào)區(qū)間；若在區(qū)間，上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；函數(shù)（a），當(dāng)時，函數(shù)過點的切線至少有2條，求實數(shù)的值【解析】解：（）由已知，又過點，所以，且定義域為，令，解得：，令，解得：，故在上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)；（）函數(shù)的定義域為，令，則，當(dāng)時，在恒成立，故在上是增函數(shù)，而，故當(dāng)，時，恒成立，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故在區(qū)間，上沒有極值點；當(dāng)時，由（）知，在區(qū)間，上沒有極值點；當(dāng)時，令，解得，；故在上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，當(dāng)（e），即時，在，上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，令，得，不成立；令（e），得，所以，而，又，所以在，上有且只有一個零點，且在該零點兩側(cè)異號，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，（）函數(shù)（a），由函數(shù)過點的切線，所以，據(jù)題意，原命題等價于關(guān)于的方程至少有2個不同的解設(shè)，因為，所以，當(dāng)和，時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)；所以的極大值為（1），的極小值為，設(shè)，則原命題等價于對恒成立，所以由對恒成立，得； （1）記，所以時，的最大值為（4），由