2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)22 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值（解析版）

1、考點(diǎn)22 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值【命題解讀】從高考對導(dǎo)數(shù)的要求看，考查分三個(gè)層次，一是考查導(dǎo)數(shù)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；二是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；三是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)范圍等.除壓軸題，同時(shí)在小題中也加以考查，難度控制在中等以上.應(yīng)特別是注意將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列、函數(shù)圖象及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題，考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力【基礎(chǔ)知識回顧】 1、函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)x

2、a附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值2、函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則

3、f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值3、常用結(jié)論1若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在a，b上一定有最值2若函數(shù)f(x)在a，b上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值3若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)1、函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()a1ln 2 b1ln 2c. d.【答案】c【解析】 因?yàn)閒(x)x2ln x(x>0)，所以f(x)2x，令2x0得x，令f(x)>0，則 x>；令f(x)<0，則0<x<.所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值(也是最小

4、值)為2ln，故選c.2、函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閞，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f (x)()a無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)b有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)c有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)d有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)【答案】c【解析】設(shè)f(x)的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為x1，x2，x3，x4.當(dāng)x<x1時(shí)，f(x)>0，f (x)為增函數(shù)，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<0，f (x)為減函數(shù)，則xx1為極大值點(diǎn)，同理，xx3為極大值點(diǎn)，xx2，xx4為極小值點(diǎn)，故選c.3、設(shè)函數(shù)f (x)ln x，則()ax為f (x)的極大值點(diǎn)bx為f (

5、x)的極小值點(diǎn)cx2為f (x)的極大值點(diǎn)dx2為f (x)的極小值點(diǎn)【答案】d【解析】因?yàn)閒 (x)ln x，所以f(x)，x>0.當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，f (x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，f (x)為減函數(shù)，所以x2為f (x)的極小值點(diǎn)，故選d.4、已知a為函數(shù)f (x)x312x的極小值點(diǎn)，則a等于()a4 b2 c4 d2【答案】d【解析】由題意得f(x)3x212，由f(x)0得x±2，當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2，)

6、時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增，所以a2.5、函數(shù)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是_【答案】：(，)【解析】：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得x±a，當(dāng)a<x<a時(shí)，f(x)<0，函數(shù)遞減；當(dāng)x>a或x<a時(shí)，f(x)>0，函數(shù)遞增f(a)a33a3a>0且f(a)a33a3a<0，解得a>.a的取值范圍是(，)考向一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值例1、已知函數(shù)，求函數(shù)的極大值與極小值【解析】：由題設(shè)知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.當(dāng)a>0時(shí)，隨著x的變化，

7、f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值1.當(dāng)a<0時(shí)，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值1.綜上，f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值1.變式1、已知函數(shù)f(x)lnx，求函數(shù)f(x)的極值【解析】f(x)lnx，f(x)，令f(x)0，得x1，列表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增x1是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x)的極小值為1，無極大值方法總結(jié)：(1

8、)求函數(shù)極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；解方程，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；列表檢驗(yàn)在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么在處取極大值，如果左負(fù)右正，那么在處取極小值(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值考向二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值例2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)處有極小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)處有極小值，所以，所以由，得或，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

9、因?yàn)?，所以的最大值?變式1、已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最小值【解析】：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為.又f(2)ln 2，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因?yàn)閒(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，則f(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無最小值若0<a<e，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)

10、間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(a，e時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值ln a.若ae，則當(dāng)x(0，e時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上無最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為ln a；當(dāng)ae時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為.變式2、已知函數(shù)f(x)axln x，其中a為常數(shù)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e上的最大值為3，求a的值【解析】(1)易知

11、f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，)上是減函數(shù)f(x)maxf(1)1.當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上的最大值為1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，則f(x)0，從而f(x)在(0，e上是增函數(shù)，f(x)maxf(e)ae10，不合題意若a<，令f(x)>0得 a>0，結(jié)合x(0，e，解得0<x<；令f(x)<0得a<0，結(jié)合x(0，e，解得<xe.從而f

12、(x)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e2<，ae2為所求故實(shí)數(shù)a的值為e2.考向三 極值（最值）的綜合性問題例3、已知函數(shù)在處取得極大值為2.(1) 求函數(shù)的解析式；(2) 若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值【解析】：(1) f(x)3ax22bx3.由題意得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立，所以f(x)x33x.(2) 令f(x)0，即3x230.得x±1.列表如下：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)f(x)2增極大值減極小值增2因?yàn)閒(1)2，f(1)2，f(2)2，f(2)2，所以當(dāng)x2,2時(shí)，f(

13、x)max2，f(x)min2. 對于區(qū)間2,2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|4，所以c4.所以c的最小值為4.變式1、已知函數(shù)f(x)(a>0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值解：(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因?yàn)閑x>0，所以f(x)的零點(diǎn)就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點(diǎn)，且f(x)與g(x)符號相同又因?yàn)閍>0，所以當(dāng)3<x<0時(shí)，g(x)>0，即f(x)>0，當(dāng)x

14、<3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點(diǎn)，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).由(1)可知當(dāng)x0時(shí)f(x)取得極大值f(0)5，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e5>5f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.變式2、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】（）見解析；（）見解析【解析】（）

15、的定義域?yàn)?，若，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在遞增.所以為唯一的極小值點(diǎn)，無極大值，故此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn).若，令，則，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以2，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，故此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，且不恒為0，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，2分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，故此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).（）證明：若是的一個(gè)極值點(diǎn)，由（）可知，又，所以，且，則，所以.令，則，所以，故又因?yàn)?，所以，令，?當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以是唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即，故，即.方法總結(jié)：

16、1. 當(dāng)面對不等式恒成立(有解)問題時(shí)，往往是轉(zhuǎn)化成函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值；2. 當(dāng)面對多次求導(dǎo)時(shí)，一定要清楚每次求導(dǎo)的目的是什么1、（2017年高考全國卷理數(shù)）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為abcd1【答案】a【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為.故選a2、【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）若f（x）為奇函數(shù)，則a=_；若f（x）是r上的增函數(shù)，則a的取值范圍是_【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是r上的增函數(shù)，則在r上

17、恒成立，即在r上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.3、【2018年高考全國卷理數(shù)】已知函數(shù)，則的最小值是_【答案】-332【解析】f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)(cosx-12)，所以當(dāng)cosx<12時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)cosx>12時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間為，函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx取得最小值，此時(shí)sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2×(-32)-32=-332，故答案是-332.4、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）已知函數(shù)且a0）（1）求曲線y=f（x）在

18、點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函數(shù)f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（ar，且a0）由題意可知 曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為 （）當(dāng)a-1時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x1（1，+）-0+0-f（x）極小值極大值此時(shí)，解得，故不成立當(dāng)a=-1時(shí)，0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）單調(diào)遞減此時(shí)f（x）無極小值，故不成立當(dāng)-1a0時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）極小值極大值此時(shí)極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或因?yàn)?1a0，所以當(dāng)a0時(shí)，x變化時(shí)變化情況如下表：x（0，1）1（1，+）-0+f（x）極小值此時(shí)極小值f（1）=-a-4，由題意可得，解得或，故不成立綜上所述5、（2020全國理21）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】(1)當(dāng)時(shí)，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：